第二章 第2讲 一元二次不等式 课件-2025届高三中职数学一轮复习

第二节 一元二次不等式 要点梳理 1. 一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一般表达式为ax2+bx+c<0（≤0）或ax2+bx+c＞0（≥0），其中a≠0. 2. 解一元二次不等式的一般步骤 ①将不等式变形，使不等号一端的二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0 (a>0)的形式. ②计算相应的一元二次方程判别式的符号. ③当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根. ④根据对应的二次函数图象，写出相应不等式的解集. 3. 一元二次不等式的解集 当a＞0时，一元二次不等式对应一元二次方程ax2+bx+c=0判别式的不同情况，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的关系有以下三种： 故可得到当a＞0时，一元二次不等式在各种情况下的解集如下表所示： 方程或不等式 解集 Δ>0 Δ=0 Δ<0 ax2+bx+c=0 {x1，x2} {x1}（x1=x2） ax2+bx+c>0 （-∞，x1）∪（x2，+∞） （-∞，x1）∪（x1，+∞） R ax2+bx+c≥0 （-∞，x1]∪[x2，+∞） R R ax2+bx+c<0 （x1，x2） ∅ ∅ ax2+bx+c≤0 [x1，x2] {x1} ∅ 【典例1】 不等式（x-2）（x-5）＜0的解集是 （ ） A.∅ B.{x|x<2或x>5} C.R D.{x|2<x<5} 【答案】D 【解析】根据题意，解不等式（x-2）（x-5）＜0易得2<x<5，故该不等式的解集为{x|2<x<5}，本题选D. 【典例2】 不等式（x-7）（x-10）＞0的解集是 （ ） A.{x|x<7} B.{x|x<7或x>10} C.{x|x>10} D.{x|7<x<10} 【答案】B 【解析】根据题意，解不等式（x-7）（x-10）＞0易得x<7或x>10，故该不等式的解集为{x|x<7或x>10}，本题选B. 1.一元二次不等式的解法 【例1】不等式x2+x≤6的解集是 （ ） A.{x|x≤2} B.{x|-3≤x≤2} C.{x|x≤-3或x≥2} D.{x|x≥-3} 重点突破 【答案】B 【解析】根据题意，x2+x≤6可变形为x2+x-6≤0，则（x-2）（x+3）≤0，则-3≤x≤2，则不等式x2+x≤6的解集是{x|-3≤x≤2}，本题选B. 【例2】 不等式x2-2x+3>0的解集是 （ ） A.∅ B.{x|x<1或x>3} C.R D.{x|1<x<3} 【答案】C 【解析】根据题意，因为方程x2-2x+3=0的判别式为Δ=(-2)2-12=-8<0，故函数y=x2-2x+3>0的图象开口向上且与x轴没有交点，故不等式x2-2x+3>0的解集为R，本题选C. 【答案】 2.一元二次不等式的应用 【例4】若产品的总成本y（万元）与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是 ( ) A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 【答案】C 【解析】根据题意，销售额为25x万元，要使成产者不亏本，则总成本需满足y≤25x，即3 000+20x-0.1x2≤25 x，整理可得x2+50x-30 000≥0，即（x+200）（x-150）≥0，易解得x≥150或x≤-200（负值已舍去），即x≥150，故生产者不亏本时的最低产量为150台，本题选C. 1.已知集合A={x|x2-2x-3＞0}，B={x|x＞1}. （1）求A∩B. （2）设集合C={x|a＜x＜a+1}，若A∩C=∅，求a的取值范围. 拓展练习 【解析】（1）根据题意，x2-2x-3＞0，则（x-3）（x+1）＞0，易解得x＞3或x＜-1，则集合A={x|x＞3或x＜-1}，B={x|x＞1}，则A∩B={x|x＞3}. （2）集合A={x|x＞3或x＜-1}，C={x|a＜x＜a+1}，若A∩C=∅，则a+1≤3且a≥-1，解得-1≤a≤2，所以a的取值范围为[-1，2]. 谢 谢 ! $$