第三章 第2讲 函数的性质 课件-2025届高三中职数学一轮复习

第二节 函数的性质 要点梳理 1. 函数的单调性 ①函数单调性的定义. 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，则： 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，增函数的图象自左向右看是上升的. 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，减函数的图象自左向右看是下降的. ②函数单调性的常用结论. a.若函数f(x)、g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数 b.若k>0，则kf(x)与f(x)的单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)的单调性相反. 【典例】已知函数f(x)在R上为单调递减函数，则f(-1)、f(4)、f(9)的大小关系为 （ ） A.f(9)＞f(4)＞f(-1) B.f(-1)＞f(4)＞f(9) C.f(4)＞f(9)＞f(-1) D.f(9)＞f(-1)＞f(9) 【答案】B 【解析】根据题意，函数f(x)在R上为单调递减函数，又-1＜4＜9，则f(-1)＞f(4)＞f(9)，本题选B. 2.函数的奇偶性 ①奇函数和偶函数. 函数 奇函数 偶函数 定义域 函数f(x)的定义域关于原点对称 函数f(x)的定义域关于原点对称 f(x)与f(-x)的关系 f(x)=-f(-x) f(x)=f(-x) 图象特征 关于原点对称 关于y轴对称 单调性 奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同 偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反 【注意】 ②复杂函数的奇偶性. 单独函数 复杂函数 f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f [g(x)] g[f(x)] 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 3. 函数的周期性 ①周期函数． 对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x+T）＝f（x），则称函数f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期． ②最小正周期． 如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f（x）的最小正周期． 4. 函数的最值 设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M或f（x）≥M. ②存在x0∈I，使得f（x0）＝M. 那么，我们称M是函数y＝f（x）的最大值或最小值． 5. 一次函数和反比例函数 1.判断函数的单调性 【例1】下列四个函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 （ ） A.f(x)=3-x B.f(x)=3+x 重点突破 【答案】B 【例2】 下列函数在区间（0，+∞）上为减函数的是 （ ） A.f(x)=1 B.f(x)=2x 【答案】C 2.判断函数的奇偶性 【例3】下列函数为奇函数的是 （ ） A.f(x)=x3 B.f(x)=2 C.f(x)=x2-3 D.f(x)=|x-1| 【答案】A 【解析】函数f(x)=x3的定义域为R，且f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数，A项正确；函数f(x)=2的定义域为R，且f(-x) =f(x)=2，故f(x)为偶函数，B项错误；函数f(x)=x2-3的定义域为R，且f(-x) =f(x)，故f(x)为偶函数，C项错误；函数f(x)=|x-1|的定义域为R，f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)，故f(x)为非奇非偶函数，D项错误.本题选A. 【拓展】下列函数为偶函数的是 （ ） A.f(x)=x3-x B.f(x)=-x2+x4 C.f(x)=-2x+5 D.f(x)=x2，x∈[-2，5] 【答案】B 【解析】函数f(x)=x3-x的定义域为R，且f(-x)=-x3+x=-(x3-x)= -f(x)，则函数f(x)为奇函数，A项错误；函数f(x)=-x2+x4的定义域为R，且f(-x)=-x2+x4=f(x)，则函数f(x)为偶函数，B项正确；函数f(x)=-2x+5的定义域为R，则f(-x)=2x+5，且f(-x)≠-f(x)，f(-x)≠f(x)，故函数f(x)为非奇非偶函数，C项错误；函数f(x)=x2，x∈[-2，5]，其定义域不关于原点对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，D项错误.本题选B. 3.判断函数的奇偶性 【例4】下列函数图象是奇函数的是 （ ） 【答案】A 【解析】奇函数的图象关于坐标原点中心对称，故本题选A. 4.函数奇偶性的应用 【例5】定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=2x2-x，则f(2)= （ ） A.6 B.10 C.-6 D.-10 【答案】D 【解析】定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=2x2-x，则f(2)=- f(-2)=-[2×(-2)2-(-2)]=-10，本题选D. 【例6】已知f(x)是偶函数，f(x)在区间[1，3]上是增函数，则f(1)，f(-2)，f(-3)的大小关系为 （ ） A.f(1)＞f(-2)＞f(-3) B.f(-2)＞f(-3)＞f(1) C.f(-3)＞f(1)＞f(-2) D.f(-3)＞f(-2)＞f(1) 【答案】D 【解析】因为f(x)是偶函数，则f(-2)= f(2)，f(-3)=f(3).因为f(x)在区间[1，3]上是增函数，则f(3)＞f(2)＞f(1)，故f(-3)＞f(-2)＞f(1)，本题选D. 谢 谢 ! $$