7.3 定义、命题、定理教学设计2024-2025学年人教版数学七年级下册

第七章 相交线与平行线 7.3 定义、命题、定理 学科网（北京）股份有限公司 1.理解定义、命题、定理的概念，能区分命题的条件和结论.（重点） 2.了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对命题举反例.（难点） 3.发展初步的演绎推理能力，初步养成有条理的思维品质，感悟数学的严谨. 一、新课导入 [情境导入]小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》. 小华：这个黑客终于被逮住了. 小刚：是的,现在的因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但…… 坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着. A:这个黑客是个小偷么？ B:可能是个喜欢穿黑衣服的贼. A:那因特网一定是一张很大的网？ B:估计是英国造的特殊的网. 教师提问：听完这则故事，你有什么想法？ 二、新知探究 （一）定义 [课件展示]前面，我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述.例如: (1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴; (2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解; (3)从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线; (4)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 总结：这样的描述称为数学对象的定义. 一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断. 例如，“数轴”指的是一条直线，而且这条直线上有规定的原点、正方向和单位长度;根据方程的解的定义，可以判断x=是方程2x=3的解. （二）命题 [提出问题]请记录并观察，说出这些语句的共同特征. (1)等式两边加同一个数，结果仍相等； (2)对顶角相等； (3)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行； (4)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； (5)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除. [交流讨论]学生观察并思考，小组之间交流讨论，得出结论：都是在对一件事进行判断，前4个语句都是正确的，第5个语句是错误的. [归纳总结]像这样可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题.被判断为正确(或真)的命题叫作真命题，被判断为错误(或假)的命题叫作假命题. 注意： 1.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. 2. 如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题. [典型例题]例1 判断下列语句是不是命题？若是用“√”，若不是用“× 表示. (1) 长度相等的两条线段是相等的线段吗?( × ) (2) 两条直线相交，有且只有一个交点（ √ ） (3) 不相等的两个角不是对顶角（ √ ） (4) 相等的两个角是对顶角（ √ ） (5) 取线段 AB 的中点 C （ × ） (6) 画两条相等的线段（ × ） [提出问题]观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流. (1) 如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形的周长相等； (2) 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； (3) 如果一个数的平方等于 9，那么这个数是 3. [交流讨论]学生观察并思考，小组之间交流讨论，得出结论：都是“如果……那么……”的形式. [归纳总结]命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式. 1.“如果”后接的部分是题设. 2.“那么”后接的部分是结论. 示例：如命题“熊猫没有翅膀”可改写为：如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀. 注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明确，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套. [典型例题]例2 请将下列命题改写成“如果......那么......”的形式. (1) 同位角相等. (2) 垂直于同一条直线的两条直线互相垂直. (3) 过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 解：（1）如果两个角是同位角，那么这两个角相等. （2）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相垂直. （3）如果过一点向已知直线作平行线，那么这种直线有且只有一条. [归纳总结] 注意：由题设和结论组成的命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是正确的;如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是错误的. （三）定理与证明 [课件展示]有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫作定理.定理也可以作为继续推理的依据.学过的定理： 1. 补角的性质：同角或等角的补角相等. 2. 余角的性质：同角或等角的余角相等. 3. 对顶角的性质：对顶角相等. 4. 垂线的性质：①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短. 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明. 注意：每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. [典型例题]例3 如图，已知直线a⊥b，b//c，求证a⊥c. 证明:∵a⊥b(已知)， ∴∠1=90°(垂直的定义). ∵b//c(已知)， ∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等). ∴∠2=90°(等式的基本事实). ∴ a⊥c(垂直的定义). 思考：如何判定一个命题是假命题呢？ [课件展示]例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：如图，OC 是∠AOB 的平分线， ∠1 =∠2，但它们不是对顶角. 确定一个命题是假命题的方法：判断一个命题是错误的，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了. 三、课堂小结 1. 命题的定义：判断一件事情的句子. 2. 命题的组成：题设和结论. 四、课堂训练 1. 下列语句中，不是命题的是 (　D　) A. 两点之间，线段最短 B. 对顶角相等 C. 不是对顶角不相等 D. 过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的垂线 2. 下列关于命题的描述中，正确的是 ( C ) A. 命题一定是正确的 B. 真命题一定是定理 C. 定理一定是真命题 D. 一个反例不足以说明一个命题为假命题 3.举反例说明下列命题是假命题． (1) 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； (2) 若 ab＝0，则 a＋b＝0. 解：(1) 两条平行线被第三条直线所截形成内错角，其中一对内错角不是对顶角，但是它们相等. (2) 当 a＝5，b＝0 时，ab＝0，但 a＋b ≠ 0. 4. 如图，现有以下 3 个条件：①AB//BC；②∠B = ∠C；③∠E = ∠F.请以其中的两个条件为题设，另一个条件为结论构造命题. (1) 你构造的是哪几个命题？ (2) 请选择其中的一个真命题加以证明. 解：(1)若 AB//CD，∠B = ∠C，则∠E = ∠F. 若 AB//CD，∠E = ∠F，则∠B = ∠C. 若 ∠B = ∠C，∠E = ∠F，则AB//CD. (2)以选择“若 AB//CD，∠B = ∠C，则∠E = ∠F”为例： 证明：如图，∵AB//CD， ∴∠B = ∠CDF. 又∠B = ∠C，∴∠C = ∠CDF. ∴CE//BF.∴∠E = ∠F. 五、布置作业 在本节课的教学中，学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，学会有条理地、清晰地阐述自己的观点.命题是数学教学的基本依据，经过推理证实的命题可以作为继续推理的依据（如定理）.所以认识命题的定义、结构、真假是数学学习的重要任务之一. $$