2.1 第2课时垂直教学设计 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第二章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 第2课时 垂 直 ※教学目标※ 1.理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。（重点） 2.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。（难点） 3.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。 ※教学过程※ 一、新课导入 [情境导入]观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 日常生活里，有图中位置关系的两条直线很常见，你能再举出其他例子吗？ 二、新知探究 （一）垂直的概念及画法 观察：取两根木条a,b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b。a，b所成的夹角为α。 转动木条的同时观察其夹角的变化。 [合作探究] (1)当∠α分别为35°,90°时，其余的角分别是多少？ (2)当∠α为90°的位置关系有几个？此时，木条a和木条b所在的直线有什么样的位置关系？ [归纳总结]两条直线相交形成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线相互垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 通常用符号“⊥”表示两条直线相互垂直。 记作：AB⊥CD（或CD⊥AB），或可记作l⊥m（或m⊥l）。 做一做： 活动1 你能借助直角三角板在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 方法不唯一，只要正确、可操作即可。 活动2 如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 只用直尺，可以在方格纸上画两条互相垂直的直线，方法不唯一。 参考如下： 活动3 你能用纸折出两条互相垂直的直线吗? 用下面的方法可以折出互相垂直的线。 [归纳总结]经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线的步骤如下表： 步骤 内容 示意图 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点P作直线l的垂线 二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 [针对练习]在下图中，分别过点P作AB的垂线。 （二）垂线的性质 [合作探究] (1) 画已知直线 l 的垂线能画几条? (1) 如图，已知直线 l，画 l 的垂线。 解：无数条 (2) 点 A 在直线 l 上，过点 A 画直线 l 的垂线，你能画出多少条? (3) 如果点 A 在直线 l 外呢? (2) 如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 画 l 的垂线。 (3) 如图，已知直线 l 和 l 外的一点 M，过点 M 画 l 的垂线。 预设：都只能画一条垂线。 [归纳总结] 1.垂线的性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性。 （三）点到直线的距离 探究 如图，点 P 是直线 l 外一点，PO⊥ l ，点 O 是垂足。点 A，B，C 在直线 l 上，比较线段 PO，PA，PB，PC 的长短，你发现了什么? 解：PO最短。 [归纳总结] 1.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 2.点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。 如图，线段PO的长度叫作点P到直线l的距离。 议一议： 你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的吗?你能说说其中的道理吗? 由裁判在距离踏板最近的跳远落地点插上作为标记的小旗，以小旗的位置为尺子的零点，将尺子拉直，并与踏板边沿所在直线垂直，则垂足点上尺子表示的数字即为跳远成绩。 这实质上是“点到直线的距离”这一概念的应用。 [针对练习]如图，下列说法正确的是 （ D ） A.线段 AB 叫做点 B 到直线 AC 的距离 B.线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 BC 的距离 C.线段 BD 的长度叫做点 D 到直线 BC 的距离 D.线段 BD 的长度叫做点 B 到直线 AC 的距离 三、课堂小结 四、课堂训练 1.下列说法中正确的是（ A ） A.过直线m外一点A（或直线m上一点B），一定可以画一条直线与直线m垂直 B.过直线外两点一定可以画这条直线的垂线 C.过射线外一点，可以画这条射线的垂线 D.同一平面内的两条直线，如果不相交，那么这两条直线有可能互相垂直 2.点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线m的距离(　D ) A．等于4 cm　 　B．等于2 cm　　 C．小于2 cm　　 D．不大于2 cm 3.如图，AB⊥AC，AD⊥BC，如果AB=4㎝，AC=3㎝，AD=2.4㎝，BC=5㎝，那么A，B两点之间的距离为 4cm ，点A到直线BC的距离为 2.4cm ，点C到直线AB的距离为 3cm 。 4.（1）从村庄A到货场B怎样走最近？为什么？ 解：两点之间，线段最短。 （2）从货场B到铁道怎样走最近？为什么？ 解：垂线段最短。 5.如图，直线AB，CD，EF都经过点O，且AB⊥CD。∠COE=35°，求∠DOF，∠BOF的度数。 解：因为直线CD，EF相交于点O，所以∠DOF=∠COE=35°。 因为AB⊥CD，所以∠BOD=90°，所以∠BOF=∠BOD+∠DOF=90°+35°=125°。 五、布置作业 ※教学反思※ 垂线的性质和定义，都是通过操作、探究获得的。为了获得垂线的性质，在这里要让学生动手画图，再通过小组讨论，体会垂线的存在性和唯一性，归纳出“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一性质；“垂线段最短”的性质在日常生活中有着广泛的应用，教材由实际问题引入，解决实际问题结束。教学时，应多举一些这方面的实例，让学生体会这一性质的应用；同时发展学生的抽象概括能力和空间观念。 学科网（北京）股份有限公司 $$