5.1导数的概念及其意义讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1导数的概念及其意义 知识点1 变化率问题 ① 平均变化率的概念 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到Δx，相应地，函数值y就从变化到Δx）。这时x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=。我们把比值，即叫作函数y=f(x)从到 的平均变化率。 概念辨析 （1）Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘，它可为正数，也可为负数，但一定不能为零。 （2）Δy也是一个整体符号，若，则，而不是，Δy可为正数，也可为负数，还可以为零。 （3）由（1）（2）可知函数的平均变化率可为正数或负数，也可为零。 （4）一般地，在式子中，当取定值，Δx取不同数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值，取不同数值时，函数的平均变化率也不一定相同。特别地，当函数f(x)为常函数时，Δy=0，则 ② 物理中的平均速度和瞬时速度 平均速度 设物体运动的位移s与时间t的关系是,从到时间段内的平均速度 瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。当Δt无限趋近于0时，平均速度将越来越趋近于物体在时刻的瞬时速度 ③ 平均变化率的几何意义 由函数y=f(x)的图像（如图5-1-1)可知，函数y=f(x)的平均变化率的几何意义是函数y=f(x)图像上的两点所在直线的斜率。 利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙、不精确的”。只有当无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”。 ④ 平均变化率的物理意义 （1）把位移s看成时间t的函数s=s(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段上的平均速度，即 （2）把速度v看成时间t的函数v=v(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段上的平均加速度，即 例1-1 （2022·北师大实验中学高二阶段练习）在曲线的图像上取一点（1,2）及邻近一点(1+Δx,2+Δy)，则为（ ）。 B C.2+Δx 解：==2+Δx，故选C 例1-2（2022·湖南高二课时练习）已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间变化而变化（温度不变），下表记录了某温度下该化学物质在溶液中反应时不同时刻t的浓度C(t)。 t 0 2 4 6 8 C(t) 0.080 0 0.057 0 0.040 8 0.029 5 0.021 0 试根据上表求下列时间段内的平均反应速率： (1))2≤t≤6；(2)2≤t≤4; (3)0≤t≤2。 解：（1）由题意， 即在2≤t≤6时间段内的平均反应速率为0.006 875。 （2）由题意， 即在2≤t≤4时间段内的平均反应速率为0.008 1。 （3）由题意，0.011 5, 即在0≤t≤2时间段内的平均反应速率为0.0115。 例1-3（2022·北京朝阳高二专题练习）若一物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：求： （1）物体在t∈[3,5]内的平均速度； （2）物体的初速度 （3）物体在t=1s时的瞬时速度。 解：（1）由已知，在t∈[3,5]时，其时间变化量为Δt=2，其位移变化量为Δs=f(5)-f(3)=3×25+2-(3×9+2)=48，故所求平均速度为 （2）求物体的初速度，即求物体在t=08时的瞬时速度。 因为物体在t=0s附近位移的平均变化率为 =3Δt-18， 所以物体在t=0 S处位移的瞬时变化率为，即物体的初速度（3）因为物体在t=15附近位移的平均变化率 为 所以物体在t=1 S时的瞬时速度为，即物体在t=1 时的瞬时速度为-12m／s。 例1-4（2022·北京顺义高二期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通O 风换气。在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如图5-1-4所示。则下 列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）。 A.[5,10] B.[5,15] C.[5,20] D.[5,35] 解： 如图5-1-5，分别令t=5,,t=10,t=20,t=35所对应的点为A，B，C，D，E，由图可知 ，所O以[5,20]内空气中微生物密度变化的平均速度最快。故选C。 知识点2 导数的概念 ① 导数（瞬时变化率）的概念 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y=f(x)在处可导，并把这个确定的值叫作y=f(x)在处的导数（也称为瞬时变化率），记作f＇（）或即 说明：（1）对于任何具体函数或者实际问题，瞬时 变化率都是一个精确值，而不是近似值。只是现阶段我们还不能求出瞬时变化率，故只能用平均变化率来估计瞬时变化率。 (2)表示函数y关于自变量x在处的导数。 ② 导函数 对于函数y=f(x)，当时是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数（简称导数）。y=f(x)的导函数有时也记作y＇，即 例2-1（2022·广西玉林高二期末）设f(x)是定义在R上的可导函数，若(a为常数），则 A.-2a B.2a C.-a D.a 解：，故选A。 例2-2 已知，则 。 解：∵ ∴ 即 答： 例2-3函数在x=2处的导数为 。 解：方法一（导数定义法）：因为 Δy=， 所以所以 方法二（导函数的函数值法）：因为Δy=，所以 所以 ，所以1 答案：-1 知识点3 导数的几何意义 ① 导数的几何意义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x)）沿着曲线y=f(x)无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线y=f(x)在点处的切线。 容易知道，割线的斜率，记，当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y=f(x)在处的导数。因此，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线的斜率，即。这就是导数的几何意义。 ② 导数与函数图像的关系 (1)附近各切线的斜率反映切线的升降变化情况，导数反映函数在附近的增减情况，而处的切线斜率，所以它们反映的图形变化情况是一致的，如图5-1-3。 （2）曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表： 的符号 曲线在附近的升降情况 切线的 斜率k 切线的倾斜角 上升 锐角 下降 钝角 平坦 零角（切线与x轴平行） 例3-1（2022·广东佛山高二阶段练习）（多选）已知在抛物线上，割线PM的斜率为，割线QM 的斜率为，抛物线在M处的切线斜率为k，则（ ）。 A 解：， 又∵ ∴ 又Δx可正可负且不为零，所以的大小关系不确定，故选AB。 例3-2（2022·黑龙江齐齐哈尔高二期末）函数y=f(x)的图像如图是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）。 A.(5) B.3) (5) D. 解： 由题图知，即 ，故选A。 分层练习 基础达标 1．（2022·东北师大附中高二开学考·知识点1）某物体沿水平方向运动，其前进距离s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为s(t)=5t+，则该物体在运动前2s的平均速度为（ ）。 A.18m/s B.13m/s C.9m/s D 2．（2022·陕西渭南高二期末·知识点2）若函数f(x) 在 x=1 处的导数为2，则 A.2 B.1 C. D.6 3．（2022·陕西宝鸡渭滨教研室高二期末·知识点1）一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s(t)=，且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20m／s，则实数m的值为（ ）。 A.2 B.1 C.-1 D.-2 4.(2022·上海高二期末·知识点1）函数在区间［2,4］上的平均变化率等于 。 5.(2022·湖南高二课时练习·知识点1）求函数在到之间的平均变化率。 高考提升 6．（2022·黑龙江高二期末·知识点2）已知f(x)是定义在R上的可导函数，若，则（ ）。 A.0 B.-2 C.1 0 7.(2022·北京海淀区期中·知识点1）已知函数f(x)和g(x)在区间［a，b］上的图像如图5-1-9，那么下列说法正确的是（ ）。 A.f(x)在[a,b]上的平均变化率大于g(x)在［a，b］上的平均变化率 B.f(x)在［a，b］上的平均变化率小于g(x)在［a，b］上的平均变化率 C.对于任意，函数f(x)在处的瞬时变化率总大于函数g(x)在处的瞬时变化率 D.存在，使得函数f(x)在处的瞬时变化率小于函数g(x)在处的瞬时变化率 8．（2022·广东东莞高二阶段练习·能力点4）（多选）甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图5-1-10。则下列四种说法正确的是（ ）。 A.前四年该产品产量增长速度越来越快 B.前四年该产品产量增长速度越来越慢 C.第四年后该产品停止生产 D.第四年后该产品年产量保持不变 9．（2022·湖南临澧一中高二开学考·能力点4）（多选）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策。各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q。已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图5-1-11所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间［0，T］内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的是（ ）。 10．（2022·北京东城区高二期末·知识点1）设函数,当自变量x从0变到1时，它们的平均变化率分别记为，则之间的大小关系为 （用“＞”“＜”“＝”连接）；三个函数中在x=1处的瞬时变化率最大的是 。 11．（2022·北京西城区高二期末·知识点1·能力点1）已知自由落体的物体的运动方程为，求： （1）物体在到这段时间内的平均速度； （2）物体在时刻的瞬时速度。 12．（知识点3·能力点3）已知曲线上一点，求： （1）曲线在点P处的切线方程； （2）过点P的曲线的切线方程。 答案解析 基础达标 1.C 【解析】： ：该物体在运动前2s的平均速度为9(m/s)。故选C。- 2．B【解析】由函数f(x)在x=1处的导数为2，得，所以 。故选B。 3.A 【解析】Δt=2-1=1，因为物体在,1≤t≤2这段时间内的平均速度为20m/s,所，解得m=2。故选A。 4.6【解析】所求平均变化率为，故答案为6。 5．当自变量从到时，函数的平均变化率为 = 高考提升 6.B 【解析】因为4，所以故 故选B。 7．D【解析】对于A,B,∵f(x)在[a,b]上的平均变化率是在[a,b]上的平均变化率是，由题图可知，，.选项A，B错误；对于C，D，函数f(x)（或g(x))在处的瞬时变化率即为函数f(x)（或g(x))在该点处的切线的斜率，由题图知，选项C错误，D正确。 8．BD【解析】设产量与时间的关系为y=f(x)，由题图可知f(x)在点(1,f(1)),(2,f(2)),(3,f(3),(4,f(4))处的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义可知，前四年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确；由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，故C错误，D正确。故选BD。 9．ACD【解析】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图像上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图像应是一直下凹的，则选项B满足条件，所以在时间［0，T］内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的是选项A，C，D，故选ACD。 10. h(x) 【解析】（1）由题意，，故 （2）由题意，，故，故三个函数中在x=1处的瞬时变化率最大的是h(x) 11．（1）物体在到这段时间内的平均速度. （2）物体在时刻的瞬时速度 12．（1）：函数的导函数为 ：曲线在点P处的切线的斜率等于4。．曲线在点P处的切线方程是，即12x-3y-16=0。 （2）设切点为，由（1）知，则点处的切线斜率，切线方程为y-。又切线过点，且 在曲线 上，:整理得 即，解得或-1。当时，，切线斜率k=4，切线方程为12x-3y-16=0当时，，切线斜率k=1，切线方程为3x-3y+2=0。．过点P的切线方程为12x-3y-16=0和3x-3y+2=0。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1导数的概念及其意义 知识点1 变化率问题 ① 平均变化率的概念 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到Δx，相应地，函数值y就从变化到Δx）。这时x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=。我们把比值，即叫作函数y=f(x)从到 的平均变化率。 概念辨析 （1）Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘，它可为正数，也可为负数，但一定不能为零。 （2）Δy也是一个整体符号，若，则，而不是，Δy可为正数，也可为负数，还可以为零。 （3）由（1）（2）可知函数的平均变化率可为正数或负数，也可为零。 （4）一般地，在式子中，当取定值，Δx取不同数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值，取不同数值时，函数的平均变化率也不一定相同。特别地，当函数f(x)为常函数时，Δy=0，则 ② 物理中的平均速度和瞬时速度 平均速度 设物体运动的位移s与时间t的关系是,从到时间段内的平均速度 瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。当Δt无限趋近于0时，平均速度将越来越趋近于物体在时刻的瞬时速度 ③ 平均变化率的几何意义 由函数y=f(x)的图像（如图5-1-1)可知，函数y=f(x)的平均变化率的几何意义是函数y=f(x)图像上的两点所在直线的斜率。 利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙、不精确的”。只有当无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”。 ④ 平均变化率的物理意义 （1）把位移s看成时间t的函数s=s(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段上的平均速度，即 （2）把速度v看成时间t的函数v=v(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段上的平均加速度，即 例1-1 （2022·北师大实验中学高二阶段练习）在曲线的图像上取一点（1,2）及邻近一点(1+Δx,2+Δy)，则为（ ）。 B C.2+Δx 例1-2（2022·湖南高二课时练习）已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间变化而变化（温度不变），下表记录了某温度下该化学物质在溶液中反应时不同时刻t的浓度C(t)。 t 0 2 4 6 8 C(t) 0.080 0 0.057 0 0.040 8 0.029 5 0.021 0 试根据上表求下列时间段内的平均反应速率： (1))2≤t≤6；(2)2≤t≤4; (3)0≤t≤2。 例1-3（2022·北京朝阳高二专题练习）若一物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：求： （1）物体在t∈[3,5]内的平均速度； （2）物体的初速度 （3）物体在t=1s时的瞬时速度。 例1-4（2022·北京顺义高二期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通O 风换气。在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如图5-1-4所示。则下 列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）。 A.[5,10] B.[5,15] C.[5,20] D.[5,35] 知识点2 导数的概念 ① 导数（瞬时变化率）的概念 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y=f(x)在处可导，并把这个确定的值叫作y=f(x)在处的导数（也称为瞬时变化率），记作f＇（）或即 说明：（1）对于任何具体函数或者实际问题，瞬时 变化率都是一个精确值，而不是近似值。只是现阶段我们还不能求出瞬时变化率，故只能用平均变化率来估计瞬时变化率。 (2)表示函数y关于自变量x在处的导数。 ② 导函数 对于函数y=f(x)，当时是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数（简称导数）。y=f(x)的导函数有时也记作y＇，即 例2-1（2022·广西玉林高二期末）设f(x)是定义在R上的可导函数，若(a为常数），则 A.-2a B.2a C.-a D.a 例2-2 已知，则 。 例2-3函数在x=2处的导数为 。 知识点3 导数的几何意义 ① 导数的几何意义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x)）沿着曲线y=f(x)无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线y=f(x)在点处的切线。 容易知道，割线的斜率，记，当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y=f(x)在处的导数。因此，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线的斜率，即。这就是导数的几何意义。 ② 导数与函数图像的关系 (1)附近各切线的斜率反映切线的升降变化情况，导数反映函数在附近的增减情况，而处的切线斜率，所以它们反映的图形变化情况是一致的，如图5-1-3。 （2）曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表： 的符号 曲线在附近的升降情况 切线的 斜率k 切线的倾斜角 上升 锐角 下降 钝角 平坦 零角（切线与x轴平行） 例3-1（2022·广东佛山高二阶段练习）（多选）已知在抛物线上，割线PM的斜率为，割线QM 的斜率为，抛物线在M处的切线斜率为k，则（ ）。 A 例3-2（2022·黑龙江齐齐哈尔高二期末）函数y=f(x)的图像如图是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）。 A.(5) B.3) (5) D. 分层练习 基础达标 1．（2022·东北师大附中高二开学考·知识点1）某物体沿水平方向运动，其前进距离s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为s(t)=5t+，则该物体在运动前2s的平均速度为（ ）。 A.18m/s B.13m/s C.9m/s D 2．（2022·陕西渭南高二期末·知识点2）若函数f(x) 在 x=1 处的导数为2，则 A.2 B.1 C. D.6 3．（2022·陕西宝鸡渭滨教研室高二期末·知识点1）一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s(t)=，且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20m／s，则实数m的值为（ ）。 A.2 B.1 C.-1 D.-2 4.(2022·上海高二期末·知识点1）函数在区间［2,4］上的平均变化率等于 。 5.(2022·湖南高二课时练习·知识点1）求函数在到之间的平均变化率。 高考提升 6．（2022·黑龙江高二期末·知识点2）已知f(x)是定义在R上的可导函数，若，则（ ）。 A.0 B.-2 C.1 0 7.(2022·北京海淀区期中·知识点1）已知函数f(x)和g(x)在区间［a，b］上的图像如图5-1-9，那么下列说法正确的是（ ）。 A.f(x)在[a,b]上的平均变化率大于g(x)在［a，b］上的平均变化率 B.f(x)在［a，b］上的平均变化率小于g(x)在［a，b］上的平均变化率 C.对于任意，函数f(x)在处的瞬时变化率总大于函数g(x)在处的瞬时变化率 D.存在，使得函数f(x)在处的瞬时变化率小于函数g(x)在处的瞬时变化率 8．（2022·广东东莞高二阶段练习·能力点4）（多选）甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图5-1-10。则下列四种说法正确的是（ ）。 A.前四年该产品产量增长速度越来越快 B.前四年该产品产量增长速度越来越慢 C.第四年后该产品停止生产 D.第四年后该产品年产量保持不变 9．（2022·湖南临澧一中高二开学考·能力点4）（多选）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策。各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q。已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图5-1-11所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间［0，T］内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的是（ ）。 10．（2022·北京东城区高二期末·知识点1）设函数,当自变量x从0变到1时，它们的平均变化率分别记为，则之间的大小关系为 （用“＞”“＜”“＝”连接）；三个函数中在x=1处的瞬时变化率最大的是 。 11．（2022·北京西城区高二期末·知识点1·能力点1）已知自由落体的物体的运动方程为，求： （1）物体在到这段时间内的平均速度； （2）物体在时刻的瞬时速度。 12．（知识点3·能力点3）已知曲线上一点，求： （1）曲线在点P处的切线方程； （2）过点P的曲线的切线方程。 学科网（北京）股份有限公司 $$