精品解析：河南省中等职业学校2023-2024学年高三下学期4月月考数学试题

河南省2023-2024学年中等职业学校高三年级4月联考 数学 （本试卷满分100分） 考生注意： 所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效. 一、选择题（每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解法得到，再根据集合的交集定义求解. 【详解】已知集合，集合， 则， 故选：B. 2. 函数必过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式找出定点即可解得. 【详解】因为， 所以函数必过定点， 故选：C 3. 设偶函数的定义域为，在区间上为增函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由的奇偶性得到，再利用的单调性即可得解. 【详解】因为是在上的偶函数，所以， 又在区间上为增函数，且， 所以. 故选：B. 4. 假定此时12点整，那么1个小时后时针与分针的夹角是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意确定1个小时后时针与分针所在位置，进而求出它们的夹角即可. 【详解】由题可知，经过1个小时时针旋转：. 分针经过一个小时，旋转了一周回到原位. 所以经过1个小时后时针与分针的夹角为. 故选：D. 5. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式求出，再根据同角三角函数的平方关系求值即可. 【详解】因为，， 所以，，， 所以. 故选：B. 6. 命题：直线a与平面α内无数条直线垂直，命题：直线a与平面α垂直，则p是q的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题是否能推出命题，命题是否能推出命题，做出判断. 【详解】直线与平面内两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，无数条直线如果是平行线就无法和平面垂直，故命题不能推出命题； 直线a与平面α垂直，表示直线a与平面α内任意直线都垂直，必然垂直平面α内无数条直线，故命题能推出命题 ； 故p是q的必要条件. 故选：. 7. 在等差数列中，已知前15项之和，那么（ ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，将转化为的算式，即可得到答案. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 8. 已知，，且，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，结合题意，即可求解. 【详解】因为，，且， 所以， 解得. 故选：A. 9. 焦点在的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由焦点可设抛物线的方程为，由可求p值，从而解决问题． 【详解】因为焦点为在y轴的正半轴上， 所以设抛物线的标准方程为， 因为，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故选：C 10. 若二项式的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则的值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质进行求解即可. 【详解】第6项的二项式系数最大 展开式共11项 . 故选：A. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知集合，集合，且，则实数的取值范围用区间表示为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用并集求集合的参数范围即可. 【详解】因为集合，集合，且， 或，则，即； 故答案为：. 12. 函数，若，则函数的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图像和性质，结合定义域，即可求得函数的值域. 【详解】因为， 所以函数图像开口向下，对称轴为轴，又， 所以时，函数取得最大值，即， 当时，函数取得最小值，即， 所以函数的值域为. 故答案为：. 13. 的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】应用辅助角公式和两角差的正弦公式即可求解. 【详解】 . 故答案为:. 14. 经过点且与轴垂直的直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件列出直线方程，再由直线上点的坐标即可解得. 【详解】由题，该直线与轴垂直，则可设， 又知直线过点，则直线. 故答案为： 15. 若正三棱锥的高为，底面边长为，则其体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面积公式和三棱锥体积公式计算. 【详解】正三棱锥的底面为正三角形，边长为，高， 所以该正三棱锥的底面积， 因此该正三棱锥的体积， 故答案为：. 16. 椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出a与c的值，再根据椭圆的离心率公式代入求解即可. 【详解】由椭圆方程， 可知，， 可得， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 17. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为、、、件.为检验产品质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______件. 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样原理进行计算即可解得. 【详解】由题，根据分层抽样原理， 应从丙种型号的产品中抽取件. 故答案为： 18. 一个盒子中有个灯泡，其中3个次品，7个正品，从中任意摸出3个，取到的3个至多有1个次品的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先由组合数确定个灯泡中摸出3个的所有基本事件的个数，再由至多有1个次品可分为没有次品和只有一个次品，运用组合数再计算出取到的3个至多有1个次品的基本事件的个数，最后由古典概型概率公式求值即可. 【详解】一个盒子中有个灯泡，其中3个次品，7个正品， 则从中任意摸出3个共有个基本事件， 到的3个至多有1个次品的基本事件的个数为 ， 所以取到的3个至多有1个次品的概率是, 故答案为：. 三、解答题（每题8分，共24分） 19. 求函数的定义域，并用区间表示. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域列出不等式，再由一元二次不等式求解即可解得. 【详解】要使函数有意义， 则，解得或， 所以所求函数定义域为. 20. 在中，内角、、的对边分别是、、，且. （1）求角的大小； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理整理化简即可求解； （2）由正弦定理及三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得：， 由题知，则，所以， 所以，， 又，所以； 【小问2详解】 由正弦定理得 把代入得所以 所以 21. 已知在等差数列中，公差，，是方程的两个根. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程的解列出方程组，根据等差数列的通项公式即可解得. （2）根据题中信息写出所求数列，再由累加法求和结合等差数列和等比数列的求和公式即可解得. 【小问1详解】 解方程得， 是方程的两个根，且公差， ，由，解得， . 【小问2详解】 由题，， 得 四、证明题（每小题6分，共12分） 22. 求证：函数在区间上是增函数. 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】由函数单调性的定义即可证明. 【详解】设，则， 即 故函数在区间上是增函数 . 23. 在空间四边形ABCD中，已知，求证：． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】取BD的中点E，连接CE，AE，由已知可证明平面，据此可证结论. 【详解】 如图，取BD的中点E，连接CE，AE， 因为， 所以. 又因为，在平面内， 所以平面. 因为平面, 所以. 五、综合题（10分） 24. 已知点，. （1）求过、两点的直线的方程； （2）已知点在椭圆：上，且（1）中直线过椭圆的右焦点，求椭圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用两点坐标求出斜率，再代入直线点斜式方程即可得直线的方程. （2）利用点的坐标，待定系数法求出椭圆方程. 【小问1详解】 由点，得， 由点斜式可得：，即， 所以直线l的方程为. 【小问2详解】 因为，所以椭圆的焦点在轴上， 直线与轴的交点为， 所以椭圆的右焦点为， 即， 又点在椭圆上，所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2023-2024学年中等职业学校高三年级4月联考 数学 （本试卷满分100分） 考生注意： 所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效. 一、选择题（每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数必过定点（ ） A. B. C. D. 3. 设偶函数的定义域为，在区间上为增函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 假定此时12点整，那么1个小时后时针与分针的夹角是（ ） A. 0 B. C. D. 5. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 命题：直线a与平面α内无数条直线垂直，命题：直线a与平面α垂直，则p是q的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在等差数列中，已知前15项之和，那么（ ） A. 4 B. C. D. 6 8. 已知，，且，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 9. 焦点在的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 10. 若二项式的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则的值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知集合，集合，且，则实数的取值范围用区间表示为______. 12. 函数，若，则函数的值域为______. 13. 的值为_________. 14. 经过点且与轴垂直的直线的方程为______. 15. 若正三棱锥的高为，底面边长为，则其体积为______. 16. 椭圆的离心率为______. 17. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为、、、件.为检验产品质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______件. 18. 一个盒子中有个灯泡，其中3个次品，7个正品，从中任意摸出3个，取到的3个至多有1个次品的概率是______. 三、解答题（每题8分，共24分） 19. 求函数的定义域，并用区间表示. 20. 在中，内角、、的对边分别是、、，且. （1）求角的大小； （2）若，，求. 21. 已知在等差数列中，公差，，是方程的两个根. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的的前项和. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22. 求证：函数在区间上是增函数. 23. 在空间四边形ABCD中，已知，求证：． 五、综合题（10分） 24. 已知点，. （1）求过、两点的直线的方程； （2）已知点在椭圆：上，且（1）中直线过椭圆的右焦点，求椭圆的标准方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $