精品解析：浙江省宁波市2023-2024学年高职复习模拟考试（一）数学试卷题

宁波市高职复习模拟考试卷（一） 《数学》试卷 本试卷共4页，三大题.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上. 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每题2分，11-20小题每题3分，共50分） 1. 已知集合，集合，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念及运算可求解. 【详解】由题可得 . 故选：B. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数有意义的条件，结合题意，即可列式求解． 【详解】因为， 所以， 解得．　 即函数的定义域为． 故选：C． 3. 已知，则下列各角中与同一象限的是（ ） A. B. 130° C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同角概念可知，与的终边相同，终边在第三象限，据此可判断结果. 【详解】因为，所以与的终边相同，终边在第三象限. 又因为是第一象限角，是第二象限角，是第三象限角，是第四象限角， 所以与同一象限. 故选：C. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义解含绝对值的不等式即可求解. 【详解】不等式可化为， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 5. 已知等比数列中，，，则数列的公比是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式求解. 【详解】由等比数列的通项公式可知，即，解得. 故选：D. 6. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交且过圆心 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的标准方程得到圆心和半径，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系可得结果. 【详解】由圆可知，圆心为，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交， 将圆心代入直线，得到， 所以直线与圆相交但不过圆心. 故选：C 7. 已知直线与直线互相平行，则A、B的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】两只直线互相平行说明斜率相等，利用此关系求解即可. 【详解】根据两斜率相等列出式子，， 各个选项中只有C选项符合. 故选：C. 8. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的判定即可解得. 【详解】由题，当时，或，充分性不成立； 当时，，必要性成立. 故是的必要不充分条件. 故选：B 9. 一个袋中都装有外形相同，标记为0，1，2，3，4，5六个球，若从袋中任取两个球，两个球上数字之和大于7的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由组合数的计算结合古典概型公式即可得解. 【详解】从标记为0，1，2，3，4，5六个球，任取两个球，有种可能， 两个球数字之和大于7的情况有这种可能， 所求概率为， 故选：. 10. 下列函数与在区间上单调性相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、反比例函数、对数函数、二次函数、一次函数的定义域和单调性，结合题意，即可判断． 【详解】因为函数在区间上是单调增函数， 反比例函数在处无意义，故选项A不符合题意； 对数函数在处无意义，故选项B不符合题意； 二次函数的图像开口向上，对称轴为直线，故函数在区间上是单调增函数，符合题意； 一次函数在区间上是单调减函数，与原函数单调性不同，不符合题意. 故选：C． 11. 杭州亚运会以杭州为主办城市，宁波、温州、湖州、绍兴、金华为5个协办城市，若周末两天各选一个城市进行旅游打卡，则不同的旅游打卡方法总数共有（ ） A. 10种 B. 15种 C. 20种 D. 30种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数原理可求解. 【详解】由题可知，周末的第一天选一个城市进行旅游打卡，共有6种选法，第二天共有5种选法， 根据分步计数原理，不同的旅游打卡方法总数有：（种）. 故选：D. 12. 已知向量，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 或1 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求出，代入模长公式即可得解. 详解】向量，，则， 因为，则，解得或， 故选：. 13. 下列说法正确的是（ ） A. 垂直于同一个平面的两条直线平行 B. 若两个平面互相垂直，则其中一个平面内的直线垂直于另外一个平面 C. 若一个平面内的两条直线与另外一个平面平行，则这两个面平行 D. 一条直线与平面内的无数条直线垂直，这条直线和这个平面垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直、面面垂直、面面平行的性质与判定定理即可选出正确答案. 【详解】由线面垂直的性质定理可知，垂直于同一个平面的两条直线平行，A正确； 由面面垂直的性质定理知，若两个平面互相垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另外一个平面垂直，B错误； 由面面平行的判定定理可知，若一个平面内的两条相交直线均与另外一个平面平行，则这两个面平行，C错误； 当一条直线与平面内的无数条相互平行的直线垂直时，这条直线和这个平面不一定垂直，D错误， 故选：A 14. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质及特殊值法可判断结果. 【详解】因为实数，所以，故D正确； 取，满足，但，，故A、B错误； 取，满足，但，故C错误. 故选：D. 15. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式，结合特殊角的三角函数值，即可求解． 【详解】因为， 所以， 因为，所以．　 故选：D． 16. 已知数列的通项公式，则（ ） A. B. 2023 C. D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的通项公式，利用分组（并项）求和法，结合题意，即可求解． 【详解】因为数列的通项公式， 所以,, ,， 所以 ． 故选：B． 17. 函数与在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数与二次函数图像的性质即可得解. 【详解】函数与，与轴交点坐标相同都为，故排除选项； 故选：. 18. 已知动点是抛物线上一个动点，则到焦点和到点的距离和最小时，其坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出图像，当三点共线时，距离最小即可得解. 【详解】 根据题意作出图像，过点作垂足为， 抛物线，则，焦点在轴正半轴上，所以焦点为，准线为， 所以当三点共线时，距离最小， 因为点，所以点的纵坐标为，将代入抛物线方程中得，解得， 所以， 故选：. 19. 已知函数的图像，可由函数的图像（ ）个单位得到. A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 【答案】D 【解析】 【分析】根据正、余弦的二倍角公式，先将函数化简为正弦型函数，结合正弦型函数图像的变换规律，结合题意，即可求解． 【详解】因为， 所以函数的图像向右平移，即可得到函数的图像． 故选：D． 20. 在传统工艺品中，竹筒工艺制作备受关注，如图所示，用一个与竹筒底面成角的平面截竹筒，截面是一个椭圆.若竹筒的底面圆直径为，当时，则该椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出椭圆的长短轴和焦距，再由椭圆的离心率公式即可解得. 【详解】由题，设椭圆的长轴为，短轴为，焦距为， 则由题可知，故， ，又知， 则，离心率. 故选：B 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 在等差数列中，，公差______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据等差数列的概念，结合，利用之间的关系，即可代入求解． 【详解】因为等差数列中，， 所以， 所以公差．　 故答案为：2． 22. 已知角满足，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系式进行化简求值即可得解. 【详解】角满足， 则， 故答案为：. 23. 设双曲线，已知离心率为，则渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率，可判断双曲线为等轴双曲线，继而求得渐近线方程． 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以双曲线为等轴双曲线，即， 所以渐近线方程为．　 故答案为：． 24. 已知圆锥侧面积为，展开图是半圆，则圆锥的底面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面的半径为，圆锥的母线为，利用圆锥侧面积公式、侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，列方程组求出半径，据此可求解. 【详解】设圆锥的底面的半径为，圆锥的母线为，由题可得 ，解得， 所以圆锥的底面积. 故答案为： 25. 若，则的最大值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】将左右两边转化为同底指数，进而得出关于，的方程，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】先将左右两边转化为同底指数为， 得出方程为， 代入到得， 当时，取得最大值为. 故答案为：. 26. 若，则=______. 【答案】122 【解析】 【分析】根据二项展开式系数的性质，结合题意，即可求解． 【详解】因为， 令，则， 令，则， 两式相减得， 解得． 故答案为：122． 27. 已知函数，若，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，结合二次函数的解法，分和两种情况代入不等式，即可求解． 【详解】因为函数，且， 当时，， 即， 分解因式得， 解得， 所以； 当时，， 即， 分解因式得 解得， 所以； 综上所述，， 即实数a的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）（解答应写出文字说明和演算步骤） 28. 计算：. 【答案】. 【解析】 【分析】根据对数的运算法则，指数幂的运算法则以及组合数的计算法则计算即可. 【详解】， ， ， ， . 29. 已知终边上一点，求： （1），的值； （2）的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据终边上点的坐标求出三角函数值即可解得. （2）根据正弦和角公式和余弦差角公式展开即可解得. 【小问1详解】 由题可知，， 则， 故，. 【小问2详解】 由题， 30. 已知圆过点. （1）求圆的圆心坐标和标准方程； （2）若圆过点的切线为，求切线l与坐标轴围成的面积. 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入方程中求出，再将圆化为标准式，即可确定圆心和半径即可. （2）根据过点的切线与垂直，得到直线的斜率，进而得到点斜式方程，求得与坐标轴的交点坐标，即可求解. 【小问1详解】 将点的坐标代入方程中， 得，， 则圆的方程为，化为标准方程为， 即圆心为，半径为. 【小问2详解】 由（1）可得， 则过点的切线与垂直，且， 故斜率， 所以直线方程为，即， 与坐标轴的交点为和， 所以与坐标轴围成的三角形面积. 31. 在锐角中，角所对的边分别是，且. （1）求角B的大小； （2）若，求的面积最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合题意，化简即可求值； （2）根据余弦定理，结合基本不等式，可得的最大值，代入三角形面积公式，即可求解． 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理，，又， 所以， 又是锐角三角形， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，又， 由余弦定理题得， 由基本不等式得， 即， 所以三角形面积， 当且仅当时等号成立， 所以三角形面积最大值为． 32. 如图所示，在三棱锥中，底面为直角三角形，角，平面，，，且分别为中点. （1）求三棱锥截去三棱锥后剩下的几何体体积； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可证得平面，结合直三棱锥体积公式，剩余几何体的体积，代入即可求解． （2）根据题意，结合线面垂直的判定定理，易证平面，继而得到，即为二面角的平面角，利用解直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 因为在三棱锥中，底面为直角三角形，角，平面， 所以， 因为分别为中点，，角，， 所以，，， 因为平面，平面，所以， 所以， 又，平面，所以平面， 所以， 所以剩下的几何体体积； 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， 所以.二面角的正切值为． 33. 如图所示，果木种植户新购入一块田地，其边界可以近似看成二次函数抛物线与直线转成，种植户计划以AB与抛物线上一点C围成一个三角形区域种植一批果树苗，如果测得边长，且，C到距离是6m，若此时建立如图坐标系， （1）求二次函数解析式； （2）当点C横坐标取什么范围时，三角形区域面积超过45m2. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形相似，得到的坐标，设定二次函数，代入坐标值，即可求解. （2）根据三角形面积建立不等式，即可求解. 【小问1详解】 依题意，与相似， 故, 又，即代入， 得到, 根据图形可知，， 即, 设， 代入点C的坐标，得，解得， 即， 【小问2详解】 由题得， 化简得， 解得：， 点C横坐标属于时，三角形区域面积超过45m2. 34. 已知椭圆一个顶点坐标为，右焦点为F，. （1）求椭圆标准方程； （2）求直线AF与椭圆相交弦的中点坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点在x轴，求得a,b,c的值，即可求解椭圆的标准方程. （2）求解直线AF的方程，联立直线与椭圆的方程，使用中点坐标公式即可求解中点坐标. 【小问1详解】 由已知得椭圆焦点在x轴上， 设椭圆标准方程为， 因为椭圆一个顶点坐标为，可得， 因为， 所以，所以， 所以椭圆标准方程为 【小问2详解】 因，， 即，所以直线AF为， 与椭圆相交于AB，设，，AB中点， 联立，消去y，得， 所以，则， 代入直线方程得， 所以弦AB中点. 35. 某市2022年发放汽车牌照14万张，其中燃油型汽车牌照12万张，电动型汽车牌照2万张．为了节能减排和控制汽车总量，从2023年开始，每年电动型汽车牌照发放的数量比上一年增长，而每年燃油型汽车牌照发放的数量比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的汽车牌照超过16万张，以后每年发放的电动型汽车牌照的数量维持在这一年的水平不变. （1）记2022年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照的数量构成数列，每年发放的电动型汽车牌照的数量构成数列，写出前四年这两个牌照分别发放的数量，并写出这两个数列的通项公式（其中，）； （2）从2022年算起，求十年共发放的汽车牌照总量. 【答案】（1）答案见解析 （2）154.25万张 【解析】 【分析】（1）根据题意可得数列是等差数列，代入即可求得前四年发放的燃油型汽车牌照的数量及数列的通项公式；数列前4项构成等比数列，当时，的值不变，即可代入求得前四年发放的电动型汽车牌照的数量及数列的通项公式； （2）根据两个数列的通项公式，结合等差数列和等比数列前n 项和公式，代入即可求得十年共发放的汽车牌照总量． 【小问1详解】 由已知得万张，万张，万张，万张； 万张，万张，万张，万张； 由题意，数列是首项，公差为的等差数列， 所以， 因为，，，， 所以数列前4项构成首项，公比为的等比数列， 即， 由题意可得，当时，； 所以. 【小问2详解】 由题意 万张， 所以从2022年算起，十年共发放的汽车牌照总量为万张． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁波市高职复习模拟考试卷（一） 《数学》试卷 本试卷共4页，三大题.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上. 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每题2分，11-20小题每题3分，共50分） 1. 已知集合，集合，则是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列各角中与同一象限的是（ ） A. B. 130° C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A B. C. D. 5. 已知等比数列中，，，则数列的公比是（　　） A. B. 2 C. D. 6. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交且过圆心 7. 已知直线与直线互相平行，则A、B的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 在中，“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 一个袋中都装有外形相同，标记为0，1，2，3，4，5六个球，若从袋中任取两个球，两个球上数字之和大于7的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数与在区间上单调性相同的是（ ） A. B. C. D. 11. 杭州亚运会以杭州为主办城市，宁波、温州、湖州、绍兴、金华为5个协办城市，若周末两天各选一个城市进行旅游打卡，则不同的旅游打卡方法总数共有（ ） A. 10种 B. 15种 C. 20种 D. 30种 12. 已知向量，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 或1 13. 下列说法正确的是（ ） A. 垂直于同一个平面的两条直线平行 B. 若两个平面互相垂直，则其中一个平面内的直线垂直于另外一个平面 C. 若一个平面内的两条直线与另外一个平面平行，则这两个面平行 D. 一条直线与平面内的无数条直线垂直，这条直线和这个平面垂直 14. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 15 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知数列的通项公式，则（ ） A. B. 2023 C. D. 2027 17. 函数与在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 18. 已知动点是抛物线上一个动点，则到焦点和到点距离和最小时，其坐标是（ ） A. B. C. D. 19. 已知函数的图像，可由函数的图像（ ）个单位得到. A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 20. 在传统工艺品中，竹筒工艺制作备受关注，如图所示，用一个与竹筒底面成角的平面截竹筒，截面是一个椭圆.若竹筒的底面圆直径为，当时，则该椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 在等差数列中，，公差______. 22. 已知角满足，则______. 23. 设双曲线，已知离心率为，则渐近线方程为______. 24. 已知圆锥侧面积为，展开图是半圆，则圆锥的底面积为______. 25. 若，则的最大值是______. 26. 若，则=______. 27. 已知函数，若，则实数a的取值范围是______. 三、解答题（本大题共8小题，共72分）（解答应写出文字说明和演算步骤） 28. 计算：. 29. 已知终边上一点，求： （1），的值； （2）的值. 30. 已知圆过点. （1）求圆的圆心坐标和标准方程； （2）若圆过点的切线为，求切线l与坐标轴围成的面积. 31. 在锐角中，角所对的边分别是，且. （1）求角B的大小； （2）若，求的面积最大值. 32. 如图所示，在三棱锥中，底面为直角三角形，角，平面，，，且分别为中点. （1）求三棱锥截去三棱锥后剩下的几何体体积； （2）求二面角的正切值. 33. 如图所示，果木种植户新购入一块田地，其边界可以近似看成二次函数抛物线与直线转成，种植户计划以AB与抛物线上一点C围成一个三角形区域种植一批果树苗，如果测得边长，且，C到距离是6m，若此时建立如图坐标系， （1）求二次函数解析式； （2）当点C横坐标取什么范围时，三角形区域面积超过45m2. 34. 已知椭圆一个顶点坐标为，右焦点为F，. （1）求椭圆标准方程； （2）求直线AF与椭圆相交弦的中点坐标. 35. 某市2022年发放汽车牌照14万张，其中燃油型汽车牌照12万张，电动型汽车牌照2万张．为了节能减排和控制汽车总量，从2023年开始，每年电动型汽车牌照发放的数量比上一年增长，而每年燃油型汽车牌照发放的数量比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的汽车牌照超过16万张，以后每年发放的电动型汽车牌照的数量维持在这一年的水平不变. （1）记2022年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照的数量构成数列，每年发放的电动型汽车牌照的数量构成数列，写出前四年这两个牌照分别发放的数量，并写出这两个数列的通项公式（其中，）； （2）从2022年算起，求十年共发放汽车牌照总量. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$