第三章 第3讲 一元二次函数的图象和性质 课件-2025届高三中职数学一轮复习

第三节 一元二次函数的图象和性质 要点梳理 1. 一元二次函数的图象和性质 【典例】下列关于函数f(x)=x2+4x+5的说法正确的是 （ ） A.函数f(x)的图象开口向下 B.函数f(x)的对称轴为直线x=-2 C.函数f(x)的最大值为5 D.函数f(x)的最小值为1 【答案】B 【解析】根据题意，二次函数f(x)=x2+4x+5=（x+2）2+1，则函数f(x)的图象开口向上，A项错误；对称轴为直线x=-2，B项正确，当x=-2是，函数f(x)取得最大值1，无最小值，C、D项错误，本题选B。 ①一般步骤. 设二次函数的解析式→列出含参数的方程（组）→解方程（组）→写出解析式. 2. 用待定系数法求一元二次函数的解析式 ②表达形式的选择. a.已知抛物线上三点或三对(x，y)的值，通常选择一般式y=ax2+bx+c(a≠0). b.已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，通常选择顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0). c.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 【典例】已知二次函数图象f（x）的顶点为A(1，16)，且图象在x轴上截得的线段长为8，则函数的解析为式 . 【答案】f(x)=-x2+2x+15 【解析】根据题意，二次函数图象的顶点为(1，16)，则其对称轴为x=1，f(x)的图象在x轴上截得的线段长为8，则函数图象与x轴的交点坐标分别为(-3，0)，(5，0)，故可设函数的解析式为f(x)=a(x+3)(x-5)(a <0)，将顶点(1，16)代入，可得f(1)=a(1+3)(1-5)=-16a =16，则a=-1，则所求函数f(x)的解析式为f(x)=-(x+3)(x-5)=-x2+2x+15. ①分段函数是生活中常见的数学模型，例如，计算电费、水费等常需要用到分段函数模型. ②二次函数是生活中常见的数学模型，如拱桥筑造、炮弹发射、产品利润等.这些问题中，一般涉及最优、最省等最值问题，如果仅凭经验是无法求解的，而若是通过建立二次函数，结合二次函数的图象与性质便能很快求出最优解. 3. 函数的应用举例 【典例1】某地通讯公司推出了两种手机资费套餐，如下表所示.已知小明某月国内主叫通话总时长为200分钟，使用国内数据流量为40兆，则在下列两种套餐中选择哪一种套餐更优惠？ 套餐 套餐使用费（元/月） 套餐内包含国内主叫通话时长(分钟） 套餐外国内主叫通话单价（元/分钟） 国内 被叫 套餐内包含国内数据流量（兆） 套餐外国内数据流量单价（元/兆) 套餐一 58 150 0.25 免费 30 0.50 套餐二 88 350 0.19 免费 30 0.50 【解析】根据题意，若使用套餐一，小明需要支付的费用为58+（200-150）×0.25+（40-30）×0.5=75.5（元），若使用套餐二，小明需要支付的费用为88+（40-30）×0.5=93（元），故选用套餐一更优惠. 【典例2】某物业管理公司有75套公寓对外出租，经市场调查发现，每套公寓租价为2 500元时，可全部租出，租价每上涨100元就会少租出一套公寓，问每套公寓租价为多少元时，租金总收入最大？最大收入为多少元？ 1.二次函数的图象和性质 【例1】抛物线y=2x2-x+1的对称轴和顶点坐标分别是 （ ） 重点突破 【答案】B 【例2】如图所示，已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象关于直线x=3对称，且图象与x轴的交点的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2等于 （ ） A.0 B.3 C.6 D.8 【答案】C 【解析】根据题意，二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象关于直线x=3对称，且图象与x轴的交点的横坐标分别为x1、x2，则点(x1，0)与点(x2，0)关于对称轴x=3对称，则有3-x1=x2-3，故x1+x2=6，本题选C. 【例3】某宾馆共有客床100张，各床每晚收费10元时可全部住满，若每晚收费每提高2元，便减少10张客床租出，则总收入y(y>0)元与每床每晚收费应提高x(假设x是2的正整数倍)元的关系式为 ( ) A.y=(10+x)(100-5x) B.y=(10+x)(100-5x)，x∈N C.y=(10+x)(100-5x)，x=2，4，6，8，…，18 D.y=(10+x)(100-5x)，x=2，4，6，8 2.函数的简单应用 【答案】C 【解析】根据题意，该宾馆总收入的表达式为y=(10+x)(100-5x)，由于x是2的正整数倍，且5x＜100，即x＜20，故x=2，4，6，8，…，18，本题选C. 1.已知函数f(x)=x2+2ax+4，若f(x)的图象与x轴只有一个交点，则a=__________. 拓展练习 【答案】±2 【解析】根据题意，函数f(x)=x2+2ax+4的图象与x轴只有一个交点，则方程x2+2ax+4=0只有一个实数根，即Δ=4a2-4×4=0，易解得a=±2. 2.已知f(x+1)=x2+2x+5，则函数f(x)的解析式为 . 【答案】f(x)=x2+4 【解析】根据题意，f(x+1)=x2+2x+5=(x2+2x+1)+4 =(x+1)2+4，则f(x)=x2+4. 谢 谢 ! $$