解析几何 专项复习提升讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一节　直线的方程 直线的倾斜角与斜率 【例1】　（选择性必修第一册第58页8题改编）直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为　（－∞，－]∪[1，＋∞）　. 解析：设直线PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kPA＝1，直线PB的斜率是kPB＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞）.当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的取值范围是（－∞，－].故直线l的斜率的取值范围是（－∞，－]∪[1，＋∞）. 1.（变条件）若本例中P（1，0）改为P（－1，0），其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围. 解：如图，∵kPA＝＝，kPB＝＝，∴直线l的斜率的取值范围为［，］. 2.（变条件，变设问）若本例中的B（0，）改为B（2，－1），其他条件不变，求直线l的倾斜角的取值范围. 解：如图，∵kPA＝＝1，kPB＝＝－1，∴直线l的斜率的取值范围为[－1，1]，∴直线l的倾斜角的取值范围是［0，］∪［，π）. 直线的方程 【例2】　（1）（多选）（2024·临沂模拟）过点（－3，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是（　AB　） A.x＋3y＝0　 B.x＋y＋2＝0 C.x－y＋2＝0　 D.x－3y＝0 （2）（2024·重庆六校联考）已知一条直线经过点A（2，－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为　x－y－3＝0　； （3）经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝（－3，2）的直线方程为　2x＋3y－5＝0　. 解析：（1）当截距均为0时，设直线的方程为y＝kx，将点（－3，1）的坐标代入得k＝－，此时直线的方程为x＋3y＝0；当截距均不为0时，设直线的方程为＋＝1，将点（－3，1）的坐标代入得a＝－2，此时直线的方程为x＋y＋2＝0. （2）由已知得直线x－y＝0的斜率为，则其倾斜角为30°，故所求直线倾斜角为60°，斜率为，故所求直线的方程为y－（－）＝（x－2），即x－y－3＝0. （3）联立解得∴直线过点（1，1）.∵直线的方向向量v＝（－3，2），∴直线的斜率k＝－，则直线的方程为y－1＝－（x－1），即2x＋3y－5＝0. 轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程. 解：（1）证明：直线l的方程可化为k（x＋2）＋（1－y）＝0，令解得 ∴无论k取何值，直线总经过定点（－2，1）. （2）由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则解得k＞0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞）. （3）由题意可知k＞0，由l的方程，得A（－，0），B（0，1＋2k）. ∵S＝·｜OA｜·｜OB｜＝·｜｜·｜1＋2k｜ ＝·＝（4k＋＋4）≥×（2×2＋4）＝4，“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 第二节　两直线的位置关系 两直线的位置关系 考向1　两直线相交 【例1】　已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点P，且垂直于直线x＋y－2＝0，则直线l的方程为　x－y－1＝0　. 解析：法一　由得即点P的坐标为（2，1），因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以直线l的斜率为1，由点斜式得直线l的方程为y－1＝1×（x－2），即x－y－1＝0. 法二　由得即点P的坐标为（2，1），因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以可设直线l的方程为x－y＋C＝0，把点P的坐标代入得2－1＋C＝0，解得C＝－1.故直线l的方程为x－y－1＝0. 考向2　两直线平行与垂直 【例2】　1.“a＝1”是“直线（2a＋1）x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的（　　） A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件 解析：A　当a＝1时，直线（2a＋1）x＋ay＋1＝0的斜率为－3，直线ax－3y＋3＝0的斜率为，两直线垂直；当两直线垂直时，（2a＋1）a－3a＝0，解得a＝0或1，所以“a＝1”是“直线（2a＋1）x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的充分不必要条件，故选A. 2.（多选）已知直线l1：（a＋1）x＋ay＋2＝0，l2：ax＋（1－a）y－1＝0，则（　　） A.l1恒过点（2，－2） B.若l1∥l2，则a2＝ C.若l1⊥l2，则a2＝1 D.当0≤a≤1时，l2不经过第三象限 解析：BD　l1：（a＋1）x＋ay＋2＝0⇔a（x＋y）＋x＋2＝0，令解得所以直线l1恒过点（－2，2），故A不正确；若l1∥l2，则有（a＋1）·（1－a）＝a2且－（a＋1）－2a≠0，解得a2＝，故B正确；若l1⊥l2，则有a（a＋1）＋a（1－a）＝0，解得a＝0，故C不正确；若直线l2不经过第三象限，则当1－a≠0时，＞0，－≤0，解得0≤a＜1，当1－a＝0，即a＝1时，直线l2：x＝1，也不经过第三象限，综上可知，当0≤a≤1时，l2不经过第三象限，故D正确.故选B、D. 3.使三条直线x＋y＝2，mx＋y＝0，x－y＝4不能围成三角形的实数m的值为　或1或－1　. 解析：当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形.若三条直线交于一点，由得直线x＋y＝2与x－y＝4的交点坐标为（3，－1），把（3，－1）代入到直线mx＋y＝0，得m＝； 若有两条直线平行或重合时，有两条直线的斜率相等，这三条直线的斜率分别为－1，－m，1，所以m＝1或m＝－1. 距离问题 【例3】　（1）若A（7，8），B（10，4），C（2，－4），则△ABC的面积为（　　） A.28　 B.14 C.56　 D.20 （2）若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则｜PQ｜的最小值为（　　） A.　 B. C.　 D. 答案：（1）A　（2）C　 解析：（1）根据两点间的距离公式得AB＝＝5，AB所在直线方程为y－8＝（x－7），即4x＋3y－52＝0，则点C到直线AB的距离d＝＝，所以S△ABC＝×5×＝28.故选A. （2）因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知｜PQ｜的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以｜PQ｜的最小值为. 对称问题 考向1　中心对称问题 【例4】　直线x－2y－3＝0关于定点M（－2，1）对称的直线方程是　x－2y＋11＝0　. 解析：设所求直线上任一点（x，y），则关于M（－2，1）的对称点（－4－x，2－y）在已知直线上，所以所求直线方程为（－4－x）－2（2－y）－3＝0，即x－2y＋11＝0. 考向2　轴对称问题 【例5】　已知入射光线经过点M（－3，4），被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程为　6x－y－6＝0　. 解析：设点M（－3，4）关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M'（a，b），则反射光线所在直线过点M'，所以解得又反射光线经过点N（2，6），所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0. 第三节　圆的方程 圆的方程 【例1】　（1）（2022·全国甲卷14题）设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M上，则☉M的方程为　（x－1）2＋（y＋1）2＝5　； （2）已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A（2，7），则圆C的标准方程为　（2）x2＋（y－8）2＝5　. 解析：（1）法一　设☉M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，则解得∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5. 法二　设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则M， ∴解得 ∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即（x－1）2＋（y＋1）2＝5. 法三　设A（3，0），B（0，1），☉M的半径为r，则kAB＝＝－，AB的中点坐标为，∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y－4＝0.联立得解得M（1，－1），∴r2＝｜MA｜2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5. （2）如图所示，由圆心C（0，m）与切点A的连线与切线垂直，得＝－，解得m＝8.所以圆心坐标为（0，8），半径为r＝＝.所以圆C的标准方程为x2＋（y－8）2＝5. 与圆有关的最值问题 技法1　利用几何性质求最值 【例3】　（2024·绍兴一模）已知点（x，y）在圆（x－2）2＋（y＋3）2＝1上. （1）求的最大值和最小值； （2）求x＋y的最大值和最小值； （3）求的最大值和最小值. 解：（1）可视为点（x，y）与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率. 设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－， ∴的最大值为－2＋，最小值为－2－. （2）设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距， ∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距. 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即＝1，解得t＝－1或t＝－－1. ∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1. （3）＝，求它的最值可视为求点（x，y）到定点（－1，2）的距离的最值，可转化为求圆心（2，－3）到定点（－1，2）的距离与半径的和或差. 又圆心到定点（－1，2）的距离为， ∴的最大值为＋1，最小值为－1. 技法2　利用对称性求最值 【例4】　 （2024·衡水联考）已知A（0，2），点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值是　2　. 解析：因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，所以圆C是以C（2，1）为圆心，半径r＝的圆.设点A（0，2）关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A'（m，n），所以解得故A'（－4，－2）.连接A'C交圆C于Q（图略），交直线x＋y＋2＝0于P，此时，｜PA｜＋｜PQ｜取得最小值，由对称性可知｜PA｜＋｜PQ｜＝｜A'P｜＋｜PQ｜＝｜A'Q｜＝｜A'C｜－r＝2. 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 【例1】　（1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是（　A　） A.相交　 B.相切 C.相离　 D.不确定 （2）若圆x2＋y2＝r2（r＞0）上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是　（＋1，＋∞）　. 解析：（1）法一（代数法）　由消去y，整理得（1＋m2）x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆相交. 法二（几何法）　由题意知，圆心（0，1）到直线l的距离d＝＜1＜，故直线l与圆相交. 法三（点与圆的位置关系法）　直线l：mx－y＋1－m＝0过定点（1，1），因为点（1，1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，所以直线l与圆相交. （2）计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1. 圆的弦长、切线问题 考向1　圆的弦长问题 【例2】　（2023·新高考Ⅱ卷15题）已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　－2（或－或或2，填写任意一个均可）　. 解析：依题意可得圆C的圆心为C（1，0），半径r＝2，则圆心C（1，0）到直线x－my＋1＝0的距离d＝，｜AB｜＝2＝，所以S△ABC＝×d×｜AB｜＝＝，解得m＝2或m＝－2或m＝或m＝－.填写任意一个均可. 考向2　圆的切线问题 【例3】　（2023·新高考Ⅰ卷6题）过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（　　） A.1　　　 B. 　　　C. 　　 D. 解析：B　由x2＋y2－4x－1＝0，得（x－2）2＋y2＝5，所以圆心为点（2，0），半径为.如图易知点（2，0）与点（0，－2）的距离为2，所以点（0，－2）与切点的距离为＝，所以sin＝，cos＝，所以sin α＝2sincos＝2××＝.故选B. 圆与圆的位置关系 【例4】　已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点.公共弦AB的长为　2　，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为　（x＋2）2＋（y－1）2＝5　　. 解析：两圆的方程作差可得x－2y＋4＝0.∴圆C1与圆C2的公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0，联立解得或不妨设A（－4，0），B（0，2），∴｜AB｜＝＝2，以AB为直径的圆即为面积最小的圆，方程为（x＋2）2＋（y－1）2＝5. 第五节　椭 圆 2.椭圆＋＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为（　　） A.6　 B.3 C.4　 D.2 解析：A　由椭圆方程＋＝1，得a2＝25，即a＝5，设下焦点为F1，上焦点为F2，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝10，因为｜PF2｜＝4，所以｜PF1｜＝6，即点P到下焦点的距离为6. 3.已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是（　　） A.长轴长为　 B.焦距为 C.短轴长为　 D.离心率为 解析：D　把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝，故选D. 4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则椭圆C的方程是（　　） A.＋＝1　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋＝1 解析：D　依题意，设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），所以解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为＋＝1.故选D. 5.若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是　（3，4）∪（4，5）　. 解析：由已知得解得3＜k＜5且k≠4. 1.已知F1（－1，0），F2（1，0）是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且｜AB｜＝3，则C的方程为（　　） A.＋y2＝1　　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋＝1 解析：C　由结论3可知｜AB｜＝3＝，又c＝1，解得a＝2，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1. 2.已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝时，△PF1F2的面积为　　. 解析：由结论2可得，S＝b2tan，可得S＝1·tan＝. 椭圆的定义及其应用 【例1】　（1）（2023·全国甲卷7题）设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（　　） A.1　 B.2 C.4　 D.5 （2）如图所示，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（　　） A.椭圆　 B.双曲线 C.抛物线　 D.圆 答案：（1）B　（2）A 解析：（1）由题意，得a2＝5，b2＝1，则c2＝a2－b2＝4.∵·＝0，∴PF1⊥PF2，∴｜PF1｜2＋＝｜F1F2｜2＝4c2.∵｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝＝＝2.故选B. （2）如图，连接QA，由已知得｜QA｜＝｜QP｜.所以｜QO｜＋｜QA｜＝｜QO｜＋｜QP｜＝｜OP｜＝r.又因为点A在圆内，所以｜OA｜＜｜OP｜，根据椭圆的定义，知点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆，故选A. 1.已知椭圆＋＝1上的一点P到焦点F1的距离为6，点M是PF1的中点，O为坐标原点，则｜OM｜＝（　　） A.2　 B.4 C.7　 D.14 解析：C　如图所示，设椭圆的另一焦点为F2，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以｜OM｜＝｜PF2｜，由椭圆的方程得a＝10，所以2a＝20，所以｜PF2｜＝2a－｜PF1｜＝20－6＝14，所以｜OM｜＝7，故选C. 2.若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为　　. 解析：由题意得a＝3，b＝，c＝，∴｜F1F2｜＝2，｜AF1｜＋｜AF2｜＝6.∵｜AF2｜2＝｜AF1｜2＋｜F1F2｜2－2｜AF1｜·｜F1F2｜cos 45°＝｜AF1｜2＋8－4｜AF1｜，∴（6－｜AF1｜）2＝｜AF1｜2＋8－4｜AF1｜，解得｜AF1｜＝.∴△AF1F2的面积S＝×2××＝. 椭圆的标准方程 【例2】　（1）已知两圆C1：（x－4）2＋y2＝169，C2：（x＋4）2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（　D　） A.－＝1　 B.＋＝1 C.－＝1　 D.＋＝1 （2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（，1），P2（－，－），则该椭圆的方程为　＋＝1　. 解析：（1）设动圆的圆心M（x，y），半径为r，圆M与圆C1：（x－4）2＋y2＝169内切，与圆C2：（x＋4）2＋y2＝9外切.所以｜MC1｜＝13－r，｜MC2｜＝3＋r.｜MC1｜＋｜MC2｜＝16＞｜C1C2｜＝8，由椭圆的定义，M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆.则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，动圆的圆心M的轨迹方程为＋＝1. （2）设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，且m≠n）.因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，则解得所以所求椭圆的方程为＋＝1. 1.（2022·全国甲卷11题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若·＝－1，则C的方程为（　　） A.＋＝1　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋y2＝1 解析：B　依题意得A1（－a，0），A2（a，0），B（0，b），所以＝（－a，－b），＝（a，－b），·＝－a2＋b2＝－（a2－b2）＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝＝＝，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为＋＝1，故选B. 椭圆的几何性质 考向1　离心率问题 【例3】　（1）（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆C1：＋y2＝1（a＞1），C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝（　　） A.　　 B.　　　C.　　 D. （2）已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点，且3｜AB｜＝2｜BC｜，则该椭圆的离心率为（　　） A.　 B.　　C.　 D. 答案：（1）A　（2）B 解析：（1）法一　由题意知e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝.故选A. 法二　代入验证，若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意，由于是单选题，故选A. （2）由椭圆的方程＋＝1（a＞b＞0）可得当x＝c时y＝±，所以｜AB｜＝2c，｜BC｜＝.因为3｜AB｜＝2｜BC｜，所以6c＝，所以3ac＝2b2＝2a2－2c2，所以3e＝2－2e2，解得e＝或e＝－2（舍）.故选B. 考向2　与椭圆性质有关的最值（范围）问题 【例4】　（2021·全国乙卷11题）设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值为（　　） A.　 B. C.　 D.2 解析：A　设点P（x，y），则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B（0，1），所以根据两点间的距离公式得｜PB｜2＝x2＋（y－1）2＝5－5y2＋（y－1）2＝－4y2－2y＋6＝－.当2y＋＝0，即y＝－（满足｜y｜≤1）时，｜PB｜2取得最大值，所以｜PB｜max＝.故选A. 直线与椭圆的位置关系 【例1】　（1）已知椭圆C：＋＝1，直线l：（m＋2）x－（m＋4）y＋2－m＝0（m∈R），则直线l与椭圆C的位置关系为（　　） A.相交　 B.相切 C.相离　 D.不确定 （2）已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1有公共点，则实数m的取值范围是（　　） A.[－2，2] B.[－3，3] C.（－∞，－2]∪[2，＋∞） D.（－∞，－3]∪[3，＋∞） 答案：（1）A　（2）B 解析：（1）对直线l：（m＋2）x－（m＋4）y＋2－m＝0（m∈R），整理得m（x－y－1）＋2（x－2y＋1）＝0，令解得故直线l过定点A（3，2）.因为＋＝＜1，则点A（3，2）在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C相交.故选A. （2）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得消去y得9x2＋10mx＋5m2－20＝0，①.因为直线l与椭圆C有公共点，所以方程①有实数根，则Δ＝（10m）2－36（5m2－20）≥0，得－3≤m≤3.故选B. 弦长问题 【例2】　在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率e＝. （1）求椭圆C的方程； （2）直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点.若｜AB｜＝，求直线l的方程. 解：（1）∵e2＝＝＝， ∴a2＝4b2. 又椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）过点P（2，1）， ∴＋＝1， ∴a2＝8，b2＝2. 故所求椭圆方程为＋＝1. （2）设l的方程为y＝x＋m，点A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0. ∴Δ＝4m2－8m2＋16＞0， 解得｜m｜＜2. ∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4. 则｜AB｜＝× ＝＝，解得m＝±. 故所求直线l的方程为y＝x±. 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点（0，1）且长轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点M（1，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长｜AB｜. 解：（1）由题意，设椭圆C的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）， 因为椭圆C经过点（0，1）且长轴长为2， 所以a＝，b＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. （2）因为直线l过点M（1，0）且斜率为1， 所以直线l的方程为y＝x－1. 设A（x1，y1），B（x2，y2），将y＝x－1代入＋y2＝1，得＋（x－1）2＝1， 整理得3x2－4x＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝0， 所以｜AB｜＝·＝×＝. 中点弦问题 【例3】　已知椭圆＋y2＝1. （1）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点的轨迹方程； （2）求过点P且被点P平分的弦所在直线的方程. 解：（1）设弦的端点为M（x1，y1），N（x2，y2），其中点是Q（x，y）， 则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y， 由于点M，N在椭圆上，则有 ②－①得＝－＝－， 所以－＝， 化简得x2－2x＋2y2－2y＝0（包含在椭圆＋y2＝1内部的部分）. （2）由中点弦公式得k＝－＝－， 因此所求直线方程是y－＝－， 化简得2x＋4y－3＝0. 第六节　双曲线 2.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（　　） A.－＝1　　　 B.－＝1 C.－＝1　 D.－＝1 解析：B　由方程组得a＝2，b＝2.∵双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为－＝1. 3.已知双曲线的方程为－＝1，则下列关于双曲线的说法正确的是（　　） A.虚轴长为4　 B.焦距为2 C.离心率为　 D.渐近线方程为2x±3y＝0 解析：D　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，结合选项选D. 4.已知曲线C的方程为＋＝1（k∈R），若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围为　（－∞，－1）　. 解析：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则解得k＜－1. 5.若点P为双曲线－＝1上的一点，F1，F2为双曲线的焦点，且｜PF1｜＝10，则｜PF2｜＝　4或16　. 解析：双曲线－＝1中a＝3，∵｜PF1｜＝10，P在双曲线上，∴由双曲线的定义可得｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝6，∴｜PF2｜＝4或16. 1.与双曲线 －y2＝1有相同渐近线，且与椭圆 ＋＝1有共同焦点的双曲线方程是（　　） A.－＝1　 B.－＝1 C.－＝1　 D.－＝1 解析：B　由结论1，可设双曲线方程为y2－＝λ（λ≠0），故2λ＋λ＝6，λ＝2，所以所求双曲线方程为－＝1. 2.已知双曲线－＝1（b＞0），其焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（　　） A.　　 　　　　　　 B. C.2　 D. 解析：A　由结论2可知：b＝1，又a＝，所以c＝＝2，所以该双曲线的离心率e＝＝＝.故选A. 3.过双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点 F作垂直于 x轴的直线，交双曲线于 A， B两点， O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e＝　　. 解析：若△OAB为等腰直角三角形，由结论2可得｜AB｜＝，则c＝，即ac＝c2－a2，可得e2－e－1＝0，e＞1，解得e＝. 双曲线的定义及应用 【例1】　（1）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，｜PF1｜＝2｜PF2｜，则cos∠F1PF2＝　　； （2）已知F是双曲线－＝1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的一动点，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为　9　. 解析：（1）∵由双曲线的定义有｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝2，∴｜PF1｜＝2｜PF2｜＝4，则cos∠F1PF2＝＝＝. （2）因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F（－4，0），设其右焦点为H（4，0），则由双曲线的定义可得｜PF｜＋｜PA｜＝2a＋｜PH｜＋｜PA｜≥2a＋｜AH｜＝4＋＝4＋5＝9（当A，P，H三点共线时取等号）. 2.双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是（　　） A.12　 B.16 C.21　 D.26 解析：D　依题意知｜AF2｜－｜AF1｜＝2a＝8，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a＝8，∴（｜AF2｜－｜AF1｜）＋（｜BF2｜－｜BF1｜）＝16，又｜AB｜＝5，∴｜AF2｜＋｜BF2｜＝16＋（｜AF1｜＋｜BF1｜）＝16＋｜AB｜＝16＋5＝21.∴｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AB｜＝21＋5＝26.即△ABF2的周长是26.故选D. 双曲线的几何性质 考向1　双曲线的渐近线 【例3】　（1）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为（　B　） A.y＝±x　 B.y＝±2x C.y＝±x　 D.y＝±x （2）（2022·全国甲卷14题）若双曲线y2－＝1（m＞0）的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝　　. 解析：（1）由题意可知，2c＝2，2a＝2，所以c＝，a＝1，所以b＝＝2，则＝2.故该双曲线C的渐近线方程为y＝±2x. （2）双曲线的渐近线方程为x±my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化为x2＋（y－2）2＝1，则圆心坐标为（0，2），半径r＝1.∵双曲线的渐近线与圆相切，∴圆心到渐近线的距离d＝＝1，得m＝. 考向2　双曲线的离心率 【例4】　（1）（2021·全国甲卷5题）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则C的离心率为（　A　） A.　 B. C.　 D. 解析：（1）设｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，则｜F1F2｜＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝. 1.设F1，F2是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若｜PF1｜＋｜PF2｜＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是（　　） A.x±y＝0　 B.2x±y＝0 C.x±2y＝0　 D.2x±y＝0 解析：C　∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，∴由双曲线的定义可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，又知｜PF1｜＋｜PF2｜＝4a，∴｜PF1｜＝3a，｜PF2｜＝a.在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得cos 60°＝，即＝，∴3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴＝，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0. 2.已知点F1，F2分别是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（　　） A.（1，）　 B.（1，1＋） C.（，＋∞）　 D.（1＋，＋∞） 解析：B　依题意，得0＜∠AF2F1＜，故0＜tan∠AF2F1＜1，则＝＜1，即e－＜2，e2－2e－1＜0，（e－1）2＜2，又e＞1，所以1＜e＜1＋. 第七节　抛物线 2.抛物线y＝2x2的准线方程为（　　） A.y＝－　　　　　　 B.y＝－ C.y＝－　 D.y＝－1 解析：A　由y＝2x2，得x2＝y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－. 3.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是　y2＝±4x　. 解析：可知双曲线的焦点为（－，0），（，0）.设抛物线方程为y2＝±2px（p＞0），则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x. 4.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若｜PF｜＝4，则△POF的面积为　2　. 解析：由｜PF｜＝xP＋＝4，可得xP＝3，∴yP＝±2.∴S△POF＝｜OF｜·｜yP｜＝2. 1.如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且｜AF｜＝4，则线段AB的长为（　　） A.5　　　 B.6　　　　C.　　　 D. 解析：C　因为｜AF｜＝4，所以点A到准线l距离为4，又F为AC中点，所以焦点F到准线l距离为2，即p＝2.由结论知＋＝，所以｜BF｜＝，所以｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝4＋＝. 2.直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若弦AB的长为16，则直线l的倾斜角α＝　或　. 解析：∵p＝6，由结论知｜AB｜＝＝＝16，∴sin2α＝，则sin α＝.∴α＝或. 抛物线的定义及应用 考向1　求轨迹方程 【例1】　动圆过点（1，0），且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为　y2＝4x　. 解析：设动圆的圆心坐标为（x，y），则圆心到点（1，0）的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 考向2　最值问题 【例2】　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A（－1，1）的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为　　. 解析：如图，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A（－1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝. 抛物线的标准方程与几何性质 【例3】　（1）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F作垂直于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以MN为直径的圆交y轴于C，D两点，且｜CD｜＝3，则抛物线方程为（　B　） A.y2＝2x　 B.y2＝2x C.y2＝4x　 D.y2＝6x （2）（2021·新高考Ⅰ卷14题）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为　x＝－　. 解析：（1）由题意可知通径MN＝2p，所以圆的半径是p，在Rt△COF中，（）2＋（）2＝p2，p＞0，解得p＝，所以抛物线方程为y2＝2x，故选B. （2）法一　由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan ∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－. 法二　由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0（舍去），所以C的准线方程为x＝－. 1.已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（　　） A.2　 B.3 C.6　 D.9 解析：C　法一　因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A（9，yA），所以＝18p.又点A到焦点的距离为12，所以＝12，所以＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42（舍去）或p＝6.故选C. 法二　根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6.故选C. 2.（2023·全国乙卷13题）已知点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为　　. 解析：∵点A（1，）在抛物线y2＝2px上，∴5＝2p，得p＝，∴点A到准线的距离为xA＋＝1＋＝. 直线与抛物线的位置关系 【例4】　（多选）（2023·新高考Ⅱ卷10题）设O为坐标原点，直线y＝－（x－1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（　　） A.p＝2 B.｜MN｜＝ C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 解析：AC　由于y2＝2px的焦点为（，0），直线y＝－（x－1）过焦点，所以－（－1）＝0，解得p＝2，A正确；联立消去y得3x2－10x＋3＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝，所以｜MN｜＝x1＋x2＋p＝.B不正确；以MN为直径的圆的圆心的横坐标为＝，圆心到准线l的距离d＝＋1＝＝｜MN｜，故以MN为直径的圆与l相切，C正确；不妨令点M在第一象限，由3x2－10x＋3＝0得x1＝，x2＝3，所以y1＝，y2＝－2，所以｜ON｜＝＝，｜OM｜＝＝，又｜MN｜＝，所以△OMN不是等腰三角形，D不正确.故选A、C. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一节　直线的方程 直线的倾斜角与斜率 【例1】　（选择性必修第一册第58页8题改编）直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为　 　. 1.（变条件）若本例中P（1，0）改为P（－1，0），其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围 . 2.（变条件，变设问）若本例中的B（0，）改为B（2，－1），其他条件不变，求直线l的倾斜角的取值范围 . 直线的方程 【例2】　（1）（多选）（2024·临沂模拟）过点（－3，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是（　　） A.x＋3y＝0　 B.x＋y＋2＝0 C.x－y＋2＝0　 D.x－3y＝0 （2）（2024·重庆六校联考）已知一条直线经过点A（2，－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为　　； （3）经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝（－3，2）的直线方程为　 　. 第二节　两直线的位置关系 两直线的位置关系 考向1　两直线相交 【例1】　已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点P，且垂直于直线x＋y－2＝0，则直线l的方程为　 　. 考向2　两直线平行与垂直 【例2】　1.“a＝1”是“直线（2a＋1）x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的（　　） A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件 2.（多选）已知直线l1：（a＋1）x＋ay＋2＝0，l2：ax＋（1－a）y－1＝0，则（　　） A.l1恒过点（2，－2） B.若l1∥l2，则a2＝ C.若l1⊥l2，则a2＝1 D.当0≤a≤1时，l2不经过第三象限 3.使三条直线x＋y＝2，mx＋y＝0，x－y＝4不能围成三角形的实数m的值为　 　. 距离问题 【例3】　（1）若A（7，8），B（10，4），C（2，－4），则△ABC的面积为（　　） A.28　 B.14 C.56　 D.20 （2）若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则｜PQ｜的最小值为（　　） A.　 B. C.　 D. 对称问题 考向1　中心对称问题 【例4】　直线x－2y－3＝0关于定点M（－2，1）对称的直线方程是　 　. 考向2　轴对称问题 【例5】　已知入射光线经过点M（－3，4），被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程为　 　. 第三节　圆的方程 圆的方程 【例1】　（1）（2022·全国甲卷14题）设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M上，则☉M的方程为　 　； （2）已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A（2，7），则圆C的标准方程为　 　. 与圆有关的最值问题 技法1　利用几何性质求最值 【例3】　（2024·绍兴一模）已知点（x，y）在圆（x－2）2＋（y＋3）2＝1上. （1）求的最大值和最小值； （2）求x＋y的最大值和最小值； （3）求的最大值和最小值. 技法2　利用对称性求最值 【例4】　 （2024·衡水联考）已知A（0，2），点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值是　　. 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 【例1】　（1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是（　 　） A.相交　 B.相切 C.相离　 D.不确定 （2）若圆x2＋y2＝r2（r＞0）上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是　 　. 圆的弦长、切线问题 考向1　圆的弦长问题 【例2】　（2023·新高考Ⅱ卷15题）已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　 　. 考向2　圆的切线问题 【例3】　（2023·新高考Ⅰ卷6题）过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（　　） A.1　　　 B. 　　　C. 　　 D. 圆与圆的位置关系 【例4】　已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点.公共弦AB的长为　 　，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为　 　　. 第五节　椭 圆 2.椭圆＋＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为（　　） A.6　 B.3 C.4　 D.2 3.已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是（　　） A.长轴长为　 B.焦距为 C.短轴长为　 D.离心率为 4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则椭圆C的方程是（　　） A.＋＝1　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋＝1 5.若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是　 　. 1.已知F1（－1，0），F2（1，0）是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且｜AB｜＝3，则C的方程为（　　） A.＋y2＝1　　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋＝1 2.已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝时，△PF1F2的面积为　　. 椭圆的定义及其应用 【例1】　1.（1）（2023·全国甲卷7题）设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（　　） A.1　 B.2 C.4　 D.5 （2）如图所示，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（　　） A.椭圆　 B.双曲线 C.抛物线　 D.圆 2..已知椭圆＋＝1上的一点P到焦点F1的距离为6，点M是PF1的中点，O为坐标原点，则｜OM｜＝（　　） A.2　 B.4 C.7　 D.14 3..若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为　　. 椭圆的标准方程 【例2】　（1）已知两圆C1：（x－4）2＋y2＝169，C2：（x＋4）2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（　　） A.－＝1　 B.＋＝1 C.－＝1　 D.＋＝1 （2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（，1），P2（－，－），则该椭圆的方程为　 　. 1.（2022·全国甲卷11题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若·＝－1，则C的方程为（　　） A.＋＝1　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋y2＝1 椭圆的几何性质 考向1　离心率问题 【例3】　（1）（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆C1：＋y2＝1（a＞1），C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝（　　） A.　　 B.　　　C.　　 D. （2）已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点，且3｜AB｜＝2｜BC｜，则该椭圆的离心率为（　　） A.　 B.　　C.　 D. 考向2　与椭圆性质有关的最值（范围）问题 【例4】　（2021·全国乙卷11题）设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值为（　　） A.　 B. C.　 D.2 直线与椭圆的位置关系 【例1】　（1）已知椭圆C：＋＝1，直线l：（m＋2）x－（m＋4）y＋2－m＝0（m∈R），则直线l与椭圆C的位置关系为（　　） A.相交　 B.相切 C.相离　 D.不确定 （2）已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1有公共点，则实数m的取值范围是（　　） A.[－2，2] B.[－3，3] C.（－∞，－2]∪[2，＋∞） D.（－∞，－3]∪[3，＋∞） 弦长问题 【例2】　在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率e＝. （1）求椭圆C的方程； （2）直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点.若｜AB｜＝，求直线l的方程. 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点（0，1）且长轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点M（1，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长｜AB｜. 中点弦问题 【例3】　已知椭圆＋y2＝1. （1）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点的轨迹方程； （2）求过点P且被点P平分的弦所在直线的方程. 第六节　双曲线 2.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（　　） A.－＝1　　B.－＝1 C.－＝1　 D.－＝1 3.已知双曲线的方程为－＝1，则下列关于双曲线的说法正确的是（　　） A.虚轴长为4　 B.焦距为2 C.离心率为　 D.渐近线方程为2x±3y＝0 4.已知曲线C的方程为＋＝1（k∈R），若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围为　 　. 5.若点P为双曲线－＝1上的一点，F1，F2为双曲线的焦点，且｜PF1｜＝10，则｜PF2｜＝　 . 1.与双曲线 －y2＝1有相同渐近线，且与椭圆 ＋＝1有共同焦点的双曲线方程是（　　） A.－＝1　 B.－＝1 C.－＝1　 D.－＝1 2.已知双曲线－＝1（b＞0），其焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（　　） A.　　 　　 B. C.2　 D. 3.过双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点 F作垂直于 x轴的直线，交双曲线于 A， B两点， O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e＝　. 双曲线的定义及应用 【例1】　（1）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，｜PF1｜＝2｜PF2｜，则cos∠F1PF2＝　； （2）已知F是双曲线－＝1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的一动点，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为　 　. 2.双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是（　　） A.12　 B.16 C.21　 D.26 双曲线的几何性质 考向1　双曲线的渐近线 【例3】　（1）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为（　 　） A.y＝±x B.y＝±2x C.y＝±x　 D.y＝±x （2）（2022·全国甲卷14题）若双曲线y2－＝1（m＞0）的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝　. 考向2　双曲线的离心率 【例4】　（1）（2021·全国甲卷5题）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则C的离心率为（　 　） A.　 B. C.　 D. 1.设F1，F2是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若｜PF1｜＋｜PF2｜＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是（　　） A.x±y＝0 B.2x±y＝0 C.x±2y＝0　 D.2x±y＝0 2.已知点F1，F2分别是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（　　） A.（1，） B.（1，1＋） C.（，＋∞）　D.（1＋，＋∞） 第七节　抛物线 2.抛物线y＝2x2的准线方程为（　　） A.y＝－　　　　　　 B.y＝－ C.y＝－　 D.y＝－1 3.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是　 　. 4.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若｜PF｜＝4，则△POF的面积为　 　. 1.如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且｜AF｜＝4，则线段AB的长为（　　） A.5　　　 B.6　　　　C.　　　 D. 2.直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若弦AB的长为16，则直线l的倾斜角α＝　　. 抛物线的定义及应用 考向1　求轨迹方程 【例1】　动圆过点（1，0），且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为　 　. 考向2　最值问题 【例2】　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A（－1，1）的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为　　. 抛物线的标准方程与几何性质 【例3】　（1）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F作垂直于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以MN为直径的圆交y轴于C，D两点，且｜CD｜＝3，则抛物线方程为（　 　） A.y2＝2x　 B.y2＝2x C.y2＝4x　 D.y2＝6x （2）（2021·新高考Ⅰ卷14题）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为　 . 1.已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（　　） A.2 B.3 C.6　 D.9 2.（2023·全国乙卷13题）已知点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为　　. 直线与抛物线的位置关系 【例4】　（多选）（2023·新高考Ⅱ卷10题）设O为坐标原点，直线y＝－（x－1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（　　） A.p＝2 B.｜MN｜＝ C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 学科网（北京）股份有限公司 $$