7.3 解一元一次不等式教学设计2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

7.3 解一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式及其解法 学科网（北京）股份有限公司 1.理解一元一次不等式的概念. 2.通过类比一元一次方程的解法，掌握一元一次不等式的解法.（重点） 3.会在数轴上表示一元一次不等式的解集.（难点） 一、新课导入 [复习导入] 1.什么叫一元一次方程? 答：只含一个未知数、并且未知数的次数都是1的整式方程. 2.不等式的基本性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减)同一个数，不等号的方向不变. 不等式的基本性质2：不等式两边都乘以(或都除以)同一个正数，不等号的方向不变. 不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变. 二、新知探究 （一）一元一次不等式的定义 观察下面的不等式： (1) x－7＞26；(2)3x－7＞26； (3)x＞50；(4)-4x＞3. 它们有哪些共同特征？ 左右两边都是整式；都只含有一个未知数；未知数的次数是1. [概念总结] 像这样，只含有一个未知数、左右两边都是整式，并且未知数的次数都是1的不等式，叫做一元一次不等式. [课件展示] 下列不等式中，哪些是一元一次不等式? (1)3x+2>x-1； √ (2)5x+3<0；√ (3)+3<5x-1； × (4)x(x-1)<2x.× （二）解一元一次不等式 [典型例题]例1 解不等式： (1)x-7＜8； (2)3x＜2x-3. 解：（1）不等式的两边都加上7，不等号的方向不变，所以x-7+7＜8+7，得x＜15. （2）不等式的两边都减去2x（即都加上-2x），不等号的方向不变，所以3x-2x＜2x-3-2x，得x＜-3. [归纳总结]由(2)可以看出，运用不等式的基本性质1对3x＜2x-3进行化简的过程，就是对不等式3x＜2x-3作了如下变形： 从变形前后的两个不等式可以看出，这种变形就是把不等式一边的某一项变号后移到另一边，我们把这种变形称为移项. [典型例题]例2 解不等式：利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： (1)x＞-3；(2)-2x<6. 解：（1）不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，所以x×2＞（-3）×2， 得x＞-6. （2） 不等式的两边都除以-2（即都乘以-），不等号的方向不变，所以-2x×（-）＞6×（-）， 得x＞-3. [归纳总结]这里的变形，与方程变形中的“将未知数的系数化为1”类似，它依据的是不等式的基本性质2或不等式的基本性质3． 注意: 不等式的两边都乘以(或都除以)的数是正数时，不等号的方向不变； 不等式的两边都乘以(或都除以)的数是负数时，不等号的方向改变. [类比探究] 解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？ 相同： 1.它们的步骤基本相同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1. 不同： 1.这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须改变不等号的方向.这是与解一元一次方程不同的地方. 2.它们的依据不相同.解一元一次方程的依据是等式的基本性质，解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质. [典型例题]例3 解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来： (1)2x-1＜4x+13；(2)2(5x+3)≤x-3(1-2x). 解：（1）移项，得2x-4x＜13+1. 合并同类项，得-2x＜14. 两边都除以-2，得x＞7. 它在数轴上的表示如图所示. （2）去括号，得 10x+6≤x-3+6x. 移项、合并同类项，得 3x≤-9. 两边都除以3，得 x≤-3. 它在数轴上的表示如图所示. [典型例题]例4 当x取何值时，代数式与的差大于1？ 解：根据题意，得-＞1. 去分母，得2(x+4)-3(3x-1)＞6. 去括号，得2x+8-9x+3＞6. 移项、合并同类项，得-7x＞-5. 两边都除以-7，得x＜. 所以，当x取小于的任何数时，代数式与的差大于1 . [归纳总结]解一元一次不等式的一般步骤： 一般步骤 依据 注意事项 ①去分母 不等式的基本性质2、3 （1）不要漏乘不含分母的项； （2）若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号； （3）当不等式两边都乘以同一个负数时，不等号的方向要改变 ②去括号 乘法分配律、去括号 法则 当括号前是“-”时，去掉括号后，原括号内的每一项都要变号 ③移项 不等式的基本性质1 （1）所移的项要改变符号，不移的项不变号； （2）移项时，不等号的方向不改变 ④合并同类项 合并同类项 法则 ⑤系数化为1 不等式的基本性质 2、3 当不等式两边都乘以（或都除以）同一个负数时，不等号的方向要改变 三、课堂小结 四、课堂训练 1.解下列不等式： (1)-5x≤10 ；(2)4x-3＜10x+7； x≥-2. x＞-. 2.解下列不等式： (1) 3x-1＞2(2-5x)；(2)≥. x＞. x≤. 五、布置作业 本节课通过类比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，让学生感受到解一元一次不等式与解一元一次方程只是在去分母和系数化为1这两步时有所不同．如果两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变；如果两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变．这也是这节课学生容易出错的地方．教学时要大胆放手，不要怕学生出错，要通过学生犯的错误引起学生注意，理解产生错误的原因，以便在以后的学习中避免出错. 第2课时 一元一次不等式的实际应用 学科网（北京）股份有限公司 1.会通过列一元一次不等式解决生活中的实际问题，经历“实际问题抽象为不等式模型”的过程.（重点） 2.体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，体会分类讨论思想在列不等式解决实际问题中的应用．（难点） 一、新课导入 [复习导入] 1.应用一元一次方程解实际问题的步骤： 2.将下列生活中的不等关系翻译成数学语言. (1)超过； ＞ (2)至少； ≥ (3)最多. ≤ 二、新知探究 知识点：一元一次不等式的实际应用 [典型例题]例 一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3，前两天一共完成了120m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务.问：后6天内平均每天至少要挖土多少立方米? 分析:本题中涉及的数量关系是：前两天挖土的量+后6天挖土的量＞总挖土量. 解：设后6天内平均每天要挖土xm3. 根据题意，得 120+6x≥600. 解得 x≥80. 答：后6天内平均每天至少要挖土80m3. [合作探究] 问题 在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者能通过预选赛.育才中学有25名学生通过了预选赛，通过者至少应答对多少道题？有哪些可能情形？ 解：设通过者答对了x道题. 根据题意列不等式，得10x-5(20-x)≥80. 解得x≥12. ∵答对(或答错或不答)的题数应是取值范围内的整数, ∴x可取12、13、14、15、16、17、18、19、20. 所以通过者至少应答对12道题，有以上9种可能情形. [归纳总结]列不等式解决实际问题时需注意： 1.实际问题中的“节省”“合算”“最多”“最少”“不超过”“超过”等，都是列不等式的关键词.注意所列不等式是否包含等号. 2.列不等式解决实际问题时，要注意题中的限制条件，取解时必须使实际问题有意义，如人数、次数、物体的个数等为非负整数，长度、面积等为正数. 三、课堂小结 四、课堂训练 1.一次智力测验，有20道选择题.评分表标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分.小明有2道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于60分？ 解：设小强答对了x道题，则答错了（20-2-x）道题. 根据题意，得5x-2（20-2-x）≥60. 解得x≥. 又∵x为正整数， ∴x的最小值为14． 答：他至少要答对14道题，总分才不会低于60分． 2.某童装店按每套90元的价格购进40套童装，应缴纳的税费为销售额的10%. 如果要获得不低于900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？ 解：设每套童装的售价是x元. 则40x-90×40-40x·10%≥900. 解得x≥125. 答:每套童装的售价至少是125元. 五、布置作业 本节课让学生积极参与，讲练结合，引导学生找不等关系列不等式．在教学过程中，也可通过类比列一元一次方程解决实际问题的应用题来学习，让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系. $$