精品解析：山西省晋中市太谷区职业中学校2023-2024学年高二下学期期中2数学试题

太谷区职业中学校 2023-2024学年第二学期高二数学期中考试试题 满分为150分，考试时间为120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项填在选择题答题区域相应的题号内.） 1. 若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 在的二项展开式中，的系数是（ ） A. B. 20 C. 15 D. 4. 函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 5. 某机场某时降雨的概率为，在降雨的情况下飞机准点的概率为，则某时降雨且飞机准点的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位专家不同发言顺序共有（ ） A. 12种 B. 8种 C. 6种 D. 4种 8. 设，则的值（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.把正确选项填在选择题答题区域相应的题号内.） 9. 在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 所有项的二项式系数和为128 B. 所有项的系数和为1 C. 二项式系数最大的项为第4项 D. 负系数的项共3项 10. 下列求导正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A. 若A、B两人站在一起有48种方法 B. 若A、B不相邻共有36种方法 C. 若A在B左边有60种排法 D. 若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.答案填在题中的横线上. 12. 将红、黄、绿三种不同的颜色均涂入图中五个区域中，每个区域涂一种颜色，且相邻的区域不能涂同一种颜色，不同的涂色方法共有_____种.（以数字作答） 13. 已知函数在处取得极值0，_____，_____. 14. 若的展开式中的常数项为，则_____. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 五个数字. （1）共可组成多少个没有重复数字的五位数？ （2）共可组成多少个没有重复数字的五位偶数？ 16. 已知函数. （1）写出函数的单调增区间； （2）求函数在上的最大值、最小值. 17. （1）求的展开式的常数项； （2）求的展开式中的x的系数． 18. 一个袋子里面装有大小相同的白球和黑球共10个，若从袋子中任意摸出2个球，至少有一个白球的概率为. （1）求白球和黑球各有多少个； （2）现从中不放回的取球，每次取1球，在第一次取出黑球的条件下，求第二次取出白球的概率. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，求函数的极值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太谷区职业中学校 2023-2024学年第二学期高二数学期中考试试题 满分为150分，考试时间为120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项填在选择题答题区域相应的题号内.） 1. 若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】由题意，每名学生有3种选择，故共有种报名方案. 故选：A. 2. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的概念和计算，结合题意，即可求解. 【详解】因为函数， 所以， 所以. 故选：A. 3. 在的二项展开式中，的系数是（ ） A. B. 20 C. 15 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式通项求解即可. 【详解】的展开式通项为， 令，解得， 所以的系数是. 故选：A. 4. 函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数和原函数的基本关系，即可求解. 【详解】导函数的正负，代表原函数在对应区间的增减性， 由导函数图像可知，在上先正后负，所以原图像先增后减； 导函数在上先负后正再负，所以原图像先减后增再减， 所以原函数图像为先增后减再增再减. 只有C选项满足. 故选：C. 5. 某机场某时降雨的概率为，在降雨的情况下飞机准点的概率为，则某时降雨且飞机准点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率公式易得答案. 【详解】设事件“飞机准时”，事件“机场降雨”， 所以机场某时降雨的概率为，在降雨的情况下飞机准点的概率为， 所以某时降雨且飞机准点的概率为. 故选：D. 6. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合题意，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 即曲线在处的切线的斜率为2. 故选：A. 7. 在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位专家不同发言顺序共有（ ） A. 12种 B. 8种 C. 6种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】对甲进行分类谈论和捆绑法排列易得答案. 【详解】丙、丁必须排在一起有， 当甲排第一位，四位专家不同发言顺序有， 当甲排第二位，四位专家不同发言顺序有， 所以四位专家不同发言顺序共有种. 故选：C. 8. 设，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊取值法得到两条等式，再用作差法易得答案. 【详解】因为， 当时，所以， 当时，所以， 两条等式相减易得. 故选：B. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.把正确选项填在选择题答题区域相应的题号内.） 9. 在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 所有项的二项式系数和为128 B. 所有项的系数和为1 C. 二项式系数最大的项为第4项 D. 负系数的项共3项 【答案】AB 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质分析判断. 【详解】展开式共8项，正负各有4项，其中二项式系数最大项为第4项和第5项； 所有项的二项式系数和； 令,可得所有项的系数和为； 故选：AB. 10. 下列求导正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本函数和复合函数求导法则易得答案. 【详解】A：当，则，故正确； B：当，令，则，故错误； C：当，则，故正确； D：当，则，故错误. 故选：AC. 11. A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A. 若A、B两人站在一起有48种方法 B. 若A、B不相邻共有36种方法 C. 若A在B左边有60种排法 D. 若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法 【答案】ACD 【解析】 【分析】由排列组合和分步计数原理的概念，根据优先考虑法，捆绑法，插空法易得答案. 【详解】选项A：当A、B两人站在一起，先捆绑法排有，再排个人和个团体，所以有种方法，故正确； 选项B：当A、B不相邻，先排剩下个人有，再从个人中的个空隙排人有种方法，故错误； 选项C：先全排列，A在B左边，B在A左边各占全排列的，所以有种排法，故正确； 选项D：若A不站在最左边，B不站最右边，第一种情况站最右边有，第二种不站两边有， 所以有种方法，故正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.答案填在题中的横线上. 12. 将红、黄、绿三种不同的颜色均涂入图中五个区域中，每个区域涂一种颜色，且相邻的区域不能涂同一种颜色，不同的涂色方法共有_____种.（以数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由分类加法和分步乘法计数原理，结合本题限制条件分情况讨论，最后计算得到答案. 【详解】由题意，不妨从左至右按编号，由于三种颜色必须用全， 第一步涂号有种涂法， 第二步涂号有种涂法， 第三步涂号时可分为两类， ①若号与号颜色相同，则后两框必一框涂色与一号二号不同， 此时又分两种情况，若第框涂色与一号二号不同，则第框有两种颜色选择， 若第框和一号二号其中一个相同，则第框只有一种颜色选择， ②若号与号颜色不同，由于三种颜色已全部用上，故后两框涂色只需要满足同色不相邻即可， 综上，由分类加法和分步乘法计数原理，可得 不同的涂色方法共有种， 故答案为：. 13. 已知函数在处取得极值0，_____，_____. 【答案】 ①. 1 ②. 1 【解析】 【分析】将极值点代入导函数和点代入原函数解方程组易得答案. 【详解】因为函数在处取得极值0， 所以， 所以， 解得. 故答案为：；. 14. 若的展开式中的常数项为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理即可求解. 【详解】的展开式中的通项为， 令，由题意可得，解得. 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 五个数字. （1）共可组成多少个没有重复数字的五位数？ （2）共可组成多少个没有重复数字的五位偶数？ 【答案】（1）96. （2）60. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合排列数和组合数的应用，考虑特殊位置优先处理的方法，即可求解； （2）根据题意，可分类计算个位是0和不是0两种情况，结合排列数和组合数的应用，即可求解. 【小问1详解】 由题意，第一步，万位需要从这4个数字中选一个，有4种方法， 第二步，剩余的4个数字全排到其余的4个数位上，有种方法， 故共可组成个没有重复数字的五位数； 【小问2详解】 由题意，可分两种情况： 当个位是0时，剩余的4个数字全排到其余的4个数位上，有个， 当个位不是0时，第一步，需从两个数字中任选一个放到个位上，有2种方法， 第二步，万位需从去掉0和被选的数字之外剩余的3个数字中任选一个，有3种方法， 第三步，其余3个数全排到剩余的数位上，有种方法， 所以共有个， 综上所述，共可组成个没有重复数字的五位偶数. 16. 已知函数. （1）写出函数的单调增区间； （2）求函数在上的最大值、最小值. 【答案】（1）和 （2）函数在上得最大值为2，最小值为 【解析】 【分析】（1）对函数求导，令，即可求得函数的增区间； （2）对函数求导，分别求出函数在区间上得极值和边界值，即可求出函数的最值. 【小问1详解】 因为函数，对函数求导得到， 令，即， 所以或， 所以函数的增区间为和. 【小问2详解】 由（1）知， 令解得， 所以函数的减区间是， 又函数的增区间为和， 所以函数在处取得极大值，即， 又，， 所以函数在上得最大值为2，最小值为. 17. （1）求的展开式的常数项； （2）求的展开式中的x的系数． 【答案】（1）60；（2）－15. 【解析】 【分析】（1）求二项式的通项，令通项x的次数为零即可求解； （2）的展开式中的x的系数为. 【详解】（1）的展开式的通项公式为， 令，解得， 则的展开式的常数项为； （2）的展开式的通项公式为 则的展开式中的的系数为 18. 一个袋子里面装有大小相同的白球和黑球共10个，若从袋子中任意摸出2个球，至少有一个白球的概率为. （1）求白球和黑球各有多少个； （2）现从中不放回的取球，每次取1球，在第一次取出黑球的条件下，求第二次取出白球的概率. 【答案】（1）白球6个，黑球4个 （2） 【解析】 【分析】（1）设定黑球个数，计算摸出两球都是黑球的概率，再根据至少有一个白球的概率，即可求解. （2）利用条件概率公式求解，先确定第一次取黑球后剩余球的情况，再计算在这种情况下第二次取白球的概率. 【小问1详解】 设黑球有个，则白球有个， 从个球中任意摸出个球的总组合数为种， 因为至少有一个白球的概率为，所以两个都是黑球的概率为， 则从个黑球中摸出个黑球的组合数为， 所以，化简得， 解得或（球的个数不能为负舍去）， 所以黑球有个，白球有个. 【小问2详解】 第一次取出黑球后，袋子里还剩下个球，其中白球个，黑球个， 根据条件概率公式，在第一次取出黑球的情况下，第二次取球时，从个球中取到白球的概率为. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，求函数的极值. 【答案】（1） （2）极小值为；极大值为 【解析】 【分析】（1）先求函数的导数再求切线的斜率和切点，最后根据点斜式易得答案； （2）对函数进行求导，判断函数的单调性易得答案. 【小问1详解】 当时，函数， 所以， 因为， 曲线在处的切线方程； 【小问2详解】 当时，函数 所以， 令时，解得， 所以函数在单调递增， 令时，解得或， 所以函数在上单调递减， 当时，函数的极小值为， 当时，函数的极大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $