精品解析：山西省晋中市太谷区职业中学校2023-2024学年高一下学期期中数学试题2

太谷区职业中学校 2023-2024学年高一第二学期期中考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知中，，，，则等于（ ） A. 76 B. C. 27 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】由余弦定理，得， 所以. 故选：B. 2. 在矩形中，，，则向量的长度为（ ） A. B. C. 12 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的基本运算，即可求解. 【详解】因为在矩形中，， 所以，即的长度为的模的2倍. 又，， 故由勾股定理可求得， 所以向量的长度为. 故选：B. 3. 若，，三点共线，则（ ） A. 13 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示及向量共线的坐标表示，结合题意，即可代入求解. 【详解】因为，，， 所以，， 因为，，三点共线， 所以，所以，解得. 故选：D. 4. 若，且与也互相垂直，则k的值为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直则内积为零进行计算即可解得. 【详解】由题意可得，且， 所以，解得； 故选：B 5. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的内积的基本运算，即可求解. 【详解】， ， 所以， 又，所以. 故选：A. 6. 已知复数，在复平面上对应的点分别为，，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出，再利用复数的运算即可求解. 【详解】由复数，在复平面上对应的点分别是，， 得，，则. 所以的虚部为. 故选：D. 7. 底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出图像，求出圆锥轴截面的顶角，通过勾股定理求出球的半径，代入球的表面积公式即可得解. 【详解】 如图所示，作出图像，为圆锥底面圆心，则，，所以圆锥高， 所以在中，，则， 设球的半径为，则，由勾股定理可知，， ∴球的表面积为. 故选：D. 8. 如图，在长方体中，（ ） A. 60 B. 30 C. 20 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据三棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】因为长方体中，平面，则平面， 根据图中所给数据，可得. 故选：D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 向量与不共线，则与都是非零向量 B. 已知A，B，C是平面内任意三点，则 C. 若O为所在平面内任一点，且满足，则为等腰三角形 D. 若向量与同向，且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的基本性质，即可求解. 【详解】因为零向量与任意向量共线，所以A正确； 由平面向量的加法法则，可知，所以B正确； 设的中点为，因为， 所以，所以，即， 又的中点为，所以为等腰三角形，即C正确； 因为向量不是实数，不能比较大小，所以D不正确. 故选：ABC. 10. 已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则A等于（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【详解】，，由题意得， ，则或. 故选：AC. 11. 若复数是纯虚数，其中，则（ ） A. 或 B. C. D. 复数对应的向量 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的基本性质，即可求解. 【详解】由题意得，解得， ，，，， 复数z对应的向量. 故选：BCD. 12. [多选]下列说法正确的是（　　） A. 由若干个平面多边形围成的几何体，称做多面体 B. 一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面 C. 旋转体的截面图形都是圆 D. 圆锥的侧面展开图是一个扇形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据各几何体的定义及性质逐项分析即可得出答案. 【详解】根据多面体的定义知，选项A正确； 根据旋转面的定义知，选项B正确； 截圆柱、圆锥、圆台所得轴截面图形分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，选项C错误； 圆锥沿其母线剪开后，侧面在平面上的展开图是一个扇形，此说法正确，选项D正确. 故选:ABD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，，且与共线，那么_____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示求出值，再利用向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】向量，，则， 由与共线，得，解得，所以， 则. 答案：. 14. 在三角形中，，则______________． 【答案】4 【解析】 【分析】运用余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得 ， 代入得： 故答案为:4 15. 若复数满足，则_____. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的运算，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：1. 16. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，轴，则原平面图形的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法，易得原平面图形为一边长为6，高为的平行四边形，继而求得原图形的面积. 【详解】在直观图中，设与轴的交点为， 因为，， 所以， 所以原平面图形为一边长为6，高为的平行四边形，所以其面积为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据复数的基本运算，即可求解. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 18. 已知向量，满足，，且，的夹角为. （1）求； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）根据向量的内积，即可求解. （2）根据向量垂直可得向量内积为零，即可求解. 【小问1详解】 由题意，得， . 【小问2详解】 ，， ， . 19. 已知平面向量，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）运用向量垂直的坐标表示列式计算即可得解. （2）运用向量平行的坐标表示求得的值，再结合向量线性运算及模的坐标公式即可得解. 【小问1详解】 因为，，， 所以. 整理得，解得或. 故的值为或. 【小问2详解】 因为，，， 则，即，解得或， 当时，，，所以，则； 当时，，， 所以，则； 综上，的值为或. 20. 在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边. （1）若，求角的大小； （2）若，，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理代入题目给定的等式得到，即可求解. （2）先根据得到，再根据余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 ， 由余弦定理得， ， 则， 又因为，所以. 【小问2详解】 由，得. 由余弦定理得 . 21. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）若，求的值； （2）若，求b，c的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（）由同角三角函数基本关系式求出，结合正弦定理即可得解. （）根据三角形面积公式求出值，代入余弦定理即可得到值. 【小问1详解】 ，且，. 由正弦定理得， . 【小问2详解】 ，，解得. 由余弦定理得，. 综上所述，. 22. 如图，在四边形中，，，，，，，若四边形绕着直线AD旋转一周. （1）求所形成的封闭几何体的表面积； （2）求所形成的封闭几何体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，易得四边形绕着直线AD旋转一周得到的几何体是圆柱和圆锥的组合体，先求出圆柱和圆锥的高，结合圆柱和圆锥表面积的计算公式，即可代入求解； （2）根据题意，结合圆柱和圆锥体积的计算公式，即可代入求解. 【小问1详解】 过点作于点. ，， ， ， 则四边形绕着直线AD旋转一周所形成的封闭几何体为一个底面半径为2，高为1的圆柱及一个底面半径为2，高为2的圆锥的组合体. 所以底面积为， 圆柱的侧面积为， 圆锥的侧面积为， 所求几何体的表面积为. 【小问2详解】 圆柱的体积是， 圆锥的体积是， 所以所求几何体的体积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太谷区职业中学校 2023-2024学年高一第二学期期中考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知中，，，，则等于（ ） A. 76 B. C. 27 D. 2. 在矩形中，，，则向量的长度为（ ） A. B. C. 12 D. 6 3. 若，，三点共线，则（ ） A. 13 B. C. 9 D. 4. 若，且与也互相垂直，则k的值为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 5. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知复数，在复平面上对应的点分别为，，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 7. 底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方体中，（ ） A. 60 B. 30 C. 20 D. 10 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 向量与不共线，则与都是非零向量 B. 已知A，B，C是平面内任意三点，则 C. 若O为所在平面内任一点，且满足，则为等腰三角形 D. 若向量与同向，且，则 10. 已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则A等于（ ） A. B. C. D. 11. 若复数是纯虚数，其中，则（ ） A. 或 B. C. D. 复数对应的向量 12. [多选]下列说法正确的是（　　） A. 由若干个平面多边形围成的几何体，称做多面体 B. 一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面 C. 旋转体的截面图形都是圆 D. 圆锥的侧面展开图是一个扇形 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，，且与共线，那么_____. 14. 在三角形中，，则______________． 15. 若复数满足，则_____. 16. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，轴，则原平面图形的面积为_____. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 计算： （1）； （2）. 18. 已知向量，满足，，且，的夹角为. （1）求； （2）若，求实数的值. 19. 已知平面向量，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 20. 在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边. （1）若，求角的大小； （2）若，，，求. 21. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）若，求的值； （2）若，求b，c的值. 22. 如图，在四边形中，，，，，，，若四边形绕着直线AD旋转一周. （1）求所形成的封闭几何体的表面积； （2）求所形成的封闭几何体的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $