精品解析：2024年浙江省职教高考嘉兴、宁波地区第三次模拟考试数学试题

2024年浙江省职教高考嘉兴、宁波地区第三次模拟考试 《数学》试卷 本试卷共5页，三大题．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效． 一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每题2分，11-20小题每题3分，共50分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若实数，满足，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 下列与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列，，，…，，…，则是这个数列的（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则为（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆心，且与轴相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 每一条直线都有斜率 B. 直线的倾斜角越大，则斜率越大 C. 直线倾斜角的取值范围是 D. 若两直线平行，则斜率相等 11. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 将一根铁丝围成一个面积为9的矩形，当所用的铁丝最短时，该矩形的周长为（ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 2 13. 某校举行“红五月”汇报演出，每班需要2名团员志愿者协助演出，已知某班有男生团员6名，女生团员5名，则该班选取的2名团员志愿者都是男生或都是女生的概率为（ ） A. B. C. D. 14. 2023年9月23日杭州举行亚运会开幕式，小明约小强一家一起前往观看，要求小明一家三口相邻而坐，小强一家四口相邻而坐，已知他们的7个座位在同一排且一人一座，则不同的坐法有（ ） A. 144种 B. 288种 C. 72种 D. 48种 15. 已知，则的值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 16. 已知等比数列中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 17. 设，，是一元二次函数图像上的三个点，则，，三者的关系是（ ） A. B. C. D. 18. 函数在一个周期内的图像为（ ） A. B. C. D. 19. 已知，，是空间三条不同的直线，，是空间两个不同的平面，则下列正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 20. 如图所示，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，交其准线于点，若，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 若函数，则______． 22. 若对数函数（且）的图象经过点，则实数___________． 23. 已知角的终边与半径为的圆交于点，则______． 24. 的二项展开式中，含项的系数为______． 25. 已知正方形的一组对边所在的直线方程为和，另一组对边所在的直线方程为和，则______． 26. 古希腊伟大的数学家阿基米得，他成功推导出“圆柱内球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．后人为了纪念这一伟大发现，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，该球与圆柱的上下底面及侧面均相切，图柱的底面直径与高都等于球的直径，如图所示，若圆柱的体积为，则球的体积为______． 27. 已知椭圆：，（）和双曲线：的离心率分别为，，若，则实数的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）（解答应写出文字说明和演算步骤） 28. 计算：． 29. 在钝角中，已知，，．求： （1）的值； （2）的面积． 30. 已知圆：．求： （1）圆的圆心坐标和半径； （2）过点且与圆相切的直线方程． 31. 已知锐角，满足，．求： （1）的值： （2）的值． 32. 如图所示，在三棱锥中，已知，，，．求： （1）二面角的正弦值； （2）三棱锥的体积． 33. 在平面直角坐标系中，已知曲线上的动点满足，其中点，，若倾斜角为的直线与曲线相交于，两点，且线段的中点横坐标为．求： （1）曲线的方程； （2）直线的方程． 34. 某汽车租赁公司拥有七座的商务汽车100辆，且日租金为800元／辆时可全部租出.若日租金每提高50元时，未租出的汽车将会增加1辆，且租出的汽车日维护费为60元／辆，未租出的汽车日维护费为10元／辆.另为了保证公司正常运营，每日租出的汽车不得少于60辆.设日租金提高个50元时，该汽车租赁公司的日收益为元.求： （1）写出关于的函数表达式，并写出定义域； （2）日租金为多少时，公司的日收益最大，最大为多少？ 35. 如图是一个类似“杨辉三角”的图形，它满足以下情况：①第行有个数：②第行的第一个数和最后一个数都是：③从第3行起，每一行中间的任意一个数都等于上一行与之相邻的两个数之和．现将第行的第个数记作，例如，．求： （1），的值； （2）数列的通项公式且； （3）求数列且的前20项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年浙江省职教高考嘉兴、宁波地区第三次模拟考试 《数学》试卷 本试卷共5页，三大题．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效． 一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每题2分，11-20小题每题3分，共50分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集运算易得答案. 【详解】因为集合，集合， 所以. 故选：D. 2. 若实数，满足，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，结合题意即可判断. 【详解】因为实数，满足， 所以，则，故选项A正确，不符合题意； 所以，则，所以，故选项B正确，不符合题意； 所以，故选项C正确，不符合题意； 所以，故选项D错误，符合题意； 故选：D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由绝对值不等式解法求解即可. 【详解】，，解得， 不等式的解集是.. 故选：C. 4. 下列与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出终边相同的角的集合判断即可得解. 【详解】与终边相同的角为，， 选项，，解得，故错误； 选项，，解得，故错误； 选项，，解得，故错误； 选项，，解得，故正确； 故选：. 5. 已知数列，，，…，，…，则是这个数列的（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 【答案】B 【解析】 【分析】已知数列通项，且，据此得到答案. 【详解】已知数列通项，且， 所以是这个数列的第项， 故选：B. 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若，解得或， 故“”不能推出“”； 若，则， 故“”可以推出“”， 综上，“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 7. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分母不为和根式内的数不小于，列出式子，解得的范围. 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 则的范围是， 故选：D. 8. 已知，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量运算的坐标表示直接计算. 【详解】已知，， 则， 故选：A. 9. 已知圆心，且与轴相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由题，圆心，且与轴相切， 故圆的半径为2， 则有标准方程为：， 故选:B. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 每一条直线都有斜率 B. 直线的倾斜角越大，则斜率越大 C. 直线倾斜角的取值范围是 D. 若两直线平行，则斜率相等 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的位置特点即可求解. 【详解】选项A：垂直于轴的直线斜率不存在，错误； 选项B：直线的倾斜角为的直线的斜率大于直线的倾斜角为的直线的斜率，故错误； 选项C：直线倾斜角的取值范围是，正确； 选项D：两条均垂直于轴的不重合直线的斜率均不存在，故错误. 故选：C. 11. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数诱导公式计算. 【详解】已知，由三角函数诱导公式，可得 ， 故选：A. 12. 将一根铁丝围成一个面积为9的矩形，当所用的铁丝最短时，该矩形的周长为（ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形面积公式得出长与宽的关系，再利用基本不等式求周长的最小值即可. 【详解】设矩形的长为，宽为，已知矩形面积为，根据矩形面积公式，可得. 又矩形周长为， 根据基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 那么此时周长， 即当时，所用铁丝最短，此时矩形周长为. 故选：A. 13. 某校举行“红五月”汇报演出，每班需要2名团员志愿者协助演出，已知某班有男生团员6名，女生团员5名，则该班选取的2名团员志愿者都是男生或都是女生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分类加法计数原理和组合数公式，通过计算得到概率. 【详解】从名志愿者中随机抽取名，共有种抽取情况， 若两名志愿者都是男生，有种抽取情况， 若两名志愿者都是女生，有种抽取情况， 故该班选取的2名团员志愿者都是男生或都是女生的概率为 ， 故选：A. 14. 2023年9月23日杭州举行亚运会开幕式，小明约小强一家一起前往观看，要求小明一家三口相邻而坐，小强一家四口相邻而坐，已知他们的7个座位在同一排且一人一座，则不同的坐法有（ ） A. 144种 B. 288种 C. 72种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】相邻问题用捆绑法进行求解即可. 【详解】根据题意，要求小明一家三口相邻而坐，小强一家四口相邻而坐， 所以将小明一家三口看成一个整体，小强一家四口看成一个整体，有种排法. 这两个整体全排列，有种排法. 所以不同的坐法有种. 故选：B 15. 已知，则的值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的二倍角公式与基本关系式即可得解. 【详解】，， 则的值是. 故选：C. 16. 已知等比数列中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求得，进而求得其公比，从而得解. 【详解】因为是等比数列，所以， 又，可得， 则公比， 故选：A. 17. 设，，是一元二次函数图像上的三个点，则，，三者的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由得到对称轴和开口方向，利用图象上的点的横坐标的绝对值越大，则对应纵坐标也越大，判断，，三者的关系. 【详解】已知，，是二次函数图像上的三个点， 函数的图象开口向上，对称轴， 图象上的点的横坐标的绝对值越大，则对应纵坐标也越大， 由于， 则，，三者的关系是， 故选：D. 18. 函数在一个周期内的图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数辅助角公式，得到，结合最大值、最小正周期和单调区间判断图象. 【详解】由三角函数的辅助角公式，函数， 故函数的最大值为，因此排除选项C、D， 最小正周期，因此排除选项B， 当，即时，函数单调递增， 选项A的图象符合， 故选：A. 19. 已知，，是空间三条不同的直线，，是空间两个不同的平面，则下列正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由线线、线面、面面位置关系和判定条件，逐个判断选项. 【详解】A选项，若，，则和有可能相交，该选项错误； B选项，若，，则和有可能相交，该选项错误； C选项，若，，则，该选项正确； D选项，若，，则可能在面内，该选项错误； 故选：C. 20. 如图所示，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，交其准线于点，若，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据和和抛物线定义，求得抛物线方程，再得到直线方程，得到点坐标，即可求解. 【详解】已知抛物线，则准线与轴交点为， 设，过点作准线的垂线交于，连接， 已知，即，又，由三角形相似可得， 故， 由抛物线定义可知，即，解得， 抛物线方程为，焦点， 又，得到，故， 故直线斜率为，直线方程为， 将直线方程代入抛物线方程，得到，解得或， 即的横坐标为，纵坐标为， 所以， 故选：B. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 若函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数解析式，代入得到答案. 【详解】由分段函数解析式，可得 ， 故答案为：. 22. 若对数函数（且）的图象经过点，则实数___________． 【答案】2 【解析】 【分析】将点代入函数解析式即可求解a的值. 【详解】因为对数函数的图象经过点， 所以，即，解得. 故答案为：. 23. 已知角的终边与半径为的圆交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由角的终边经过点，确定和，再计算. 【详解】已知角的终边经过点，则，， ， 则， 故答案为：. 24. 的二项展开式中，含项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理，写出展开式的通项公式，即可求解. 【详解】由题，的二项展开式的通项公式为， 令，则含的项为， 所以含项的系数为， 故答案为：. 25. 已知正方形的一组对边所在的直线方程为和，另一组对边所在的直线方程为和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正方形的性质结合两条平行直线间的距离公式，列式即可求得. 【详解】正方形的一组对边所在的直线方程分别为和， 另一组对边所在的直线方程分别为和， 根据正方形的两组对边间的距离相等，可得，所以. 故答案为：. 26. 古希腊伟大的数学家阿基米得，他成功推导出“圆柱内球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．后人为了纪念这一伟大发现，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，该球与圆柱的上下底面及侧面均相切，图柱的底面直径与高都等于球的直径，如图所示，若圆柱的体积为，则球的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱和球的体积公式以及球与圆柱的关系求解. 【详解】设球的半径为，因为图柱的底面直径与高都等于球的直径，所以高. 圆柱的体积为，即，解得. 则球的体积. 故答案为：. 27. 已知椭圆：，（）和双曲线：的离心率分别为，，若，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程和双曲线方程得到离心率和，结合解出. 【详解】已知椭圆：，（）和双曲线：的离心率分别为，， 可得，， 已知， 则，即， 解得（舍去）或. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共72分）（解答应写出文字说明和演算步骤） 28. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算、对数的运算、特殊角三角函数值和组合数的运算求解即可. 【详解】 ． 29. 在钝角中，已知，，．求： （1）的值； （2）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，即可求解. （2）根据三角形的面积公式，结合特殊角的正弦值，即可求解. 【小问1详解】 因为，代入有：，得， 因为,所以或， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 所以． 【小问2详解】 由（1）得，则， . 30. 已知圆：．求： （1）圆的圆心坐标和半径； （2）过点且与圆相切的直线方程． 【答案】（1）圆心，半径 （2）或 【解析】 【分析】（1）将方程配方成标准方程，再求解圆心以及半径即可. （2）根据直线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率，由点斜式方程即可求解. 【小问1详解】 配方得：， 则圆心，半径． 【小问2详解】 当不存在时，则直线为，此时，与题不符． 当存在时，设切线方程为，即． 此时，解得：． 综上，切线方程为或． 31. 已知锐角，满足，．求： （1）的值： （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角余弦公式易得答案； （2）根据同角三角函数关系和两角差正切公式易得答案. 【小问1详解】 因为， 所以 ． 【小问2详解】 由是锐角得：，， 因为， 所以. 32. 如图所示，在三棱锥中，已知，，，．求： （1）二面角的正弦值； （2）三棱锥的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由各边关系证明和，从而得到就是二面角的平面角，最后计算正弦值； （2）由得到，同理得到，从而得到平面，由此计算三棱锥的体积. 【小问1详解】 取中点，连接， ，，，，, 是平面和平面的交线，平面，平面， 就是二面角的平面角． ，， 又，，即为直角三角形， ，即二面角的正弦值为． 【小问2详解】 在中，，， 在中，同理可得， ，平面， 平面， , ． 33. 在平面直角坐标系中，已知曲线上的动点满足，其中点，，若倾斜角为的直线与曲线相交于，两点，且线段的中点横坐标为．求： （1）曲线的方程； （2）直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的定义和定点坐标即可得解； （2）由直线的倾斜角表示出直线方程，联立双曲线方程与直线方程，结合韦达定理即可得解. 【小问1详解】 由曲线上的动点满足， 点，，又， 可知此曲线为双曲线，故，，， 则曲线的方程为：． 【小问2详解】 ，则设直线为：， 又设点，点，则， 联立，消去得：， 则，解得， 即直线方程为：． 34. 某汽车租赁公司拥有七座的商务汽车100辆，且日租金为800元／辆时可全部租出.若日租金每提高50元时，未租出的汽车将会增加1辆，且租出的汽车日维护费为60元／辆，未租出的汽车日维护费为10元／辆.另为了保证公司正常运营，每日租出的汽车不得少于60辆.设日租金提高个50元时，该汽车租赁公司的日收益为元.求： （1）写出关于的函数表达式，并写出定义域； （2）日租金为多少时，公司的日收益最大，最大为多少？ 【答案】（1），（，） （2）日租金为2800元时，收益最大为164000元 【解析】 【分析】（1）根据实际情况得出二次函数的解析式，结合实际，即可求解. （2）根据二次函数的解析式，开口朝向，对称轴，即可求解实际问题. 【小问1详解】 日租金提高个50元，则未出租的汽车数量为辆， 因此已出租的汽车数量为辆， 出租每辆车的日收益为元， 未出租每辆车的日亏损为10元， 所以 ， 由于每日租出的汽车不得少于60辆，即，解得， 所以其定义域为，. 【小问2详解】 对于， 因为，且函数在区间上单调递增， 所以当时，元， 此时日租金为元， 所以日租金为2800元时，收益最大为164000元. 35. 如图是一个类似“杨辉三角”的图形，它满足以下情况：①第行有个数：②第行的第一个数和最后一个数都是：③从第3行起，每一行中间的任意一个数都等于上一行与之相邻的两个数之和．现将第行的第个数记作，例如，．求： （1），的值； （2）数列的通项公式且； （3）求数列且的前20项和． 【答案】（1）， （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）接着写出杨辉三角的第五行和第六行，并找出每行的第二个数的值即可； （2）根据观察可知，用累加法求出通项公式； （3）由（2）求得的表达式，利用裂项相消求和法求解. 【小问1详解】 第五行为， 第六行为， 所以，． 【小问2详解】 当且时， 由题得：，，，…，， 将上面各式累加得：且． 【小问3详解】 当且时， 由（2）可知， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $