第1讲 不等式的基本性质及一元一次不等式（组） 课件-2025届高三中职数学一轮复习

第二章 不等式 知识结构 第一节 不等式的基本性质及一元一次不等式（组） 要点梳理 1. 区间 设a、b是实数，且a＜b. ①满足a≤x≤b的实数x的全体叫作闭区间，记作[a，b]. ②满足a＜x＜b的实数x的全体叫作开区间，记作(a，b). ③满足a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的全体叫作半开半闭区间，分别记作[a，b)，(a，b]. ④全体实数可用区间表示为(-∞，+∞)，符号“+∞”读作“正无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”. ⑤满足x≥a的全体实数，记作[a，+∞). ⑥满足x＞a的全体实数，记作(a，+∞). ⑦满足x≤a的全体实数，记作(-∞，a]. ⑧满足x＜a的全体实数，记作(-∞，a). 【典例】用区间表示下列变量的范围。 （1）x＞3： . （2）x＜5： . （3）1＜x≤7： . 【解析】（1）用区间表示x＞3应为（3，+∞）. （2）用区间表示x＜5应为（-∞，5）. （3）用区间表示1＜x≤7应为（1，7]. 2. 不等式的性质 ①对称性：a>b⇔b<a. ②传递性：a>b，b>c⇒a>c. ③不等式加等量：a>b⇔a+c>b+c. ④不等式乘正量：a>b，c>0⇒ac>bc，不等式乘负量：a>b，c<0⇒ac<bc. ⑤同向不等式相加：a>b，c>d⇒a+c>b+d. ⑥异向不等式相减：a>b，c<d⇒a-c＞b-d. ⑦同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. 【典例】已知a、b、c为实数，且c＜0，a＞b，则ac2 （填＞”“＜”或“=”）bc2。 【答案】＞ 【解析】根据题意，a、b、c为实数，c＜0，则c2＞0，又a＞b，根据不等式乘正量的性质可知，则ac2＞bc2. 3.两实数的加、乘运算结果的符号特征 ①两个同号实数相加，和的符号不变：a>0，b>0⇒a+b>0；a＜0，b＜0⇒a+b＜0. ②两个同号实数相乘，积是正数：a>0，b>0⇒ab>0；a＜0，b＜0⇒ab>0. ③两个异号实数相乘，积是负数：a>0，b＜0⇒ab＜0. ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0：x∈R⇒x2≥0；x=0⇔x2=0. 4.比较两代数式大小的方法 【典例】已知a、b、c为实数，且b2=ac，则a2+c2与2b2的大小关系是 . 【答案】a2+c2 ≥ 2b2 【解析】根据题意，则b2=ac，则a2+c2-2b2=a2+c2-2ac=(a-c)2≥0，故a2+c2 ≥ 2b2. 5.一元一次不等式（组） （1）不等式的解集和解不等式. 在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数所取的所有值的集合叫作该不等式的解集，求不等式解集的过程叫作解不等式. （2）一元一次不等式及其解法. 将一元一次不等式写成ax＞b（或ax≥b）的形式，其中a、b∈R.以ax＞b为例： （3）一元一次不等式组及其解法. ①一元一次不等式组. ②一元一次不等式组的解法. 图象法：在数轴上取两个一元一次不等式解集的交集. 口诀法：依据口诀“同大取大，同小取小，大小、小大中间找，大大、小小是空集”直接得出不等式组的解集. 【典例】不等式3x-18<0的解集是 。 【答案】（-∞，6） 【解析】根据题意，不等式3x-18<0可化成3x<18，即x<6，则不等式3x-18<0的解集是（-∞，6）. 1.不等式的基本性质 【例1】 下列说法错误的是 ( ) A.若a>b，c>d，则a+c>b+d B.若a>b，c>d，则a-d>b-c C.若a>b，c>d，则a-c>b-d D.若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 重点突破 【答案】C 【解析】根据不等式的基本性质，若a>b，c>d，则a-d>b-c，B项正确，C项错误，本题选C. 【例2】 若a＞b，c＞d，则下列不等式一定成立的是 （ ） A.a2＞b2 B.ac2＞bc2 C.a+c＞b+d D.ac＞bd 【答案】C 【解析】当0＞a＞b时，a2＜b2，A项错误；当c=0时，ac2=bc2，B项错误；对于C项，a+c-b-d=a-b+c-d，由a＞b，c＞d，则a-b＞0，c-d＞0，则a-b+c-d＞0，即a+c＞b+d，C项正确；当0＞a＞b，0＞c＞d时，|a|＜|b|，|c|＜|d|，则ac＜bd，D项错误.本题选C. 2.代数式大小的比较 【例3】已知a>b，则下列关系正确的是 （ ） A.a2+b2=2ab B.a2+b2＞2ab C.a2+b2＜2ab D.a2+b2≤2ab 【答案】B 【解析】根据题意，a>b，则a-b＞0，则(a2+b2)-2ab=a2+b2-2ab=(a-b)2>0，故a2+b2＞2ab，本题选B. 【例4】不等式3x-6＞0的解集是 （ ） A.[2，+∞) B.(2，+∞) C.(-∞，2) D.(6，+∞) 3.解一元一次不等式（组） 【答案】B 【解析】根据题意，3x-6＞0，则3x＞6，则x＞6÷3=2，故不等式3x-6＞0的解集为（2，+∞)，本题选B. 【例6】为了感受大自然，描绘大自然的美景，某班班委会打算购买画笔与画板两种写生工具数量若干，已知购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元，根据班级人数分配，需要画笔盒数和画板个数总共为10，且购买这些写生工具的总费用不超过157元，在符合预算的情况下，应该最少购买 个画板. 4.一元一次不等式（组）的应用 【答案】7 【解析】设最少购买画板x个，则购买画笔（10-x）个，根据题意可得15x+17×(10-x)≤157，易解得x≥6.5，根据题意可知x为整数，则最少购买7个画板． 【例7】为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，某校决定从网店购买甲、乙两种图书以供学生课外阅读．已知甲、乙两种图书的单价分别是20元和16元．若该校准备购买甲、乙两种图书共60本，其中乙种图书不超过27本，且购买图书的总费用不超过1 100元，那么购买图书的方案为 . 【答案】①甲种图书33本，乙种图书27本；②甲种图书34本，乙种图书26本；③甲种图书35本，乙种图书25本 谢 谢 ! $$