6.4生活中的圆周运动 讲义【教材详解：思维导图+6知识点+14题型+课后巩固：分层练】-2024-2025学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册

6.4 生活中的圆周运动 【目标导航】 2 【教材详解】 2 知识点1：火车转弯 2 知识点2：汽车转弯 4 知识点3：拱形桥和凹形路面 5 知识点4：竖直平面内绳（或杆）约束的圆周运动 5 知识点5：航天器中的失重现象 7 知识点6：离心运动 8 【经典题型】 9 题型01 有关向心力的简单分析与计算 9 题型02 利用牛顿第二定律求解向心力 11 题型03 水平转盘上的圆周运动 15 题型04 圆锥摆问题 19 题型05 汽车转弯问题 22 题型06 圆周运动中的突变问题 25 题型07 物体做离心运动和向心运动的条件 27 题型08 火车倾斜转弯问题 30 题型09 绳类模型及其临界问题 33 题型10 杆球类模型及其临界问题 36 题型11 拱桥和凹桥模型 38 题型12 航天器中的失重问题 40 题型13 光滑斜面上的圆周运动 42 题型14 有摩擦的倾斜转盘上的圆周运动 46 【课后巩固】 49 【基础练·强化巩固】 49 【拓展练·培优拔高】 55 课堂目标 关键词 1. 会分析生活中的各种圆周运动现象，体会模型构建的方法，会用牛顿第二定律解决生活中的圆周运动问题。 2. 知道航天器中的失重现象。 3. 知道离心运动及其产生条件，了解离心心运动的防止和应用。 ①火车转弯 ②拱形桥 凹形路面 ③失重现象 ④离心运动 知识点1：火车转弯 【问题情景】下图为火车转弯的情景，从图中能看出火车转弯时有何特点吗? (穿道半径较大，火车倾料) 1. 火车车轮的结构特点 火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上沿直线运行时，凸出轮缘的一边在两轨道的内侧，如图所示。这种结构特点，有助于火车在轨道上稳定运动(不脱轨)。 2. 火车转弯时向心力的来源 (1) 两轨道等高：火车在弯道上运动时，做圆周运动需要向心力。如图所示，如果内外轨道一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，外轨对轮缘的弹力提供火车转弯时的向心力。但火车质量太大，靠这种办法获得向心力，将会使轮缘与外轨间的相互作用力太大，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。 (2) 两轨道不等高：实际情况是在转弯处外轨略高于内轨，并根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当调整内、外轨的高度差，使转弯时所需向心力完全由重力mg和支持力F的合力提供，如图下所示。 3. 火车转弯时的速度 如上图所示，若车轨间距为L，两轨高度差为h，转弯半径为r，火车的质量为m，由三角形边角关系知，，对火车受力分析可得上，因为0角很小，可以取，故，所以向心力。 又因为，所以车速 拓展：火车以不同的速度行驶时，轮缘侧向受力情况 讨论：假设火车转弯处规定速度为，火车以不同的速度行驶时，轮缘所受侧向压力情况如下： ①当火车行驶速率时，火车相对于轨道有向外运动的趋势，轮缘对外轨有挤压，则外轨对轮缘有向内的侧压力。 ②当火车行驶速率时，火车相对于轨道有向内运动的趋势，轮缘对内轨有挤压，则内轨对轮缘有向外的侧压力。 ③当火车行驶速率时，内、外轨对轮缘均无侧压力。 知识点2：汽车转弯 1. 水平路面上行驶 如图所示，汽车在水平路面上转弯时，摩擦力提供向心力(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，即，当摩擦力达到最大值时，汽车转弯的速度达到临界值，因，则临界速度 2. 倾斜路面上行驶 倾斜路面：高速公路、赛车赛道的转弯处设计得外高内低，目的是减小由于转弯产生的摩擦力对车轮的损坏，使汽车的重力与支持力的合力提供车辆转弯时所需的向心力，如下图所示。 特别提示：曲线运动的条件 ①路面倾斜，但汽车做圆周运动的轨道面是水平的。 ② 向心力在水平面内，但摩擦力的方向与路面平行。 ③汽车在倾角为θ的路面上做半径为r的圆周运动时，若速度，路面与汽车间恰无摩擦力；当时，静摩擦力沿路面斜向下；当时，静摩擦力沿路面斜向上。 知识点3：拱形桥和凹形路面 汽车在经过拱形桥面、平直形桥面和凹形桥面时，请问：为什么在经过拱形或凹形桥面时都不宜高速行驶呢? 1. 汽车过拱形桥面 如图所示，汽车通过拱形桥最高点时，重力mg和支持力的合力提供向心力，由，得支持力，根据牛顿第三定律知，汽车对桥面的压力。 由上式可知，汽车的速度v越大，汽车对桥面的压力越小。当汽车的速率等于时，汽车对桥面的压力为0，汽车在桥顶运行的速度小于；若，汽车将从桥顶飞出做平抛运动。 2. 汽车过凹形路面 如图所示，汽车通过凹形路面最低点时，重力 mg 和支持力F的合力提供向心力，由牛顿第二定律得，解得。 根据牛顿第三定律，汽车对路面的压力，可知，汽车的速度v越大，汽车对路面的压力越大，这也是汽车通过凹形路面时容易爆胎的原因。 知识点4：竖直平面内绳（或杆）约束的圆周运动 1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类： 一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等），称为“绳（环）约束模型”； 二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管）约束模型”。 2.绳、杆模型涉及的临界问题 绳模型 杆模型 常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 受力特征 绳或圆轨道只能踢动指向圆心的力 杆或管道既能提供指向圆心的力，也能提供背离圆心的力 受力示意图 过最高点的临界条件 由得， 由小球恰能做圆周运动时，得： 讨论分析 ①若，则：，绳、轨道对小球有弹力； ②若，则 ②若，则小球不能过最高点 ①当v=0时，，FN为支持力，沿半径背离圆心 ②当时，，背离圆心，随v的增大而减小 ③当时，FN=0 ④当时，，FN指向圆心，并随v的增大而增大 特别提示 (1)轻绳模型和轻杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是轻绳不能提供支持力，而轻杆可以提供支持力。(2)对轻杆模型，在无法确定位于最高点时对物体提供的是支持力还是拉力的情况下，可用假设法列方程，然后根据结果的正负再确定力的方向。 3.非特殊情况下的圆周运动 图示 运动情况 小球先沿圆轨道滑下 小球自高处滑下后进入圆轨道 轨道特点 沿圆轨道外侧运动 沿圆轨道内侧运动 运动分析 某点时，若mgsinθ恰好提供向心力：小球在此点离开圆弧做斜下抛运动 在某位置时，若重力在指向圆心方向的分力恰好提供向心力，轨道对小球的弹力为0，此后，小球将向斜上方抛出 3. 竖直面内圆周运动问题的解题思路 知识点5：航天器中的失重现象 1. 航天器的运动特点 航天器由航天运载器发射送人宇宙空间，长期处在高真空、失重的环境中绕地球做椭圆或圆运动，如果没有特别说明，我们认为航天器的运动轨迹都是圆。大部分航天器不载人，载人航天器的轨道半径往往比较小。 2. 对失重现象的认识 航天器及航天器内的物体所受地球的作用力F完全提供向心力，都处于完全失重状态，，物体间自由状态下不会相互挤压，没有弹力。 特别提示 ①航天器中的物体处于完全失重状态，并不是说物体不受重力(引力)，只是重力全部用来提供物体做圆周运动所需的向心力，使得物体所受支持力为0，相互间的作用力为0。 ② 完全失重状态下，一切涉及重力的现象均不再发生，如天平、重垂线、体重计等无法使用。 知识点6：离心运动 如下图所示，洗衣后脱水筒绕中心轴转动，水滴会快速脱离衣物，你知道其物理原理吗? (外力不足，水滴离开原来的位置做离心运动) 1. 离心运动的概念 做圆周运动的物体，在合力突然消失或合力不足以提供所需的向心力时，物体沿切线飞出或逐渐远离圆心的运动叫作离心运动。如运动员带动链球旋转做圆周运动，松手后，链球沿切线方向抛出的情形。 2. 离心运动的实质 物体逐渐远离圆心的运动，本质是物体惯性的体现，从受力情况看是外力不足。 特别提示 ①物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于外力不足以提供所需的向心力，“离心力”是不存在的。 ②离心运动是物体运动半径越来越大或沿切线方向飞出的运动，不是物体沿半径方向飞出。 3. 合力与向心力的关系 物体在光滑的水平面上运动，物体在外力作用下的曲线运动讨论： （1） 若或，即“供”“需”平衡，物体做匀速圆周运动； （2） 若或，即“供”>“需”，物体做半径变小的向心运动； （3） 若或，即“供”<“需”，外力不足以拉到圆轨道上，而做离心运动； （4） 若，则物体沿切线方向做匀速直线运动。 题型01 有关向心力的简单分析与计算 【典例1】（23-24高一下·天津·阶段练习）相同的物块A、B叠放在一起，在水平转台上随圆盘一起匀速圆周运动且和圆盘保持相对静止，正确的是（　　） A．B所需的向心力比A大 B．图中A对B摩擦力是向左的 C．两物块所受的合力等大反向 D．圆盘对B摩擦力大小是A对B摩擦力大小的2倍 【答案】D 【详解】A．由向心力公式可知，相同的物块A、B叠放在一起做圆周运动，故向心力相同，故A错误； B．图中A做圆周运动向心力是B对其向左的摩擦力提供的，所以A对B摩擦力是向右的，故B错误； C．两物块所受的合力提供向心力，而A、B向心力相同，故C错误； D．物块A所受摩擦力为 物块B所受转台提供摩擦力和A对B的摩擦力合力提供向心力 与等大，所以 故D正确。 故选D。 【变式1-1】（23-24高一下·广东广州·期末）如图所示，在光滑水平面上，质量为m的小球在细线的拉力作用下，以速度v做半径为r的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，小球所受向心力F的大小为（　　） A． B． C． 【答案】A 【详解】根据牛顿第二定律，小球的向心力由细线的拉力提供，则有 A正确，BC错误。 故选A。 【变式1-2】（多选）（23-24高一下·山东菏泽·期末）如图所示，铁制圆盘用穿过圆心O的水平转轴固定在竖直面内，ac为竖直直径，bd为水平直径，可视为质点的小磁铁吸附在圆盘上的a点随圆盘一起无相对滑动地做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．在最高点a，磁铁受到的摩擦力可能为0 B．在最低点c，磁铁受到的摩擦力可能为0 C．在水平直径的左端点b，磁铁受到的摩擦力大小一定等于重力 D．在水平直径的右端点d，磁铁受到的摩擦力大小一定大于重力 【答案】AD 【详解】A．在最高点a点，对磁铁进行分析可知当所需的向心力由重力提供时，磁铁受到的摩擦力为0，故A正确； B．在最低点c点，合外力向上，由对磁铁受力分析可知摩擦力方向一定向上，磁铁受到的摩擦力不为0，故B错误； C．根据题意知磁铁做匀速圆周运动，在b点摩擦力斜向右上，摩擦力与重力的合力提供向心力，则磁铁受到的摩擦力大小不等于重力，故C错误； D．磁铁做匀速圆周运动，在d点摩擦力斜向左上，摩擦力与重力的合力提供向心力，如图所示 得磁铁受到的摩擦力大小一定大于重力，故D正确。 故选AD。 题型02 利用牛顿第二定律求解向心力 【典例2】（24-25高三上·天津北辰·期中）如图所示，有一个可视为质点的质量为的小物块，从光滑平台上的点以的初速度水平飞出，到达点时，恰好沿点的切线方向进入固定在地面上的竖直圆弧轨道，圆弧轨道的半径为，点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角，不计空气阻力，取重力加速度。（，）。求： (1)、两点的高度差； (2)若小物块恰好能经过圆弧轨道最高点，求小物块经过点时的速度大小。 (3)若小物块经过圆弧轨道最低点时速度为，求小物块经过点时对轨道的压力。 【答案】(1) (2) (3)100N，方向竖直向下 【详解】（1）由题意可知，小物块在B点的速度为 小物块在B点竖直方向的分速度为 根据平抛运动在竖直方向为自由落体可知 （2）小物块恰好能经过圆弧轨道最高点D，此时重力恰好提供向心力 解得 （3）小物块运动到C点时，设轨道对小物块的支持力为N，根据牛顿第二定律 解得 根据牛顿第三定律，小物块对轨道的压力等于轨道对小物块的支持力，为100N，方向竖直向下。 【变式2-1】（24-25高三上·四川成都·期中）如图所示为一皮带传输机的示意图。传送带AB间距离L=40m，倾角θ=37°，以恒定的速度v0=4.0m/s顺时针转动。将矿物无初速地放到传送带上，矿物从A端传输到B端，再沿一段与AB相切的半径R=2.0m圆形圆管轨道（不光滑）运动，到达最高点C后水平抛出，正好落入车厢中O点，矿物落点O离最高点C的水平距离x=1.0m，竖直距离h=1.25m，设每块矿物质量m=5.0kg，矿物与传送带间的动摩擦因数μ=0.80，不计空气阻力。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2）求： (1)矿物才放上传送带时加速度的大小以及到达B点时的速度大小； (2)每块矿物到达C点时对轨道的压力。 【答案】(1)a=0.4m/s2，v=4m/s (2)40N，方向竖直向下 【详解】（1）根据牛顿第二定律 代入数值得 a=0.4m/s2 矿物加速到与传送带速度相同时，由速度位移公式有 代入数值得 s=20m 由于 矿物先做匀加速直线运动，后随传送带一起做匀速运动，达到B点时的速度大小为4m/s。 （2）设矿物在C点的速度大小为，从C到O做平抛运动的时间为t，则 ， 代入数据解得 设矿物到达C点时轨道对矿物的支持力大小为F，根据牛顿第二定律有 解得 F=40N 根据牛顿第三定律，每块矿物到达C点时对轨道的压力为 其方向竖直向下。 【变式2-2】（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）在江西丰城火力发电厂，有一种将煤块制成煤粉的球磨机，其核心部件是一个半径R的躺卧圆筒。圆筒绕水平中心轴旋转，将筒内的钢球带到一定高度后，钢球脱离筒壁落下将煤块击碎，截面简化如图。设筒内仅有一个质量为m、大小不计的钢球，初始静止在最低点A。 (1)启动电机使圆筒加速转动，钢球与圆筒保持相对静止，第一次到达与圆心等高的位置B时，圆筒的角速度ω，求此时圆筒对钢球的弹力FN大小； (2)当钢球通过C点时，另一装置瞬间让钢球与圆筒分离（分离前后瞬间钢球速度不变），此后钢球仅在重力作用下落到位置D，途中没有再与圆筒内壁发生碰撞，CD连线过O点，与水平方向成45°。求分离时钢球的速度v； (3)停止工作后将圆筒洗净，内壁视为光滑。将一钢球从位置C正下方的E点由静止释放，与筒壁碰撞6次后恰好又回到E点。若所有碰撞都是弹性的（即碰撞前后沿半径方向速度大小相等方向相反，沿切线方向速度不变），求CE之间的距离d。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）第一次到达与圆心等高的位置B时，圆筒的角速度ω，根据牛顿第二定律可得 （2）钢球从C点到D点做斜抛运动，将钢球的运动分解为沿C点速度方向的分运动和沿CD方向的分运动，则沿C点速度方向的分运动做加速度为的匀减速直线运的，沿CD方向的分运动做加速度为的匀加速运动；其中沿CD方向的分运动有 解得 沿C点速度方向的分运动有 解得分离时钢球的速度为 （3）与筒壁碰撞6次后恰好又回到E点，则运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，在F点发生碰撞后做平抛运动，钢球从F点到A点，根据平抛运动规律有 联立解得 则EF的高度为 根据几何关系可知，CE之间的距离为 题型03 水平转盘上的圆周运动 【典例3】（多选）（24-25高三上·山东临沂·期中）如图所示，在一水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连的物体A和B，初始轻绳刚好拉直但无张力。小物块A、B到圆心的距离分别为、，小物块A、B的质量分别为、，小物块A、B与转盘间的动摩擦因数分别为、。已知细绳能够承受的最大张力为，超过最大张力细绳会断裂，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。某时刻圆盘转速从零缓慢增加，下列说法正确的是（　　） A．小物块A先相对转盘出现滑动 B．小物块B先相对转盘出现滑动 C．小物块B受到的摩擦力先增大后保持不变 D．当小物块B相对转盘出现滑动时，转盘的角速度 【答案】AD 【详解】AB．圆盘转速从零缓慢增加，A、B随圆盘一起转动所需向心力由它们受到的静摩擦力提供时，有 由于它们与圆盘之间的最大静摩擦力分别为 显然，随着圆盘角速度的逐渐增大，最先达到A与圆盘之间的最大静摩擦力，所以，可知小物块A先相对转盘出现滑动，故A正确，B错误； CD．当圆盘的转速逐渐增大到A将要与圆盘发生相对滑动时，此时有 求得 此时B受到的静摩擦力为 所以，可知该过程中，物块B受到的静摩擦力逐渐增大；当圆盘的角速度再继续增大时，绳子有张力产生，对A有 对B有 显然二者所需向心力大小相等，随着的增大，绳子的张力也逐渐增大，一直达到绳子的最大张力，该过程中，A、B受到的摩擦力都不变，均为；当达到绳子的最大张力时，此时对B其向心力 绳断后，随着的增大，B受到的静摩擦力逐渐增大，一直达到最大静摩擦力，所以小物块B受到的摩擦力先增大后保持不变，然后又增大；当B相对转盘出现滑动时，此时有 求得此时 故C错误，D正确。 故选AD。 【变式3-1】（多选）（24-25高三上·海南·期中）如图，半径为r的水平圆盘绕过盘心的竖直轴匀速转动，盘面上距转轴的位置有一可视为质点的小物体相对圆盘静止。某时刻圆盘突然停止转动，经时间t小物体滑至圆盘边缘恰好停下，则（　　） A．小物体运动的位移大小为 B．小物体运动的位移大小为 C．圆盘转动的角速度为 D．圆盘转动的角速度为 【答案】AD 【详解】设圆盘做匀速圆周运动的角速度为，小物体随圆盘一起转动的线速度 圆盘突然停止转动，小物体在圆盘上沿切线方向做匀减速运动，经过时间t，恰好在圆盘边缘停下，其位移大小 由，得 故AD正确，BC错误。 故选AD。 【变式3-2】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮A和B水平放置，两轮半径满足．当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上。若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，则木块距B轮转轴的最大距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】轮A和B边缘的线速度大小相等，根据 可知 在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上，则有 将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，设木块距B轮转轴的最大距离为，则有 联立解得 故选C。 题型04 圆锥摆问题 【典例4】（24-25高一上·山东·期中）如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时（　　） A．角速度 B．角速度 C．角速度 D．角速度 【答案】B 【详解】对小球受力分析，受到重力和弹力作用，由力的合成法则和牛顿第二定律可知 可得 故选B。 【变式4-1】（多选）如图所示，足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆，原长为L的轻质弹簧套在竖直杆上，质量均为m的光滑小球A、B用长为L的轻杆及光滑铰链相连，小球A穿过竖直杆置于弹簧上。让小球B以不同的角速度ω绕竖直杆匀速转动，当转动的角速度为ω0时，小球B刚好离开台面。弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为k，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．小球均静止时，弹簧的长度为 B．角速度ω=ω0时，小球A对弹簧的压力为mg C．角速度 D．角速度从ω0继续增大的过程中，小球A对弹簧的压力不变 【答案】ACD 【详解】A．若两球静止时，受力平衡，故杆的弹力为零，对A球受力分析可知 解得 故此时弹簧的长度为，A正确； BC．当转动的角速度为时，小球B刚好离开台面，设杆与转盘的夹角为，对应B球，由牛顿第二定律可知 根据平衡条件有 而对A球依然处于平衡，则有 由几何关系可知 联立解得 根据牛顿第三定律可知，小球A对弹簧的压力为2mg，B错误，C正确； D．当角速度从继续增大，B球将飘起来，杆与水平方向的夹角变小，对A与B的系统，在竖直方向始终处于平衡，则有 则弹簧对A球的弹力是2mg，由牛顿第三定律可知A球对弹簧的压力依然为2mg，弹簧的形变量不变，D正确。 故选ACD。 【变式4-2】（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）长为L的细线，一端系一质量为m的小球（可视为质点），另一端固定在悬点O1，让小球在水平面内做匀速圆周运动形成圆锥摆，如图所示，若摆线与竖直方向夹角为θ，求： (1)求摆线对小球的拉力大小； (2)小球运动的向心加速度大小； (3)生活经验告诉我们，在线长一定的情况下，角速度越大则绳与竖直方向的夹角也越大（小于90度）。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）小球受力如图 根据小球竖直方向受力平衡得 Tcosθ＝mg 得 （2）根据几何关系，根据牛顿第二定律 mgtanθ＝man 解得 an＝gtanθ （3）根据向心加速度的公式有 an＝rω2＝gtanθ 有 r＝lsinθ 联立解得 可知角速度越大则绳与竖直方向的夹角也越大。 题型05 汽车转弯问题 【典例5】（24-25高二上·浙江·期中）为了使汽车快速安全通过弯道，高速公路转弯处的路面通常设计成外侧高、内侧低。已知某高速公路转弯处是一圆弧，圆弧半径r=850m，路面倾角θ=6°（tan6°=0.105），汽车与路面的摩擦因数μ=0.6，则在该弯道处（　　） A．汽车受到重力、支持力和向心力 B．汽车所需的向心力等于其所受地面的支持力 C．当汽车速度等于120km/h时，汽车会受到平行于路面指向弯道内侧的摩擦力 D．若汽车速度小于60km/h，汽车会向内侧滑动 【答案】C 【详解】A．汽车受到重力、支持力和摩擦力，这些力的合力提供向心力，故A错误； B．汽车所需的向心力等于其所受地面的支持力和摩擦力的合力的水平分力，故B错误； C．结合上述，对汽车进行分析有 解得 当速度大于108km/h时，汽车会受到沿路面指向内侧的摩擦力，故C正确； D．根据题中给出的数据可知 所以无论汽车以什么速度过弯道都不会向内侧滑动，故D错误。 故选C。 【变式5-1】（多选）（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）如图所示，一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是（　　） A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.0×104 N C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑 D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2 【答案】BD 【详解】A．汽车转弯时受到重力、弹力和摩擦力，A错误； BC．汽车转弯时，根据向心力的公式 代入数据解得 汽车不会发生侧滑，B正确，C错误； D．汽车转弯时，摩擦力为其圆周运动提供向心力，故其转弯的最大加速度 代入数据解得 D正确。 故选BD。 【变式5-2】（23-24高一下·陕西渭南·期末）当我们骑自行车在水平地面转弯时，自行车与竖直方向有一定的夹角才不会倾倒。某同学查阅有关资料得知，只有当水平地面对自行车的支持力和摩擦力的合力方向与自行车的倾斜方向相同时自行车才不会倾倒。若该运动员骑自行车时的速率为10m/s，转弯的半径为12m，重力加速度g取。则自行车与竖直方向的夹角的正切值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】自行车（含该同学）受力如图所示 由牛顿第二定律得 解得 故选A。 题型06 圆周运动中的突变问题 【典例6】（23-24高一下·上海·阶段练习）如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质相等的两物体A和B，它们与盘间的摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好没有发生滑动时，烧断细线，则两物体的运动情况将是（　　） A．两物体均沿切线方向滑动 B．两物体均沿半径方向滑动，远离圆心 C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会滑动 D．物体A仍随圆盘做匀速圆周运动，物体B沿曲线运动，远离圆心 【答案】D 【详解】ABCD．当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，B物体靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，所以烧断细线后，B所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，B要发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，物体B沿曲线运动，但是A所需要的向心力小于A的最大静摩擦力，所以A仍保持相对圆盘静止状态做匀速圆周运动，故ABC错误，D正确。 故选D。 【变式6-1】如图所示，两个可视为质点的、相同的木块a和b放在水平转盘上，两者用细线连接，两木块与转盘间的动摩擦因数相同，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，且木块a，b与转盘中心在同一条水平直线上。当圆盘转动到两木块刚好还未发生滑动时，烧断细线，关于两木块的运动情况，以下说法正确的是（　　） A．两木块仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动 B．木块b发生滑动，离圆盘圆心越来越近 C．两木块均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远 D．木块a仍随圆盘一起做匀速圆周运动 【答案】D 【详解】木块a和b绕同轴转动，角速度相同；由于，由可知木块a做圆周运动所需的向心力小于木块b。当圆盘转速加快到两木块刚要发生滑动时，木块b靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，所以烧断细线后，木块b所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，木块b要与圆盘发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远；但是木块a所需要的向心力小于木块a的最大静摩擦力，所以木块a仍随圆盘一起做匀速圆周运动。 故选D。 【变式6-2】（2023·河北张家口·三模）如图所示，足够大光滑的桌面上有个光滑的小孔O，一根轻绳穿过小孔两端各系着质量分别为m1和m2的两个物体，它们分别以O、O′点为圆心以相同角速度做匀速圆周运动，半径分别是r1、r2，m1和m2到O点的绳长分别为l1和l2，下列说法正确的是（　　）    A．m1和m2做圆周运动的所需要的向心力大小相同 B．剪断细绳，m1做匀速直线运动，m2做自由落体运动 C．m1和m2做圆周运动的半径之比为 D．m1和m2做圆周运动的绳长之比为 【答案】D 【详解】 A．设绳子的拉力为，则做圆周运动所需要的向心力大小等于；做圆周运动所需要的向心力大小等于沿水平方向的分量，故A错误； CD．对，由牛顿第二定律得 对，设绳子与竖直方向的夹角为，由牛顿第二定律得 联立可得和做圆周运动的半径之比为 和做圆周运动的绳长之比为 故C错误，D正确； B．剪断细绳后在桌面上沿线速度方向做匀速直线运动，做平拋运动，故B错误。 故选D。 题型07 物体做离心运动和向心运动的条件 【典例7】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）物理来源于生活，也可以解释生活。对于如图所示生活中经常出现的情况，分析正确的是（　　） A．图甲中小球在水平面做匀速圆周运动时，轨道半径为L，重力与拉力合力提供向心力 B．图乙中物体随水平圆盘一起做圆周运动时，一定受到指向圆盘圆心的摩擦力 C．图丙中汽车过拱桥最高点时，速度越大，对桥面的压力越小 D．图丁中若轿车转弯时速度过大发生侧翻，是因为受到的离心力大于向心力 【答案】C 【详解】A．图甲中小球在水平面做匀速圆周运动时，如图所示 其中红色部分表示轨迹圆，紫色点为圆心，绿色线段为半径，由几何关系可知 小球只在重力和拉力作用下做匀速圆周运动，故重力和拉力合力提供向心力，故A错误； B．图乙中物体随水平圆盘一起做匀速圆周运动时，一定受到指向圆盘圆心的摩擦力。而当物体随水平圆盘做变速圆周时，物体的线速度大小是变化的，即在切线方向存在摩擦力的分力，即此时物体所受摩擦力不指向圆心，故B错误； C．图丙中汽车过拱桥最高点时，满足 因此当汽车过拱桥最高点时，速度越大，对桥面的压力越小，故C正确； D．图丁中若轿车转弯时速度过大发生侧翻，是因为汽车做离心运动，即需要的向心力大于提供的向心力，故D错误。 故选C。 【变式7-1】（23-24高一下·山东济南·期末）如图所示，将湿透的雨伞水平匀速旋转，保持伞边缘到水平地面的高度一定，水滴自雨伞边缘被甩出，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．雨伞转得越快，水滴落地的时间就越长 B．水滴离开伞边缘后将沿切线方向做直线运动 C．水滴在空中运动过程中，其速度方向与水平方向的夹角越来越大 D．水滴沿雨伞边缘的切线方向被甩出是因为水滴受到离心力的作用 【答案】C 【详解】A．水滴自雨伞边缘被甩出后做平抛运动，根据可知，落地时间与转动速度无关，故A错误； B．水滴离开伞边缘后将沿切线方向水平抛出，做曲线运动，故B错误； C．设速度方向与水平方向的夹角为，飞出雨伞时的速度为，竖直方向任意时刻的速度为，可知雨滴在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，因此有 可知空中运动过程中，其速度方向与水平方向的夹角越来越大，故C正确； D．旋转雨伞，水滴与雨伞一起做圆周运动，当旋转速度增大时，雨滴在雨伞上的附着力不足以提供雨滴做圆周运动的向心力，雨滴做了离心运动，并不是因为水滴受到离心力的作用力，故D错误。 故选 C。 【变式7-2】（多选）（23-24高一下·浙江宁波·期末）下列关于教材中的四幅插图说法正确的是（　　） A．甲中汽车通过凹形路面时，汽车需减速，这样可以减少对桥的压力 B．乙中汽车在水平面内转弯时，由地面的滑动摩擦力提供转弯所需的向心力 C．丙中在铁路转弯处的外轨比内轨高，可以减轻转弯时火车外侧轮缘与轨道的挤压 D．丁中洗衣机脱水桶脱水的原因是水滴受到的离心力大于它受到的向心力 【答案】AC 【详解】A．甲中汽车通过凹形路面时，根据 解得 可知汽车需减速，这样可以减少对桥的压力，故A正确； B．乙中汽车在水平面内转弯时，由地面的静摩擦力提供转弯所需的向心力，故B错误； C．丙中在铁路转弯处的外轨比内轨高，火车所受弹力与水平面有一个夹角，这样一来火车转弯时所需的向心力可以由弹力的水平方向分力提供，就减轻了转弯时火车外侧轮缘与轨道的挤压，故C正确； D．丁中洗衣机脱水桶脱水的原因是水滴受到的衣服提供的附着力小于它所需的向心力，做离心运动，故D错误。 故选AC。 题型08 火车倾斜转弯问题 【典例8】（24-25高三上·江苏·阶段练习）随着交通的发展，旅游才真正变成一件赏心乐事，各种“休闲游”“享乐游”纷纷打起了宣传的招牌。某次旅游中游客乘坐列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道过程中，游客发现车厢顶部悬挂玩具小熊的细线稳定后与车厢侧壁平行，同时观察放在桌面(与车厢底板平行)上水杯内的水面，已知此弯道路面的倾角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．列车的轮缘与轨道无侧向挤压作用 B．列车转弯过程中的向心加速度为gtan θ，方向与水平面的夹角为θ C．水杯与桌面间有静摩擦力 D．水杯受到桌面的支持力与水杯的重力是一对平衡力 【答案】A 【详解】AB. 对玩具小熊 得 对列车整体 说明列车的轮缘与轨道无侧向挤压作用，且加速度为水平方向，A正确，B错误； C. 水杯所受支持力方向与竖直方向夹角为θ，同理，水杯与桌面间不存在静摩擦力，C错误； D. 水杯受到桌面的支持力与水杯的重力方向不共线，不可能是一对平衡力，D错误。 故选A。 【变式8-1】（24-25高三上·天津南开·期中）钢架雪车是一项精彩刺激的冬奥会比赛项目，运动员从起跑区推动雪车起跑后俯卧在雪车上，经出发区、滑行区和减速区等一系列直道、弯道后到达终点，用时少者获胜。图（a）是比赛中一名运动员通过滑行区某弯道时的照片。假设可视为质点的运动员和车的总质量为m，其在弯道P处做水平面内圆周运动可简化为如图（b）所示模型，车在P处的速率为v，弯道表面与水平面成角，此时车相对弯道无侧向滑动，不计摩擦阻力和空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．在P处车对弯道的压力大小为 B．在P处运动员和车的向心加速度大小为 C．在P处运动员和车做圆周运动的半径为 D．若雪车在更靠近轨道内侧的位置无侧滑通过该处弯道，则速率比原来大 【答案】B 【详解】A．对人和车受力分析，如图所示 根据几何关系 根据牛顿第三定律，车对弯道的压力大小为 故A错误； BC．根据牛顿第二定律可得 解得 ， 故B正确，C错误； D．若人滑行的位置更加靠近轨道内侧，则圆周运动的半径减小，根据 可知，当圆周运动的半径减小，则其速率比原来小，故D错误。 故选B。 【变式8-2】（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）某次旅游中游客乘坐列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道过程中，发现车顶部悬挂玩具小熊的细线稳定后与车厢侧壁平行。与车厢底板平行的桌面上有一水杯，已知水杯与桌面间的动摩擦因数，水杯与水的总质量m，水平圆弧形弯道半径R，此弯道路面的倾角为θ，重力加速度为g，不计空气阻力，求： （1）列车转弯过程中的向心加速度大小； （2）列车转弯过程中，水杯与桌面间的摩擦力。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设玩具小熊的质量为m，则玩具小熊受到的重力mg、细线的拉力FT的合力提供玩具小熊随列车做水平面内圆周运动的向心力F，有 mgtanθ=ma 可知列车在转弯过程中的向心加速度大小为 a=gtanθ （2）水杯的向心加速度 a=gtanθ 由水杯的重力与桌面的支持力的合力提供，则水杯与桌面间的静摩擦力为零 f＝0 题型09 绳类模型及其临界问题 【典例9】（24-25高一上·河北邯郸·期末）如图所示，桌面上放置一内壁光滑的固定竖直圆环轨道，质量为M，半径为R。可视为质点的小球在轨道内做圆周运动，其质量为m。小球在轨道最高点的速度大小为，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　） A．当时，轨道对小球无支持力 B．当时，轨道对桌面的压力为 C．小球做圆周运动的过程中，合外力提供向心力 D．小球在最高点时处于超重状态 【答案】B 【详解】AB．当时，对小球受力分析，得 得 根据牛顿第三定律，小球对圆环的作用力与圆环对小球的作用力大小相等方向相反，对圆环轨道受力分析，得 则 A错误，B正确； C．小球做变速圆周运动，在小球运动的过程中，除最高点和最低点合外力提供向心力，其它位置都是合外力的分力提供向心力， C错误； D．小球在最高点时加速度向下，则处于失重状态，D错误。 故选B。 【变式9-1】（24-25高一上·浙江·期中）杂技表演水流星如图所示，一根绳系着盛水的杯子，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做变速圆周运动，已知轨迹半径为r = 0.4 m，水的质量200 g，杯子的质量50 g，绳子质量不计，重力加速度g = 10 m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．杯子运动到最高点时，水恰好不流出，则最高点速度大小为4 m/s B．当杯子运动到最高点N时速度大小为6 m/s时，水对杯子的弹力大小为16 N，方向竖直向下 C．杯子在下降过程速度变大，合力沿轨迹切线方向的分力与速度同向 D．杯子在最低点M时处于受力平衡状态 【答案】C 【详解】A．杯子运动到最高点时，水刚好不落下，对水则有 所以杯子在最高点时的速度为 故A错误； B．当杯子到最高点速度为6 m/s时，对水根据牛顿第二定律有 解得 即杯子对水的弹力为16 N，方向竖直向下，根据牛顿第三定律可得水对杯子的弹力大小为16 N，方向竖直向上，故B错误； C．杯子在运动过程中做的是变速圆周运动，沿圆周下降过程速度增加是因为其受到的合力沿切线方向的分力与速度同向，故C正确； D．杯子在最低点时加速度方向竖直向上，此时杯子处于超重状态，故D错误。 故选C。 【变式9-2】（多选）（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系图像如图乙所示。图像中的数据a和b，包括重力加速度g都为已知量，假设小球质量为，则以下说法正确的是（　　） A． B． C． D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨迹半径 【答案】BD 【详解】在最高点时由牛顿第二定律可知 解得 当FT=0时 a=v2=gr 当v2=2a时 b=FT=mg 可得 可得小球的质量 故选BD。 题型10 杆球类模型及其临界问题 【典例10】（22-23高一下·四川攀枝花·期末）如图所示，长为0.4m的轻质杆OP的P端与质量为0.2kg、可视为质点的小球相连，小球以轻质杆的O端为圆心在竖直平面内做圆周运动。小球通过最高点时的速率为3m/s，重力加速度g取10m/s2，则此时轻杆受到的作用力为（　　） A．2.5N的拉力 B．2.5N的压力 C．4.5N的拉力 D．4.5N的压力 【答案】A 【详解】小球通过最高点时的速率为3m/s，设此时轻杆对小球的作用力向下，以小球为对象，根据牛顿第二定律可得 解得 假设成立，根据牛顿第三定律可知，此时轻杆受到的作用力为2.5N的拉力。 故选A。 【变式10-1】如图所示，一小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，轨道半径为R，小球的直径略小于管道的直径，重力加速度为g，则小球（　　） A．可能做匀速圆周运动 B．通过最高点时的最小速度为 C．通过最低点时受到的弹力向上 D．在运动一周的过程中可能一直受到内侧管壁的弹力 【答案】C 【详解】A．小球从最高点到最低点重力做正功，速度增加；从最低点到最高点，克服重力做功，速度减小，则不可能做匀速圆周运动，选项A错误； B．通过最高点时因管道对小球可以提供支持力，则小球的最小速度为零，选项B错误； C．通过最低点时向上的支持力和向下的重力的合力提供向心力，可知小球受到的弹力向上，选项C正确； D．在运动一周的过程中，在下面的半周中小球有向上的加速度分量，则受到外侧管壁的弹力，选项D错误。 故选C。 【变式10-2】（多选）（24-25高三上·北京西城·期中）如图，半径为的圆形光滑轨道置于竖直平面内，一金属小环套在轨道上可以自由滑动，已知重力加速度为，下列说法正确的是（   ） A．要使小环做完整的圆周运动，小环在最低点的速度应大于 B．要使小环做完整的圆周运动，小环在最低点的加速度应大于 C．如果小环在最高点时速度大于，则小环受到的弹力方向指向圆形轨道的圆心 D．小环运动到最低点时对轨道压力一定大于重力 【答案】BCD 【详解】AB．要使小环做完整的圆周运动，小圆环在最高点的速度的最小值恰好为零，设此时最低点速度为v，根据机械能守恒定律，有 解得 此时，在最低点的加速度为 因此做完整的圆周运动，最低点的加速度应大于4g，故A错误，B正确； C．在最高点，当重力恰好提供向心力时，有 解得 若速度大于，小环有离心趋势，小环受到的弹力方向指向圆形轨道的圆心，故C正确； D．根据牛顿第二定律，则有 可知：环在最低点时对轨道压力一定大于重力，故D正确。 故选BCD。 题型11 拱桥和凹桥模型 【典例11】（24-25高二上·安徽·开学考试）如图所示，一辆汽车以恒定速率通过圆弧拱桥，N为桥面最高处，则汽车（　　） A．在N处所受支持力大小小于其重力，从M到N过程所受支持力逐渐增大 B．在N处所受支持力大小小于其重力，从M到N过程所受支持力逐渐减小 C．在N处所受支持力大小大于其重力，从M到N过程所受支持力逐渐增大 D．在N处所受支持力大小大于其重力，从M到N过程所受支持力逐渐减小 【答案】A 【详解】在N处，根据牛顿第二定律可得 解得 在M处，设汽车与圆心的连线与竖直方向的夹角为，根据牛顿第二定律可得 解得 从M到N过程，速率v不变，减小，增大，故逐渐增大。 故选A 【变式11-1】（24-25高三上·陕西西安·期中）如图所示，一辆质量为m的汽车先过一段凹形桥，再过一段拱形桥，M、N分别为桥的最低点和最高点，且汽车通过M、N两点时的速度均不为0。汽车在通过两种桥面的过程中均未脱离桥面，下列说法正确的是（　　） A．汽车通过M点时处于失重状态 B．汽车通过M点时的加速度可能为0 C．汽车通过N点时，无论速度多大，对桥面始终有压力 D．汽车通过N点时对桥面的压力一定比通过M点时对桥面的压力小 【答案】D 【详解】AB．汽车通过M点时，根据牛顿第二定律可知 加速度方向竖直向上，故此时汽车处于超重状态；由于汽车通过M、N两点时的速度均不为0，故此时汽车加速度大小不为0，故A错误； C．汽车通过N点时，根据牛顿第二定律可知 若 即时，此时桥面对汽车的支持力为0，根据牛顿第三定律可知，此时汽车对桥面的压力为0，故C错误； D．根据牛顿第三定律可知，桥面对汽车的支持力等于汽车对桥面的压力；由上述可知在M点时 故汽车通过N点时对桥面的压力一定比通过M点时对桥面的压力小，故D正确。 故选D。 【变式11-2】（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）如图所示一辆质量为1t的汽车静止在半径为50m的圆弧形拱桥顶部（g = 10m/s2），求： (1)此时汽车对圆弧形拱桥的压力是多大； (2)如果汽车以10m/s的速度经过拱桥的顶部，则圆弧形拱桥对汽车的支持力多大； (3)汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零。 【答案】(1)1.0 × 104 N (2)8.0 × 103 N (3) 【详解】（1）汽车静止在弧形拱桥顶部，由平衡条件得 由牛顿第三定律得，汽车对圆弧形拱桥的压力是1.0 × 104 N。 （2）汽车以10 m/s的速度经过拱桥的顶部，由牛顿第二定律得 解得 故圆弧形拱桥对汽车的支持力是8.0 × 103 N。 （3）设汽车以速度v1通过拱桥的顶部时，对圆弧形拱桥的压力恰好为零，由牛顿第二定律得 解得 题型12 航天器中的失重问题 【典例12】（22-23高三下·上海嘉定·阶段练习）2022年我国航天员在空间站太空舱开设“天宫课堂”，课堂演示了“水油分离”实验。如图所示，用细绳系住装有水和油的瓶子，手持细绳的另一端，使瓶子在竖直平面内做圆周运动，则（　　） A．只要瓶子有速度，就能通过圆周的最高点，水油分离后，水在外侧 B．只要瓶子有速度，就能通过圆周的最高点，水油分离后，油在外侧 C．瓶子的速度需大于某一值才能通过圆周的最高点，水油分离后，水在外侧 D．瓶子的速度需大于某一值才能通过圆周的最高点，水油分离后，油在外侧 【答案】A 【详解】在空间中所有物体均处于完全失重状态，瓶子做圆周运动的向心力全部由细绳提供，所以只要瓶子有速度，就会使绳子产生弹力而处于绷紧状态，瓶子就能通过圆周的最高点。而水的密度较大，单位体积的水的质量较大，当水和油未分离时，二者做圆周运动的角速度相同和半径相同，根据可知水所需的向心力较大，比油更易做离心运动进而运动至外侧。 故选A。 【变式12-1】如图，在轨运行的空间站内宇航员将小球用不可伸长的细线系住，细线另一端系在固定支架上O点处，进行如下两次操作，第一次操作：拉开细线一个小角度后由静止释放小球；第二次操作：拉直细线给小球一个垂直于细线的速度，则 A．第一次操作中，小球绕O点做往复运动 B．第一次操作中，小球朝向O点做直线运动 C．第二次操作中，小球绕O点做匀速圆周运动 D．第二次操作中，小球相对O点做匀变速曲线运动 【答案】C 【详解】AB. 在轨运行的空间站内所有物体都处于完全失重状态，故第一次操作中小球保持静止，AB错误； CD. 在轨运行的空间站内所有物体都处于完全失重状态，故第二次操作中小球仅受绳的拉力而做圆周运动，C正确，D错误； 故选C。 【变式12-2】在绕地球的圆形轨道上飞行的航天飞机上，将质量为m的物体挂在一个弹簧秤上，若轨道处的重力加速度为g'，则下面说法中正确的是( 　　) A．物体所受的合外力为mg'，弹簧秤的读数为零 B．物体所受的合外力为零，弹簧秤的读数为mg' C．物体所受的合外力为零，弹簧秤的读数为零 D．物体所受的合外力为mg'，弹簧秤的读数为mg' 【答案】A 【分析】在绕地球的圆形轨道上飞行的航天飞机上，物体处于完全失重状态，根据牛顿第二定律分析弹簧秤的读数。 【详解】在绕地球的圆形轨道上飞行的航天飞机上，物体所受的合外力等于重力mg′，根据牛顿第二定律，物体的加速度为g′，物体处于完全失重状态，弹簧秤的读数为零，A正确，BCD错误。 【点睛】在轨道运动的航天飞机处于完全失重状态，在地面上由于重力产生的现象消失，弹簧称不能用来测量物体的重力。 题型13 光滑斜面上的圆周运动 【典例13】（多选）如图甲所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，细线一端与可看成质点的质量为m的小球相连，另一端穿入小孔O与力传感器（位于斜面体内部）连接，传感器可实时记录细线拉力大小及扫过的角度。初始时，细线水平，小球位于小孔O的右侧，现敲击小球，使小球获得一平行于斜面向上的初速度，此后传感器记录细线拉力T的大小随细线扫过角度的变化图像如图乙所示，图中已知，小球到O点距离为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球位于初始位置时的加速度为 B．小球通过最高点时速度为 C．小球通过最高点时速度为 D．小球通过最低点时速度为 【答案】CD 【详解】A．小球位于初始位置时的向心加速度为 沿斜面向下的加速度为 则小球位于初始位置时的加速度大于，故A错误； B．由图乙可知，小球通过最高点时细线的拉力为零，则有 解得小球通过最高点时速度为 故B错误； C．小球在初始位置时，有 则小球通过最高点时速度为 故C正确； D．小球通过最低点时，有 解得小球通过最低点的速度为 故D正确。 故选CD。 【变式13-1】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）如图所示， 光滑斜面的倾角θ=37°， 有一细线长l=0.24m， 细线一端固定于O点， 另一端拴一质量为0.2kg的小球，小球可视为质点。小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，最高点为A，最低点为B，重力加速度g取1 则 (1)小球通过最高点A时的速度 m/s； (2)已知O点到斜面底边的距离Soc=L，小球运动到A点时剪断细线，滑落到斜面底边时到C点的距离为，小球运动到B 点时剪断细线，滑落到斜面底边时到C点的距离为， 若， 则= 。    【答案】(1)1.2 (2)2：3 【详解】（1）小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，刚小球通过A点时细线的拉力为零，根据圆周运动和牛顿第二定律有 解得 （2）小球运动到A点或B点时细线断裂，小球在平行底边方向做匀速运动，在垂直底边方向做初速为零的匀加速度运动（类平抛运动），细线在A点断裂 小球从A点运动到B点，根据机械能守恒定律有 解得 细线在B点断裂 其中 解得 【变式13-2】（23-24高一下·山西太原·期中）如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，长度为L的轻绳一端固定在O点，另一端拴连质量为m的小球。小球在最低点A获得初速度v，并开始在斜面上做圆周运动，小球可通过最高点B．重力加速度大小为g，轻绳与斜面平行，不计一切摩擦。下列选项正确的是（　　） A．小球通过B点时，轻绳的弹力可能为0 B．小球通过B点时，最小速度为 C．小球通过A点时，轻绳的弹力可能为0 D．小球通过A点时，斜面对小球的支持力与小球的速度无关 【答案】ABD 【详解】A．小球通过B点，当小球的重力和斜面对小球的支持力的合力恰好提供向心力时，轻绳的弹力为零，故A正确； B．小球通过B点时，当绳上拉力恰好为零时，对应的速度最小，由牛顿第二定律可得 解得 故B正确； C．小球通过A点时，若轻绳的弹力为零，小球的重力和斜面对小球的支持力的合力不可能沿斜面向上指向圆心，故C错误； D．斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分量，与小球的速度无关，即 故D正确。 故选ABD。 题型14 有摩擦的倾斜转盘上的圆周运动 【典例14】（23-24高一下·河南·期末）与水平面成30°角的圆盘绕转轴转动的角速度为，质量为m的物块（可视为质点）到转轴的距离为r，随圆盘一起转动（相对于盘面静止）。如图所示，P点是物块运动的轨迹圆上的最高点，Q点是物块运动的轨迹圆上的最低点，重力加速度大小为g，物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．物块经过Q点时受到的静摩擦力大小为 B．物块经过 P 点时受到的静摩擦力大小为 C．物块与盘面间的动摩擦因数可能为 D．若圆盘的角速度继续缓慢增大，则物块最容易与圆盘发生相对滑动的位置为Q点 【答案】AD 【详解】A．物块经过点时对物块受力分析可知，物块受到的摩擦力方向一定沿盘面指向转轴，有 解得 选项A正确； B．物块经过点时对物块受力分析，设物块受到的摩擦力方向也沿盘面指向转轴，有 解得 可知物块受到的摩擦力方向沿盘面背离转轴，且大小为，选项B错误； C．物块相对于盘面静止，则应有 解得 选项C错误； D．结合前面分析可知，圆盘的角速度一定时，物块在点受到的摩擦力最大，因此当圆盘的角速度继续增大，物块最容易与圆盘发生相对滑动的位置为点，选项D正确。 故选AD。 【变式14-1】（23-24高一下·河北·期末）一倾角为的圆盘绕垂直盘面的轴以大小为的角速度匀速转动，盘面上有一个离转轴距离为r、质量为m的物块（可视为质点）随圆盘一起转动（相对于盘面静止）。如图所示，P点是物块运动的轨迹圆上的最高点，Q点是物块运动的轨迹圆上的最低点，重力加速度大小为g，物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（    ） A．物块经过Q点时受到的静摩擦力大小为 B．物块经过P点时受到的静摩擦力大小为 C．物块与盘面间的动摩擦因数可能为 D．若圆盘的角速度继续缓慢增大，则物块最容易与圆盘发生相对滑动的位置为Q点 【答案】AD 【详解】物块随圆盘一起转动过程中，所需向心力为 A．物块经过Q点时根据牛顿第二定律 解得 故A正确； B．物块经过P点时根据牛顿第二定律 解得 故B错误； C．静摩擦力小于等于最大静摩擦力，即 解得 故C错误； D．若圆盘的角速度继续缓慢增大，物块经过Q点时，沿斜面向上的静摩擦力和沿斜面向下的重力的分力的合力提供向心力，即静摩擦力等于重力与向心力之和；物块经过P点时，当静摩擦力为零时 解得 则，当角速度增大到后，沿斜面向下的静摩擦力和沿斜面向下的重力的分力的合力提供向心力，即静摩擦力等于重力与向心力之差，即在Q点时的静摩擦力大，所以，若圆盘的角速度继续缓慢增大，则物块最容易与圆盘发生相对滑动的位置为Q点，故D正确。 故选AD。 【变式14-2】（23-24高一下·山东泰安·期末）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与之间的夹角θ为60°，重力加速度为g。 （1）求转台转动的角速度； （2）若改变转台的角速度，当时，小物块仍与罐壁相对静止，求此时小物块受到的摩擦力的大小和方向。 【答案】（1）；（2），方向与罐壁相切斜向下 【详解】（1）根据 解得 （2）设支持力N，摩擦力，物块在竖直方向平衡，水平方向做匀速圆周运动，则 解得 方向与罐壁相切斜向下。 【基础练·强化巩固】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）空中飞椅深受年轻人的喜爱，飞椅的位置不同，感受也不同，关于飞椅的运动，下列说法正确的是（　　） A．乘坐飞椅的所有爱好者一起做圆周运动，最外侧的飞椅角速度最大 B．缆绳一样长，悬挂点在最外侧的飞椅与悬挂在内侧的飞椅向心加速度大小相等 C．飞椅中的人随飞椅一起做圆周运动，受重力、飞椅的支持力与向心力 D．不管飞椅在什么位置，缆绳长短如何，做圆周运动的飞椅角速度都相同 【答案】D 【详解】A．乘坐飞椅的所有爱好者一起做圆周运动，所有飞椅的角速度都相同，选项A错误； B．缆绳一样长，则悬挂点在最外侧的飞椅与悬挂在内侧的飞椅转动半径不同，根据a=ω2r可知，向心加速度大小不相等，选项B错误； C．飞椅中的人随飞椅一起做圆周运动，受重力、飞椅的支持力作用，两个力的合力等于向心力，选项C错误； D．不管飞椅在什么位置，缆绳长短如何，所有飞椅绕同一轴转动，则做圆周运动的飞椅角速度都相同，选项D正确。 故选D。 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则（　　） A．物块始终受到三个力作用 B．物块受到的合外力始终指向圆心 C．在c、d两个位置，物块所受支持力N相同，摩擦力f为零 D．在a、b两个位置，物块所受摩擦力提供向心力，支持力 【答案】B 【详解】A．物块在最高点c和最低点d均受重力和支持力两个力作用，两个力的合力提供向心力，故A错误； B．物块做匀速圆周运动，合外力提供向心力，可知合外力始终指向圆心，故B正确； C．在最高点和最低点，摩擦力是零，重力和支持力的合力提供向心力，在位置c，根据牛顿第二定律得 所以 在位置d，根据牛顿第二定律得 所以 C错误； D．在a、b两个位置，重力和支持力平衡，即，物块所受静摩擦力提供向心力，故D错误。 故选B。 3．（24-25高一下·全国·课后作业）在2022年3月23日天宫课堂中，航天员老师利用手摇离心机将水油分离。天宫课堂中航天员的手摇离心机可简化为如图在空间站中手摇小瓶做匀速圆周运动的模型，假设小瓶（包括小瓶中的油和水）的质量为m，P为小瓶的重心，细线的长度（忽略小瓶的大小）为L，小瓶在t时间内转动了n圈，当小瓶转动到竖直平面内最高点时，细线中的拉力为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】小瓶转动的周期为 根据牛顿第二定律可得细线的拉力大小为 故选C。 4．（24-25高三上·江苏·阶段练习）旋转餐桌的水平桌面上，一个质量为m的茶杯（视为质点）到转轴的距离为r，茶杯与旋转桌面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，餐桌带着茶杯以相同转速一起匀速转动时，茶杯与餐桌没有发生相对滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．若减小餐桌的转动转速，则茶杯与餐桌可能发生相对滑动 B．一起匀速转动时茶杯有沿切线方向滑出去的趋势 C．让餐桌加速转动，茶杯与餐桌仍保持相对静止，则茶杯受到的摩擦力的方向指向餐桌的中心 D．将茶杯中的水倒出后仍放在原位置，以相同的转速匀速转动餐桌，茶杯与餐桌仍保持相对静止 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，茶杯转动时，所需的向心力为 若减小餐桌的转动转速，所需向心力减小，则茶杯与餐桌不可能发生相对滑动，故A错误； B．一起匀速转动时，茶杯所受静摩擦力提供茶杯做匀速圆周运动的向心力，指向圆心，则茶杯有背离圆心的运动趋势，故B错误； C．让餐桌加速转动，茶杯与餐桌仍保持相对静止，摩擦力沿着半径方向的分力改变线速度的方向，摩擦力沿着切线方向的分力改变线速度的大小，可知，茶杯受到的摩擦力的方向不指向餐桌的中心，故C错误； D．根据题意可知，餐桌带着茶杯以相同转速一起匀速转动时，茶杯与餐桌恰好没有发生相对滑动时，有 将茶杯中的水倒出后仍放在原位置，等式仍然成立，可知，茶杯与餐桌仍保持相对静止，故D正确。 故选D。 5．（22-23高一下·四川成都·期末）关于生活中的圆周运动，下列说法正确的是（    ）    A．如图甲，物体随水平圆盘匀速转动时，受到重力、支持力、摩擦力和向心力作用 B．如图乙，物体在水平面上做圆周运动，若在Ａ点运动轨迹突然发生改变而沿虚线运动，则一定是因为物体的速度突然变大了 C．如图丙，火车转弯时，为避免轮缘与内外轨发生侧向变压，倾角应根据火车的质量设计 D．如图丁，小球在竖直放置的圆形轨道内侧做圆周运动，过最低点Ｃ时小球对轨道的压力最大 【答案】D 【详解】A．如图甲，物体随水平圆盘匀速转动时，受到重力、支持力、摩擦力作用，其中的摩擦力做向心力，选项A错误； B．如图乙，物体在水平面上做圆周运动，若在Ａ点运动轨迹突然发生改变而沿虚线运动，即做离心运动，则可能是因为物体的速度突然变大了，也可能是提供的向心力变小了，选项B错误； C．如图丙，火车转弯时，为避免轮缘与内外轨发生侧向变压，倾角应满足 即 与火车的质量无关，选项C错误； D．如图丁，小球在竖直放置的圆形轨道内侧做圆周运动，过最低点Ｃ时小球速度最大，根据 可知，对轨道的压力最大，选项D正确。 故选D。 6．（24-25高一下·全国·期中）如图甲是滚筒洗衣机滚筒的内部结构，内筒壁上有很多光滑的突起和小孔。洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动，如图乙所示a、b、c、d分别为一件小衣物（可理想化为质点）随滚筒转动过程中经过的四个位置，a为最高位置，c为最低位置，b、d为与滚筒圆心等高的位置。下面说法正确的是（    ） A．衣物在四个位置加速度大小相等 B．衣物对滚筒壁的压力在a位置比在c位置的大 C．衣物转到a位置时的脱水效果最好 D．衣物在b位置受到的摩擦力和在d位置受到的摩擦力方向相反 【答案】A 【详解】A．衣物做匀速圆周运动，角速度大小恒定，根据向心加速度 可知衣物在四个位置加速度大小相等，故A正确； B．衣物在a位置，根据牛顿第二定律得 在c位置 可知，结合牛顿第三定律可知衣物对滚筒壁的压力在a位置比在c位置的小，故B错误； C．衣物在c位置与滚筒壁的挤压作用最大，所以衣物转到c位置时的脱水效果最好，故C错误； D．衣物做匀速圆周运动，合外力提供向心力，衣物在b位置受到的摩擦力和重力等大反向，同理d位置受到的摩擦力和重力等大反向，所以衣物在b位置受到的摩擦力和在d位置受到的摩擦力方向相同，均竖直向上，故D错误。 故选A。 7．（23-24高一下·福建福州·期末）如图所示，火车在倾斜的轨道上匀速转弯，弯道的倾角为θ，半径为r，重力加速度为g，则火车转弯时外侧车轮轮缘不对外轨产生挤压的最大速率是（设转弯半径水平）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】火车在倾斜的轨道上匀速转弯时，若内、外侧车轮轮缘不对内、外轨产生挤压，则有火车的重力与倾斜轨道的支持力的合力提供向心力，如图所示。设此时火车的速率为，则此速率是火车转弯时外侧车轮轮缘不对外轨产生挤压的最大值，由牛顿第二定律可得 解得 故选C。 【拓展练·培优拔高】 8．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）杂技表演水流星如图所示，一根绳系着盛水的杯子，随着演员的抡动，杯子就在竖直平面做圆周运动，已知轨迹半径为，水的质量200g，杯子的质量50g，绳子质量不计，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．杯子运动到最高点时，水刚好不落下，则最高点速度为 B．当杯子到最高点速度为时，则水对杯子的弹力大小为16N，方向竖直向下 C．杯子在运动过程中做的是变速圆周运动，沿圆周下降过程速度增加是因为合力沿切线方向的分力与速度同向 D．杯子在最低点时处于超重状态 【答案】CD 【详解】A．杯子运动到最高点时，水刚好不落下，对水则有 所以杯子在最高点时的速度为 故A错误； B．当杯子到最高点速度为6m/s时，对水根据牛顿第二定律有 解得 即杯子对水的弹力为16N，方向竖直向下，根据牛顿第三定律可得水对杯子的弹力大小为16N，方向竖直向上，故B错误； C．杯子在运动过程中做的是变速圆周运动，沿圆周下降过程速度增加是因为其受到的合力沿切线方向的分力与速度同向，故C正确； D．杯子在最低点时加速度方向竖直向上，此时杯子处于超重状态，故D正确。 故选 CD。 9．（23-24高一下·辽宁大连·期末）关于下列四幅图说法正确的是（　　） A．如图甲，汽车通过拱桥的最高点时速度越大，对桥面压力越大 B．如图乙，小球在水平面内做匀速圆周运动过程中所受的合外力不变 C．如图丙，水平路面上转弯的汽车，若超速行驶可能发生离心现象 D．如图丁，火车转弯时小于规定速度行驶时，外轨会对轮缘有挤压作用 【答案】C 【详解】A．汽车通过拱桥的最高点时，由牛顿第二定律得 根据牛顿第三定律可得 可知汽车通过拱桥的最高点时速度越大，对桥面压力越小，故A错误； B．小球在水平面内做匀速圆周运动过程中所受的合外力大小不变，方向时刻发生变化，故B错误； C．水平路面上转弯的汽车，若超速行驶，可能汽车受到的摩擦力不足以提供所需的向心力，则汽车做离心运动，故C正确； D．火车转弯时小于规定速度行驶时，则重力和支持力的合力大于所需的向心力，汽车有做近心运动的趋势，内轨会对轮缘有挤压作用，故D错误。 故选C。 10．（23-24高一下·辽宁大连·期中）如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．轻质绳长为 B．当时，轻质绳的拉力大小为 C．小球在最低点受到的最小拉力为 D．若把轻绳换成轻杆，则从最高点由静止转过的过程中杆始终对小球产生支持力 【答案】ABC 【详解】A．小球在最高点时，由牛顿第二定律 由图像可知 解得 选项A正确； B．当时，轻质绳的拉力大小为 选项B正确； C．小球在最高点时最小速度为 则由 解得最低点受到的最小拉力为 选项C正确； D．若把轻绳换成轻杆，则从最高点由静止转过的过程中开始时杆对小球的作用力为支持力；转到水平位置时由杆的拉力提供向心力，即此时杆对球的作用力是拉力，所以在小球从最高点由静止转过的过程中，杆对小球的作用力开始时是支持力，然后是拉力，故D错误。 故选ABC。 11．（24-25高一下·全国·单元测试）将“太极球”简化成如图所示的球拍和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离球拍而做匀速圆周运动，且在运动到图中的A、B、C、D位置时球与球拍间无相对运动趋势。A为圆周的最高点，C为最低点，B、D与圆心O等高且在B、D处球拍与水平面夹角为。设球的质量为m，圆周的半径为R，重力加速度为g，不计球拍的重力，若运动到最高点时球拍与小球之间作用力恰为，则下列说法正确的是（　　） A．圆周运动的周期为 B．圆周运动的周期为 C．在B、D处球拍对球的作用力大小为 D．在B、D处球拍对球的作用力大小为 【答案】AC 【详解】AB．设球运动的线速度为v，则在A处有 ， 解得 匀速圆周运动的周期为 故A正确，B错误； CD．在B、D处球拍与水平面夹角为，在B、D处球受到球拍的弹力沿水平方向的分力提供向心力，在B处的受力分析如图所示 可得 又，联立可得 ， 故C正确，D错误。 故选AC。 12．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，圆弧半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置在水平地面上，两个质量均为m的小球A、B以不同的速度进入管内（小球直径略小于半圆管横截面直径），A通过最高点C时，对管壁上部压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁上下部均无压力，则关于小球A通过最高点C时的速度vA及A、B两球落地点间的距离x，下列选项中正确的是（　　）（重力加速度大小为g） A．x=R B．x=2R C． D． 【答案】BD 【详解】在最高点，对A球，有 解得 对B球，有 解得 离开圆管后两球均做平抛运动，由平抛运动规律可得落地时A、B的水平分位移分别为 则 故选BD。 13．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，长为的轻杆两端分别固定着可以视为质点的小球，系统置于竖直平面内，且杆可绕过点的水平固定轴在竖直面内无摩擦转动，已知的质量分别为，当小球位于最低点时给系统一初始角速度，重力加速度为，不计一切阻力，则（　　） A．只有大于某临界值，系统才能做完整的圆周运动 B．无论大小为多少，球均能做完整的圆周运动 C．若球运动到最高点时，杆对球的作用力为零 D．若，当球运动到最高点时，转轴对轻杆的作用力大小为 【答案】BC 【详解】AB．转动过程中，和杆组成的系统机械能守恒，当球在上，球在下，杆转动到任意位置时，设杆和初始位置间的夹角为，则小球重力势能的减少量为 A小球重力势能的增加量为 可知转动过程中，系统的重力势能不变，故系统的动能不变，两个小球都做匀速圆周运动，则无论大小为多少，球均能做完整的圆周运动，故A错误，B正确； CD．若球运动到最高点时，对球有 解得 即杆和球间的作用力为零，对B球，根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律可知，B球对杆有向下的作用力，则转轴对轻杆的作用力大小为，故C正确，D错误。 故选BC。 14．如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，则（    ） A．小球通过最高点A时的速度 B．小球通过最高点A时的速度 C．小球通过最高点A时，细线对小球的拉力T=0 D．小球通过最高点A时，细线对小球的拉力T=mgsin θ 【答案】AC 【详解】小球在斜面上做圆周运动的等效重力为 恰好通过最高点A时，只有等效重力提供向心力，故此时有 解得 故选AC。 15．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）如图所示，倾斜圆盘圆心处固定有与盘面垂直的细轴，盘面上沿同一直径放有质量均为m的A、B两物块（可视为质点），两物块分别用两根平行圆盘的不可伸长的轻绳与轴相连，A、B两物块与轴的距离分别为3d和d，两物块与盘面的动摩擦因数相同，盘面与水平面夹角为。当圆盘以角速度匀速转动时，物块A、B始终与圆盘保持相对静止。当物块A转到最高点时，两根绳子拉力均为零，且A、B所受摩擦力均刚好等于最大静摩擦力。已知重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（    ） A． B． C．运动过程中绳子对A拉力的最大值为 D．运动过程中B所受摩擦力最小值为 【答案】AC 【详解】A．当物块A转到最高点时，两根绳子拉力均为零，且A、B所受摩擦力均刚好等于最大静摩擦力；A在最高点，由牛顿第二定律得 B在最低点，由牛顿第二定律得 联立解得 ， 故A正确，B错误； C．运动过程中，当A到最低点时，所需的拉力最大，设为，由牛顿第二定律得 解得 故C正确； D．运动过程中，当B到最高点时，由于 可知B的重力分力刚好提供所需的向心力，所以B所受摩擦力最小值为0。故D错误。 故选AC。 16．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，半径为的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴重合，转台以一定角速度匀速旋转。甲、乙两个小物块（可视为质点）质量均为，分别在转台的两处随陶罐一起转动且始终相对罐壁静止，与间的夹角分别为和，重力加速度为。当转台的角速度为时，小物块甲受到的摩擦力恰好为零，下列说法正确的是（　　） A． B．当转台的角速度为时，乙有上滑的趋势 C．当角速度从缓慢增加到的过程中，乙受到的支持力一直增大 D．当角速度从缓慢增加到的过程中，乙受到的摩擦力一直增大 【答案】AC 【详解】A．设陶罐内壁对物块甲的支持力为F1，则有 ， 解得 故A正确； B．设当转台的角速度为时，物块乙受到的摩擦力恰好为零，设此时支持力为F2，则有 ， 解得 所以当转速为时，支持力的分力大于提供物块所需要的向心力，物块必然受到一个沿内壁切线向上的静摩擦力，即物块乙有下滑的趋势，故B错误； D．由于 ， 所以当角速度从，缓慢增加到的过程中，物块乙一开始具有下滑的趋势，到最后具有上滑的趋势，所受的摩擦力方向发生了变化，其大小先减小再增大，故D错误； C．摩擦力沿着陶罐内壁的切线方向，把它沿着水平和竖直方向进行分解；当角速度从缓慢增加到的过程中，摩擦力在沿着切线向上的方向上逐渐减小到零并反向增大，由于物块竖直方向上所受合力为零，则由沿切线向上时 沿切线向下时 可知，物块乙受到的支持力一直在增大，故C正确。 故选AC。 17．（2024·安徽·一模）如图所示，水平转台上的小物体1、2通过轻质细线相连，质量分别为m、2m。保持细线伸直且恰无张力，并静止在转台上，可绕垂直转台的中心轴OO′转动。两物体与转台表面的动摩擦因数相同均为μ，最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力。两物体与轴O共线且物体1到转轴的距离为r，物体2到转轴的距离为2r，重力加速度为g。当转台从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，针对这个过程，求解下列问题： (1)求轻绳刚有拉力时转台的角速度； (2)求当转台角速度为时，物体1受到的摩擦力； (3)求当物体1和物体2均被甩离转台时的角速度。 【答案】(1) (2)0 (3) 【详解】（1）轻绳刚有拉力时，物体2与转盘间的摩擦力达到最大静摩擦力，由牛顿第二定律可得 解得 （2）圆盘角速度为 此时2与转盘间的摩擦力是最大静摩擦力，则对2有 对1有 解得 （3）当圆盘转动的角速度大于时，物体2与转盘间的摩擦力仍为最大静摩擦力，但物体1所受的摩擦力沿半径向外，且随着角速度的增大，摩擦力不断增大，当物体1和物体2均被甩离转台时，物体1所受的摩擦力达到最大值，根据牛顿第二定律可得 解得 18．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，半径为的水平转盘绕竖直轴OO '转动，水平转盘中心O处有一光滑小孔，用长为的细线穿过小孔将质量分别为、的小球A和小物块B连接。现让小球A和水平转盘各以一定的角速度在水平面内转动，小物块B与水平转盘间的动摩擦因数，且始终处于转盘的边缘处与转盘相对静止。重力加速度。 (1)若小球A的角速度，求细线与竖直方向的夹角θ； (2)在满足（1）中的条件下，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求水平转盘角速度ω2的取值围。 【答案】(1)37° (2) 【详解】（1）对A根据牛顿第二定律得 解得 （2）当水平转盘的角速度最大时，根据牛顿第二定律得 解得 当水平转盘的角速度最小时，根据牛顿第二定律得 解得 水平转盘角速度ω2的取值围 19．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）“太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材。做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，球却不会掉落到地上。现将太极球简化成如图甲所示的平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动到图中的A、B、C、D位置时球与板间无相对运动趋势。A为圆周的最高点，C为最低点，B、D与圆心O等高。设球的重力为1N，不计拍的重力，求： (1)健身者在C处所需施加的力比在A处大多少？ (2)设在A处时健身者需施加的力为F，当球运动到B、D位置时，板与水平方向需有一定的夹角，请寻找B、D处与A处F的函数关系，并在图乙中作出的函数图像。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）设球运动的线速度大小为，半径为，在A处，根据牛顿第二定律 在C处，根据牛顿第二定律 健身者在C处所需施加的力比在A处大 （2）在A处时板对小球的作用力为F，球做匀速圆周运动的向心力 由于无相对运动趋势，在B处不受摩擦力作用，根据牛顿第二定律 联立可得 作出的函数图像如图所示 20．（23-24高一下·福建福州·期末）电动打夯机可以用来平整地面。如图为某小型电动打夯机的结构示意图，质量为m的摆锤通过轻杆与总质量为M的底座（含电动机）上的转轴相连，电动机通过皮带传动，使摆锤绕转轴O在竖直面内以角速度匀速转动，转动半径为R。已知打夯机底座始终没有离开地面。求： （1）摆锤在最低点和最高点时打夯机对地面的压力差； （2）要使第（1）问压力差达到最大，求：打夯机角速度的值和压力差的最大值。 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）当摆锤转到顶端时，轻杆对摆锤的作用力大小为，有 对打夯机有 当摆锤转到底端时，轻杆对摆锤的作用力大小为，有 对打夯机有 故 联立解得 （2）当底座刚好对地面无压力，打夯机转动的角速度达到最大，有 解得角速度为 代入 得 21．（23-24高一下·河南郑州·期末）调速器可用来控制电机的转速，其简化结构如图所示。圆柱形外壳的中心转轴随电动机旋转，轴上两侧各有一轻质细杆，其上端与中心转轴在O点以铰链相接，铰链固定在上下表面圆心连线的中点，下端各有一个质量的大小不计的摆锤，两细杆与中心转轴恒在同一平面，当外壳受到摆锤压力时通过传感器传递电动机转速过大或过小的信息。已知圆柱形上下表面半径、高，细杆长，圆桶表面光滑，g=10m/s2。 （1）当细杆与竖直方向夹角为45°时，求杆对摆锤的作用力大小： （2）当转动的角速度时，摆锤与外壳底面接触，求外壳底面受到的压力大小； （3）求摆锤与外壳不接触的角速度范围。 【答案】（1）；（2）7.2N；（3） 【详解】（1）为细杆与竖直方向的夹角，杆对摆锤的作用力满足 解得 （2）当转动的角速度时，底面对任意一个小球的支持力满足 根据几何关系有 解得 由牛顿第三定律得，外壳底面受到任意一个小球的压力大小为3.6N，外壳底面受到的压力大小为7.2N。 （3）摆锤与外壳不接触的情况下，满足 恰与地面接触时，根据几何关系有 解得 恰与侧面接触时，根据几何关系有 ， 解得 综上所述，摆锤与外壳不接触的角速度范围为 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4 生活中的圆周运动 【目标导航】 2 【教材详解】 2 知识点1：火车转弯 2 知识点2：汽车转弯 4 知识点3：拱形桥和凹形路面 5 知识点4：竖直平面内绳（或杆）约束的圆周运动 5 知识点5：航天器中的失重现象 7 知识点6：离心运动 8 【经典题型】 9 题型01 有关向心力的简单分析与计算 9 题型02 利用牛顿第二定律求解向心力 10 题型03 水平转盘上的圆周运动 11 题型04 圆锥摆问题 13 题型05 汽车转弯问题 14 题型06 圆周运动中的突变问题 15 题型07 物体做离心运动和向心运动的条件 17 题型08 火车倾斜转弯问题 18 题型09 绳类模型及其临界问题 19 题型10 杆球类模型及其临界问题 20 题型11 拱桥和凹桥模型 21 题型12 航天器中的失重问题 22 题型13 光滑斜面上的圆周运动 23 题型14 有摩擦的倾斜转盘上的圆周运动 25 【课后巩固】 26 【基础练·强化巩固】 26 【拓展练·培优拔高】 29 课堂目标 关键词 1. 会分析生活中的各种圆周运动现象，体会模型构建的方法，会用牛顿第二定律解决生活中的圆周运动问题。 2. 知道航天器中的失重现象。 3. 知道离心运动及其产生条件，了解离心心运动的防止和应用。 ①火车转弯 ②拱形桥 凹形路面 ③失重现象 ④离心运动 知识点1：火车转弯 【问题情景】下图为火车转弯的情景，从图中能看出火车转弯时有何特点吗? (穿道半径较大，火车倾料) 1. 火车车轮的结构特点 火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上沿直线运行时，凸出轮缘的一边在两轨道的内侧，如图所示。这种结构特点，有助于火车在轨道上稳定运动(不脱轨)。 2. 火车转弯时向心力的来源 (1) 两轨道等高：火车在弯道上运动时，做圆周运动需要向心力。如图所示，如果内外轨道一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，外轨对轮缘的弹力提供火车转弯时的向心力。但火车质量太大，靠这种办法获得向心力，将会使轮缘与外轨间的相互作用力太大，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。 (2) 两轨道不等高：实际情况是在转弯处外轨略高于内轨，并根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当调整内、外轨的高度差，使转弯时所需向心力完全由重力mg和支持力F的合力提供，如图下所示。 3. 火车转弯时的速度 如上图所示，若车轨间距为L，两轨高度差为h，转弯半径为r，火车的质量为m，由三角形边角关系知，，对火车受力分析可得上，因为0角很小，可以取，故，所以向心力。 又因为，所以车速 拓展：火车以不同的速度行驶时，轮缘侧向受力情况 讨论：假设火车转弯处规定速度为，火车以不同的速度行驶时，轮缘所受侧向压力情况如下： ①当火车行驶速率时，火车相对于轨道有向外运动的趋势，轮缘对外轨有挤压，则外轨对轮缘有向内的侧压力。 ②当火车行驶速率时，火车相对于轨道有向内运动的趋势，轮缘对内轨有挤压，则内轨对轮缘有向外的侧压力。 ③当火车行驶速率时，内、外轨对轮缘均无侧压力。 知识点2：汽车转弯 1. 水平路面上行驶 如图所示，汽车在水平路面上转弯时，摩擦力提供向心力(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，即，当摩擦力达到最大值时，汽车转弯的速度达到临界值，因，则临界速度 2. 倾斜路面上行驶 倾斜路面：高速公路、赛车赛道的转弯处设计得外高内低，目的是减小由于转弯产生的摩擦力对车轮的损坏，使汽车的重力与支持力的合力提供车辆转弯时所需的向心力，如下图所示。 特别提示：曲线运动的条件 ①路面倾斜，但汽车做圆周运动的轨道面是水平的。 ② 向心力在水平面内，但摩擦力的方向与路面平行。 ③汽车在倾角为θ的路面上做半径为r的圆周运动时，若速度，路面与汽车间恰无摩擦力；当时，静摩擦力沿路面斜向下；当时，静摩擦力沿路面斜向上。 知识点3：拱形桥和凹形路面 汽车在经过拱形桥面、平直形桥面和凹形桥面时，请问：为什么在经过拱形或凹形桥面时都不宜高速行驶呢? 1. 汽车过拱形桥面 如图所示，汽车通过拱形桥最高点时，重力mg和支持力的合力提供向心力，由，得支持力，根据牛顿第三定律知，汽车对桥面的压力。 由上式可知，汽车的速度v越大，汽车对桥面的压力越小。当汽车的速率等于时，汽车对桥面的压力为0，汽车在桥顶运行的速度小于；若，汽车将从桥顶飞出做平抛运动。 2. 汽车过凹形路面 如图所示，汽车通过凹形路面最低点时，重力 mg 和支持力F的合力提供向心力，由牛顿第二定律得，解得。 根据牛顿第三定律，汽车对路面的压力，可知，汽车的速度v越大，汽车对路面的压力越大，这也是汽车通过凹形路面时容易爆胎的原因。 知识点4：竖直平面内绳（或杆）约束的圆周运动 1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类： 一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等），称为“绳（环）约束模型”； 二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管）约束模型”。 2.绳、杆模型涉及的临界问题 绳模型 杆模型 常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 受力特征 绳或圆轨道只能踢动指向圆心的力 杆或管道既能提供指向圆心的力，也能提供背离圆心的力 受力示意图 过最高点的临界条件 由得， 由小球恰能做圆周运动时，得： 讨论分析 ①若，则：，绳、轨道对小球有弹力； ②若，则 ②若，则小球不能过最高点 ①当v=0时，，FN为支持力，沿半径背离圆心 ②当时，，背离圆心，随v的增大而减小 ③当时，FN=0 ④当时，，FN指向圆心，并随v的增大而增大 特别提示 (1)轻绳模型和轻杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是轻绳不能提供支持力，而轻杆可以提供支持力。(2)对轻杆模型，在无法确定位于最高点时对物体提供的是支持力还是拉力的情况下，可用假设法列方程，然后根据结果的正负再确定力的方向。 3.非特殊情况下的圆周运动 图示 运动情况 小球先沿圆轨道滑下 小球自高处滑下后进入圆轨道 轨道特点 沿圆轨道外侧运动 沿圆轨道内侧运动 运动分析 某点时，若mgsinθ恰好提供向心力：小球在此点离开圆弧做斜下抛运动 在某位置时，若重力在指向圆心方向的分力恰好提供向心力，轨道对小球的弹力为0，此后，小球将向斜上方抛出 3. 竖直面内圆周运动问题的解题思路 知识点5：航天器中的失重现象 1. 航天器的运动特点 航天器由航天运载器发射送人宇宙空间，长期处在高真空、失重的环境中绕地球做椭圆或圆运动，如果没有特别说明，我们认为航天器的运动轨迹都是圆。大部分航天器不载人，载人航天器的轨道半径往往比较小。 2. 对失重现象的认识 航天器及航天器内的物体所受地球的作用力F完全提供向心力，都处于完全失重状态，，物体间自由状态下不会相互挤压，没有弹力。 特别提示 ①航天器中的物体处于完全失重状态，并不是说物体不受重力(引力)，只是重力全部用来提供物体做圆周运动所需的向心力，使得物体所受支持力为0，相互间的作用力为0。 ② 完全失重状态下，一切涉及重力的现象均不再发生，如天平、重垂线、体重计等无法使用。 知识点6：离心运动 如下图所示，洗衣后脱水筒绕中心轴转动，水滴会快速脱离衣物，你知道其物理原理吗? (外力不足，水滴离开原来的位置做离心运动) 1. 离心运动的概念 做圆周运动的物体，在合力突然消失或合力不足以提供所需的向心力时，物体沿切线飞出或逐渐远离圆心的运动叫作离心运动。如运动员带动链球旋转做圆周运动，松手后，链球沿切线方向抛出的情形。 2. 离心运动的实质 物体逐渐远离圆心的运动，本质是物体惯性的体现，从受力情况看是外力不足。 特别提示 ①物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于外力不足以提供所需的向心力，“离心力”是不存在的。 ②离心运动是物体运动半径越来越大或沿切线方向飞出的运动，不是物体沿半径方向飞出。 3. 合力与向心力的关系 物体在光滑的水平面上运动，物体在外力作用下的曲线运动讨论： （1） 若或，即“供”“需”平衡，物体做匀速圆周运动； （2） 若或，即“供”>“需”，物体做半径变小的向心运动； （3） 若或，即“供”<“需”，外力不足以拉到圆轨道上，而做离心运动； （4） 若，则物体沿切线方向做匀速直线运动。 题型01 有关向心力的简单分析与计算 【典例1】（23-24高一下·天津·阶段练习）相同的物块A、B叠放在一起，在水平转台上随圆盘一起匀速圆周运动且和圆盘保持相对静止，正确的是（　　） A．B所需的向心力比A大 B．图中A对B摩擦力是向左的 C．两物块所受的合力等大反向 D．圆盘对B摩擦力大小是A对B摩擦力大小的2倍 【变式1-1】（23-24高一下·广东广州·期末）如图所示，在光滑水平面上，质量为m的小球在细线的拉力作用下，以速度v做半径为r的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，小球所受向心力F的大小为（　　） A． B． C． 【变式1-2】（多选）（23-24高一下·山东菏泽·期末）如图所示，铁制圆盘用穿过圆心O的水平转轴固定在竖直面内，ac为竖直直径，bd为水平直径，可视为质点的小磁铁吸附在圆盘上的a点随圆盘一起无相对滑动地做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．在最高点a，磁铁受到的摩擦力可能为0 B．在最低点c，磁铁受到的摩擦力可能为0 C．在水平直径的左端点b，磁铁受到的摩擦力大小一定等于重力 D．在水平直径的右端点d，磁铁受到的摩擦力大小一定大于重力 题型02 利用牛顿第二定律求解向心力 【典例2】（24-25高三上·天津北辰·期中）如图所示，有一个可视为质点的质量为的小物块，从光滑平台上的点以的初速度水平飞出，到达点时，恰好沿点的切线方向进入固定在地面上的竖直圆弧轨道，圆弧轨道的半径为，点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角，不计空气阻力，取重力加速度。（，）。求： (1)、两点的高度差； (2)若小物块恰好能经过圆弧轨道最高点，求小物块经过点时的速度大小。 (3)若小物块经过圆弧轨道最低点时速度为，求小物块经过点时对轨道的压力。 【变式2-1】（24-25高三上·四川成都·期中）如图所示为一皮带传输机的示意图。传送带AB间距离L=40m，倾角θ=37°，以恒定的速度v0=4.0m/s顺时针转动。将矿物无初速地放到传送带上，矿物从A端传输到B端，再沿一段与AB相切的半径R=2.0m圆形圆管轨道（不光滑）运动，到达最高点C后水平抛出，正好落入车厢中O点，矿物落点O离最高点C的水平距离x=1.0m，竖直距离h=1.25m，设每块矿物质量m=5.0kg，矿物与传送带间的动摩擦因数μ=0.80，不计空气阻力。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2）求： (1)矿物才放上传送带时加速度的大小以及到达B点时的速度大小； (2)每块矿物到达C点时对轨道的压力。 【变式2-2】（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）在江西丰城火力发电厂，有一种将煤块制成煤粉的球磨机，其核心部件是一个半径R的躺卧圆筒。圆筒绕水平中心轴旋转，将筒内的钢球带到一定高度后，钢球脱离筒壁落下将煤块击碎，截面简化如图。设筒内仅有一个质量为m、大小不计的钢球，初始静止在最低点A。 (1)启动电机使圆筒加速转动，钢球与圆筒保持相对静止，第一次到达与圆心等高的位置B时，圆筒的角速度ω，求此时圆筒对钢球的弹力FN大小； (2)当钢球通过C点时，另一装置瞬间让钢球与圆筒分离（分离前后瞬间钢球速度不变），此后钢球仅在重力作用下落到位置D，途中没有再与圆筒内壁发生碰撞，CD连线过O点，与水平方向成45°。求分离时钢球的速度v； (3)停止工作后将圆筒洗净，内壁视为光滑。将一钢球从位置C正下方的E点由静止释放，与筒壁碰撞6次后恰好又回到E点。若所有碰撞都是弹性的（即碰撞前后沿半径方向速度大小相等方向相反，沿切线方向速度不变），求CE之间的距离d。 题型03 水平转盘上的圆周运动 【典例3】（多选）（24-25高三上·山东临沂·期中）如图所示，在一水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连的物体A和B，初始轻绳刚好拉直但无张力。小物块A、B到圆心的距离分别为、，小物块A、B的质量分别为、，小物块A、B与转盘间的动摩擦因数分别为、。已知细绳能够承受的最大张力为，超过最大张力细绳会断裂，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。某时刻圆盘转速从零缓慢增加，下列说法正确的是（　　） A．小物块A先相对转盘出现滑动 B．小物块B先相对转盘出现滑动 C．小物块B受到的摩擦力先增大后保持不变 D．当小物块B相对转盘出现滑动时，转盘的角速度 此时B受到的静摩擦力为 所以，可知该过程中，物块B受到的静摩擦力逐渐增大；当圆盘的角速度再继续增大时，绳子有张力产生，对A有 对B有 【变式3-1】（多选）（24-25高三上·海南·期中）如图，半径为r的水平圆盘绕过盘心的竖直轴匀速转动，盘面上距转轴的位置有一可视为质点的小物体相对圆盘静止。某时刻圆盘突然停止转动，经时间t小物体滑至圆盘边缘恰好停下，则（　　） A．小物体运动的位移大小为 B．小物体运动的位移大小为 C．圆盘转动的角速度为 D．圆盘转动的角速度为 【变式3-2】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮A和B水平放置，两轮半径满足．当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上。若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，则木块距B轮转轴的最大距离为（　　） A． B． C． D． 题型04 圆锥摆问题 【典例4】（24-25高一上·山东·期中）如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时（　　） A．角速度 B．角速度 C．角速度 D．角速度 【变式4-1】（多选）如图所示，足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆，原长为L的轻质弹簧套在竖直杆上，质量均为m的光滑小球A、B用长为L的轻杆及光滑铰链相连，小球A穿过竖直杆置于弹簧上。让小球B以不同的角速度ω绕竖直杆匀速转动，当转动的角速度为ω0时，小球B刚好离开台面。弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为k，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．小球均静止时，弹簧的长度为 B．角速度ω=ω0时，小球A对弹簧的压力为mg C．角速度 D．角速度从ω0继续增大的过程中，小球A对弹簧的压力不变 【变式4-2】（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）长为L的细线，一端系一质量为m的小球（可视为质点），另一端固定在悬点O1，让小球在水平面内做匀速圆周运动形成圆锥摆，如图所示，若摆线与竖直方向夹角为θ，求： (1)求摆线对小球的拉力大小； (2)小球运动的向心加速度大小； (3)生活经验告诉我们，在线长一定的情况下，角速度越大则绳与竖直方向的夹角也越大（小于90度）。 题型05 汽车转弯问题 【典例5】（24-25高二上·浙江·期中）为了使汽车快速安全通过弯道，高速公路转弯处的路面通常设计成外侧高、内侧低。已知某高速公路转弯处是一圆弧，圆弧半径r=850m，路面倾角θ=6°（tan6°=0.105），汽车与路面的摩擦因数μ=0.6，则在该弯道处（　　） A．汽车受到重力、支持力和向心力 B．汽车所需的向心力等于其所受地面的支持力 C．当汽车速度等于120km/h时，汽车会受到平行于路面指向弯道内侧的摩擦力 D．若汽车速度小于60km/h，汽车会向内侧滑动 【变式5-1】（多选）（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）如图所示，一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是（　　） A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.0×104 N C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑 D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2 【变式5-2】（23-24高一下·陕西渭南·期末）当我们骑自行车在水平地面转弯时，自行车与竖直方向有一定的夹角才不会倾倒。某同学查阅有关资料得知，只有当水平地面对自行车的支持力和摩擦力的合力方向与自行车的倾斜方向相同时自行车才不会倾倒。若该运动员骑自行车时的速率为10m/s，转弯的半径为12m，重力加速度g取。则自行车与竖直方向的夹角的正切值为（　　） A． B． C． D．1 题型06 圆周运动中的突变问题 【典例6】（23-24高一下·上海·阶段练习）如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质相等的两物体A和B，它们与盘间的摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好没有发生滑动时，烧断细线，则两物体的运动情况将是（　　） A．两物体均沿切线方向滑动 B．两物体均沿半径方向滑动，远离圆心 C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会滑动 D．物体A仍随圆盘做匀速圆周运动，物体B沿曲线运动，远离圆心 【变式6-1】如图所示，两个可视为质点的、相同的木块a和b放在水平转盘上，两者用细线连接，两木块与转盘间的动摩擦因数相同，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，且木块a，b与转盘中心在同一条水平直线上。当圆盘转动到两木块刚好还未发生滑动时，烧断细线，关于两木块的运动情况，以下说法正确的是（　　） A．两木块仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动 B．木块b发生滑动，离圆盘圆心越来越近 C．两木块均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远 D．木块a仍随圆盘一起做匀速圆周运动 【变式6-2】（2023·河北张家口·三模）如图所示，足够大光滑的桌面上有个光滑的小孔O，一根轻绳穿过小孔两端各系着质量分别为m1和m2的两个物体，它们分别以O、O′点为圆心以相同角速度做匀速圆周运动，半径分别是r1、r2，m1和m2到O点的绳长分别为l1和l2，下列说法正确的是（　　）    A．m1和m2做圆周运动的所需要的向心力大小相同 B．剪断细绳，m1做匀速直线运动，m2做自由落体运动 C．m1和m2做圆周运动的半径之比为 D．m1和m2做圆周运动的绳长之比为 题型07 物体做离心运动和向心运动的条件 【典例7】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）物理来源于生活，也可以解释生活。对于如图所示生活中经常出现的情况，分析正确的是（　　） A．图甲中小球在水平面做匀速圆周运动时，轨道半径为L，重力与拉力合力提供向心力 B．图乙中物体随水平圆盘一起做圆周运动时，一定受到指向圆盘圆心的摩擦力 C．图丙中汽车过拱桥最高点时，速度越大，对桥面的压力越小 D．图丁中若轿车转弯时速度过大发生侧翻，是因为受到的离心力大于向心力 【变式7-1】（23-24高一下·山东济南·期末）如图所示，将湿透的雨伞水平匀速旋转，保持伞边缘到水平地面的高度一定，水滴自雨伞边缘被甩出，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．雨伞转得越快，水滴落地的时间就越长 B．水滴离开伞边缘后将沿切线方向做直线运动 C．水滴在空中运动过程中，其速度方向与水平方向的夹角越来越大 D．水滴沿雨伞边缘的切线方向被甩出是因为水滴受到离心力的作用 【变式7-2】（多选）（23-24高一下·浙江宁波·期末）下列关于教材中的四幅插图说法正确的是（　　） A．甲中汽车通过凹形路面时，汽车需减速，这样可以减少对桥的压力 B．乙中汽车在水平面内转弯时，由地面的滑动摩擦力提供转弯所需的向心力 C．丙中在铁路转弯处的外轨比内轨高，可以减轻转弯时火车外侧轮缘与轨道的挤压 D．丁中洗衣机脱水桶脱水的原因是水滴受到的离心力大于它受到的向心力 题型08 火车倾斜转弯问题 【典例8】（24-25高三上·江苏·阶段练习）随着交通的发展，旅游才真正变成一件赏心乐事，各种“休闲游”“享乐游”纷纷打起了宣传的招牌。某次旅游中游客乘坐列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道过程中，游客发现车厢顶部悬挂玩具小熊的细线稳定后与车厢侧壁平行，同时观察放在桌面(与车厢底板平行)上水杯内的水面，已知此弯道路面的倾角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．列车的轮缘与轨道无侧向挤压作用 B．列车转弯过程中的向心加速度为gtan θ，方向与水平面的夹角为θ C．水杯与桌面间有静摩擦力 D．水杯受到桌面的支持力与水杯的重力是一对平衡力 【变式8-1】（24-25高三上·天津南开·期中）钢架雪车是一项精彩刺激的冬奥会比赛项目，运动员从起跑区推动雪车起跑后俯卧在雪车上，经出发区、滑行区和减速区等一系列直道、弯道后到达终点，用时少者获胜。图（a）是比赛中一名运动员通过滑行区某弯道时的照片。假设可视为质点的运动员和车的总质量为m，其在弯道P处做水平面内圆周运动可简化为如图（b）所示模型，车在P处的速率为v，弯道表面与水平面成角，此时车相对弯道无侧向滑动，不计摩擦阻力和空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．在P处车对弯道的压力大小为 B．在P处运动员和车的向心加速度大小为 C．在P处运动员和车做圆周运动的半径为 D．若雪车在更靠近轨道内侧的位置无侧滑通过该处弯道，则速率比原来大 【变式8-2】（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）某次旅游中游客乘坐列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道过程中，发现车顶部悬挂玩具小熊的细线稳定后与车厢侧壁平行。与车厢底板平行的桌面上有一水杯，已知水杯与桌面间的动摩擦因数，水杯与水的总质量m，水平圆弧形弯道半径R，此弯道路面的倾角为θ，重力加速度为g，不计空气阻力，求： （1）列车转弯过程中的向心加速度大小； （2）列车转弯过程中，水杯与桌面间的摩擦力。 题型09 绳类模型及其临界问题 【典例9】（24-25高一上·河北邯郸·期末）如图所示，桌面上放置一内壁光滑的固定竖直圆环轨道，质量为M，半径为R。可视为质点的小球在轨道内做圆周运动，其质量为m。小球在轨道最高点的速度大小为，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　） A．当时，轨道对小球无支持力 B．当时，轨道对桌面的压力为 C．小球做圆周运动的过程中，合外力提供向心力 D．小球在最高点时处于超重状态 【变式9-1】（24-25高一上·浙江·期中）杂技表演水流星如图所示，一根绳系着盛水的杯子，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做变速圆周运动，已知轨迹半径为r = 0.4 m，水的质量200 g，杯子的质量50 g，绳子质量不计，重力加速度g = 10 m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．杯子运动到最高点时，水恰好不流出，则最高点速度大小为4 m/s B．当杯子运动到最高点N时速度大小为6 m/s时，水对杯子的弹力大小为16 N，方向竖直向下 C．杯子在下降过程速度变大，合力沿轨迹切线方向的分力与速度同向 D．杯子在最低点M时处于受力平衡状态 【变式9-2】（多选）（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系图像如图乙所示。图像中的数据a和b，包括重力加速度g都为已知量，假设小球质量为，则以下说法正确的是（　　） A． B． C． D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨迹半径 题型10 杆球类模型及其临界问题 【典例10】（22-23高一下·四川攀枝花·期末）如图所示，长为0.4m的轻质杆OP的P端与质量为0.2kg、可视为质点的小球相连，小球以轻质杆的O端为圆心在竖直平面内做圆周运动。小球通过最高点时的速率为3m/s，重力加速度g取10m/s2，则此时轻杆受到的作用力为（　　） A．2.5N的拉力 B．2.5N的压力 C．4.5N的拉力 D．4.5N的压力 【变式10-1】如图所示，一小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，轨道半径为R，小球的直径略小于管道的直径，重力加速度为g，则小球（　　） A．可能做匀速圆周运动 B．通过最高点时的最小速度为 C．通过最低点时受到的弹力向上 D．在运动一周的过程中可能一直受到内侧管壁的弹力 【变式10-2】（多选）（24-25高三上·北京西城·期中）如图，半径为的圆形光滑轨道置于竖直平面内，一金属小环套在轨道上可以自由滑动，已知重力加速度为，下列说法正确的是（   ） A．要使小环做完整的圆周运动，小环在最低点的速度应大于 B．要使小环做完整的圆周运动，小环在最低点的加速度应大于 C．如果小环在最高点时速度大于，则小环受到的弹力方向指向圆形轨道的圆心 D．小环运动到最低点时对轨道压力一定大于重力 题型11 拱桥和凹桥模型 【典例11】（24-25高二上·安徽·开学考试）如图所示，一辆汽车以恒定速率通过圆弧拱桥，N为桥面最高处，则汽车（　　） A．在N处所受支持力大小小于其重力，从M到N过程所受支持力逐渐增大 B．在N处所受支持力大小小于其重力，从M到N过程所受支持力逐渐减小 C．在N处所受支持力大小大于其重力，从M到N过程所受支持力逐渐增大 D．在N处所受支持力大小大于其重力，从M到N过程所受支持力逐渐减小 【变式11-1】（24-25高三上·陕西西安·期中）如图所示，一辆质量为m的汽车先过一段凹形桥，再过一段拱形桥，M、N分别为桥的最低点和最高点，且汽车通过M、N两点时的速度均不为0。汽车在通过两种桥面的过程中均未脱离桥面，下列说法正确的是（　　） A．汽车通过M点时处于失重状态 B．汽车通过M点时的加速度可能为0 C．汽车通过N点时，无论速度多大，对桥面始终有压力 D．汽车通过N点时对桥面的压力一定比通过M点时对桥面的压力小 【变式11-2】（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）如图所示一辆质量为1t的汽车静止在半径为50m的圆弧形拱桥顶部（g = 10m/s2），求： (1)此时汽车对圆弧形拱桥的压力是多大； (2)如果汽车以10m/s的速度经过拱桥的顶部，则圆弧形拱桥对汽车的支持力多大； (3)汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零。 题型12 航天器中的失重问题 【典例12】（22-23高三下·上海嘉定·阶段练习）2022年我国航天员在空间站太空舱开设“天宫课堂”，课堂演示了“水油分离”实验。如图所示，用细绳系住装有水和油的瓶子，手持细绳的另一端，使瓶子在竖直平面内做圆周运动，则（　　） A．只要瓶子有速度，就能通过圆周的最高点，水油分离后，水在外侧 B．只要瓶子有速度，就能通过圆周的最高点，水油分离后，油在外侧 C．瓶子的速度需大于某一值才能通过圆周的最高点，水油分离后，水在外侧 D．瓶子的速度需大于某一值才能通过圆周的最高点，水油分离后，油在外侧 【变式12-1】如图，在轨运行的空间站内宇航员将小球用不可伸长的细线系住，细线另一端系在固定支架上O点处，进行如下两次操作，第一次操作：拉开细线一个小角度后由静止释放小球；第二次操作：拉直细线给小球一个垂直于细线的速度，则 A．第一次操作中，小球绕O点做往复运动 B．第一次操作中，小球朝向O点做直线运动 C．第二次操作中，小球绕O点做匀速圆周运动 D．第二次操作中，小球相对O点做匀变速曲线运动 【变式12-2】在绕地球的圆形轨道上飞行的航天飞机上，将质量为m的物体挂在一个弹簧秤上，若轨道处的重力加速度为g'，则下面说法中正确的是( 　　) A．物体所受的合外力为mg'，弹簧秤的读数为零 B．物体所受的合外力为零，弹簧秤的读数为mg' C．物体所受的合外力为零，弹簧秤的读数为零 D．物体所受的合外力为mg'，弹簧秤的读数为mg' 题型13 光滑斜面上的圆周运动 【典例13】（多选）如图甲所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，细线一端与可看成质点的质量为m的小球相连，另一端穿入小孔O与力传感器（位于斜面体内部）连接，传感器可实时记录细线拉力大小及扫过的角度。初始时，细线水平，小球位于小孔O的右侧，现敲击小球，使小球获得一平行于斜面向上的初速度，此后传感器记录细线拉力T的大小随细线扫过角度的变化图像如图乙所示，图中已知，小球到O点距离为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球位于初始位置时的加速度为 B．小球通过最高点时速度为 C．小球通过最高点时速度为 D．小球通过最低点时速度为 【变式13-1】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）如图所示， 光滑斜面的倾角θ=37°， 有一细线长l=0.24m， 细线一端固定于O点， 另一端拴一质量为0.2kg的小球，小球可视为质点。小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，最高点为A，最低点为B，重力加速度g取1 则 (1)小球通过最高点A时的速度 m/s； (2)已知O点到斜面底边的距离Soc=L，小球运动到A点时剪断细线，滑落到斜面底边时到C点的距离为，小球运动到B 点时剪断细线，滑落到斜面底边时到C点的距离为， 若， 则= 。    【变式13-2】（23-24高一下·山西太原·期中）如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，长度为L的轻绳一端固定在O点，另一端拴连质量为m的小球。小球在最低点A获得初速度v，并开始在斜面上做圆周运动，小球可通过最高点B．重力加速度大小为g，轻绳与斜面平行，不计一切摩擦。下列选项正确的是（　　） A．小球通过B点时，轻绳的弹力可能为0 B．小球通过B点时，最小速度为 C．小球通过A点时，轻绳的弹力可能为0 D．小球通过A点时，斜面对小球的支持力与小球的速度无关 题型14 有摩擦的倾斜转盘上的圆周运动 【典例14】（23-24高一下·河南·期末）与水平面成30°角的圆盘绕转轴转动的角速度为，质量为m的物块（可视为质点）到转轴的距离为r，随圆盘一起转动（相对于盘面静止）。如图所示，P点是物块运动的轨迹圆上的最高点，Q点是物块运动的轨迹圆上的最低点，重力加速度大小为g，物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．物块经过Q点时受到的静摩擦力大小为 B．物块经过 P 点时受到的静摩擦力大小为 C．物块与盘面间的动摩擦因数可能为 D．若圆盘的角速度继续缓慢增大，则物块最容易与圆盘发生相对滑动的位置为Q点 【变式14-1】（23-24高一下·河北·期末）一倾角为的圆盘绕垂直盘面的轴以大小为的角速度匀速转动，盘面上有一个离转轴距离为r、质量为m的物块（可视为质点）随圆盘一起转动（相对于盘面静止）。如图所示，P点是物块运动的轨迹圆上的最高点，Q点是物块运动的轨迹圆上的最低点，重力加速度大小为g，物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（    ） A．物块经过Q点时受到的静摩擦力大小为 B．物块经过P点时受到的静摩擦力大小为 C．物块与盘面间的动摩擦因数可能为 D．若圆盘的角速度继续缓慢增大，则物块最容易与圆盘发生相对滑动的位置为Q点 【变式14-2】（23-24高一下·山东泰安·期末）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与之间的夹角θ为60°，重力加速度为g。 （1）求转台转动的角速度； （2）若改变转台的角速度，当时，小物块仍与罐壁相对静止，求此时小物块受到的摩擦力的大小和方向。 【基础练·强化巩固】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）空中飞椅深受年轻人的喜爱，飞椅的位置不同，感受也不同，关于飞椅的运动，下列说法正确的是（　　） A．乘坐飞椅的所有爱好者一起做圆周运动，最外侧的飞椅角速度最大 B．缆绳一样长，悬挂点在最外侧的飞椅与悬挂在内侧的飞椅向心加速度大小相等 C．飞椅中的人随飞椅一起做圆周运动，受重力、飞椅的支持力与向心力 D．不管飞椅在什么位置，缆绳长短如何，做圆周运动的飞椅角速度都相同 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则（　　） A．物块始终受到三个力作用 B．物块受到的合外力始终指向圆心 C．在c、d两个位置，物块所受支持力N相同，摩擦力f为零 D．在a、b两个位置，物块所受摩擦力提供向心力，支持力 3．（24-25高一下·全国·课后作业）在2022年3月23日天宫课堂中，航天员老师利用手摇离心机将水油分离。天宫课堂中航天员的手摇离心机可简化为如图在空间站中手摇小瓶做匀速圆周运动的模型，假设小瓶（包括小瓶中的油和水）的质量为m，P为小瓶的重心，细线的长度（忽略小瓶的大小）为L，小瓶在t时间内转动了n圈，当小瓶转动到竖直平面内最高点时，细线中的拉力为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏·阶段练习）旋转餐桌的水平桌面上，一个质量为m的茶杯（视为质点）到转轴的距离为r，茶杯与旋转桌面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，餐桌带着茶杯以相同转速一起匀速转动时，茶杯与餐桌没有发生相对滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．若减小餐桌的转动转速，则茶杯与餐桌可能发生相对滑动 B．一起匀速转动时茶杯有沿切线方向滑出去的趋势 C．让餐桌加速转动，茶杯与餐桌仍保持相对静止，则茶杯受到的摩擦力的方向指向餐桌的中心 D．将茶杯中的水倒出后仍放在原位置，以相同的转速匀速转动餐桌，茶杯与餐桌仍保持相对静止 5．（22-23高一下·四川成都·期末）关于生活中的圆周运动，下列说法正确的是（    ）    A．如图甲，物体随水平圆盘匀速转动时，受到重力、支持力、摩擦力和向心力作用 B．如图乙，物体在水平面上做圆周运动，若在Ａ点运动轨迹突然发生改变而沿虚线运动，则一定是因为物体的速度突然变大了 C．如图丙，火车转弯时，为避免轮缘与内外轨发生侧向变压，倾角应根据火车的质量设计 D．如图丁，小球在竖直放置的圆形轨道内侧做圆周运动，过最低点Ｃ时小球对轨道的压力最大 6．（24-25高一下·全国·期中）如图甲是滚筒洗衣机滚筒的内部结构，内筒壁上有很多光滑的突起和小孔。洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动，如图乙所示a、b、c、d分别为一件小衣物（可理想化为质点）随滚筒转动过程中经过的四个位置，a为最高位置，c为最低位置，b、d为与滚筒圆心等高的位置。下面说法正确的是（    ） A．衣物在四个位置加速度大小相等 B．衣物对滚筒壁的压力在a位置比在c位置的大 C．衣物转到a位置时的脱水效果最好 D．衣物在b位置受到的摩擦力和在d位置受到的摩擦力方向相反 7．（23-24高一下·福建福州·期末）如图所示，火车在倾斜的轨道上匀速转弯，弯道的倾角为θ，半径为r，重力加速度为g，则火车转弯时外侧车轮轮缘不对外轨产生挤压的最大速率是（设转弯半径水平）（　　） A． B． C． D． 【拓展练·培优拔高】 8．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）杂技表演水流星如图所示，一根绳系着盛水的杯子，随着演员的抡动，杯子就在竖直平面做圆周运动，已知轨迹半径为，水的质量200g，杯子的质量50g，绳子质量不计，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．杯子运动到最高点时，水刚好不落下，则最高点速度为 B．当杯子到最高点速度为时，则水对杯子的弹力大小为16N，方向竖直向下 C．杯子在运动过程中做的是变速圆周运动，沿圆周下降过程速度增加是因为合力沿切线方向的分力与速度同向 D．杯子在最低点时处于超重状态 9．（23-24高一下·辽宁大连·期末）关于下列四幅图说法正确的是（　　） A．如图甲，汽车通过拱桥的最高点时速度越大，对桥面压力越大 B．如图乙，小球在水平面内做匀速圆周运动过程中所受的合外力不变 C．如图丙，水平路面上转弯的汽车，若超速行驶可能发生离心现象 D．如图丁，火车转弯时小于规定速度行驶时，外轨会对轮缘有挤压作用 10．（23-24高一下·辽宁大连·期中）如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．轻质绳长为 B．当时，轻质绳的拉力大小为 C．小球在最低点受到的最小拉力为 D．若把轻绳换成轻杆，则从最高点由静止转过的过程中杆始终对小球产生支持力 11．（24-25高一下·全国·单元测试）将“太极球”简化成如图所示的球拍和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离球拍而做匀速圆周运动，且在运动到图中的A、B、C、D位置时球与球拍间无相对运动趋势。A为圆周的最高点，C为最低点，B、D与圆心O等高且在B、D处球拍与水平面夹角为。设球的质量为m，圆周的半径为R，重力加速度为g，不计球拍的重力，若运动到最高点时球拍与小球之间作用力恰为，则下列说法正确的是（　　） A．圆周运动的周期为 B．圆周运动的周期为 C．在B、D处球拍对球的作用力大小为 D．在B、D处球拍对球的作用力大小为 12．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，圆弧半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置在水平地面上，两个质量均为m的小球A、B以不同的速度进入管内（小球直径略小于半圆管横截面直径），A通过最高点C时，对管壁上部压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁上下部均无压力，则关于小球A通过最高点C时的速度vA及A、B两球落地点间的距离x，下列选项中正确的是（　　）（重力加速度大小为g） A．x=R B．x=2R C． D． 13．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，长为的轻杆两端分别固定着可以视为质点的小球，系统置于竖直平面内，且杆可绕过点的水平固定轴在竖直面内无摩擦转动，已知的质量分别为，当小球位于最低点时给系统一初始角速度，重力加速度为，不计一切阻力，则（　　） A．只有大于某临界值，系统才能做完整的圆周运动 B．无论大小为多少，球均能做完整的圆周运动 C．若球运动到最高点时，杆对球的作用力为零 D．若，当球运动到最高点时，转轴对轻杆的作用力大小为 14．如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，则（    ） A．小球通过最高点A时的速度 B．小球通过最高点A时的速度 C．小球通过最高点A时，细线对小球的拉力T=0 D．小球通过最高点A时，细线对小球的拉力T=mgsin θ 15．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）如图所示，倾斜圆盘圆心处固定有与盘面垂直的细轴，盘面上沿同一直径放有质量均为m的A、B两物块（可视为质点），两物块分别用两根平行圆盘的不可伸长的轻绳与轴相连，A、B两物块与轴的距离分别为3d和d，两物块与盘面的动摩擦因数相同，盘面与水平面夹角为。当圆盘以角速度匀速转动时，物块A、B始终与圆盘保持相对静止。当物块A转到最高点时，两根绳子拉力均为零，且A、B所受摩擦力均刚好等于最大静摩擦力。已知重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（    ） A． B． C．运动过程中绳子对A拉力的最大值为 D．运动过程中B所受摩擦力最小值为 16．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，半径为的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴重合，转台以一定角速度匀速旋转。甲、乙两个小物块（可视为质点）质量均为，分别在转台的两处随陶罐一起转动且始终相对罐壁静止，与间的夹角分别为和，重力加速度为。当转台的角速度为时，小物块甲受到的摩擦力恰好为零，下列说法正确的是（　　） A． B．当转台的角速度为时，乙有上滑的趋势 C．当角速度从缓慢增加到的过程中，乙受到的支持力一直增大 D．当角速度从缓慢增加到的过程中，乙受到的摩擦力一直增大 17．（2024·安徽·一模）如图所示，水平转台上的小物体1、2通过轻质细线相连，质量分别为m、2m。保持细线伸直且恰无张力，并静止在转台上，可绕垂直转台的中心轴OO′转动。两物体与转台表面的动摩擦因数相同均为μ，最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力。两物体与轴O共线且物体1到转轴的距离为r，物体2到转轴的距离为2r，重力加速度为g。当转台从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，针对这个过程，求解下列问题： (1)求轻绳刚有拉力时转台的角速度； (2)求当转台角速度为时，物体1受到的摩擦力； (3)求当物体1和物体2均被甩离转台时的角速度。 18．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，半径为的水平转盘绕竖直轴OO '转动，水平转盘中心O处有一光滑小孔，用长为的细线穿过小孔将质量分别为、的小球A和小物块B连接。现让小球A和水平转盘各以一定的角速度在水平面内转动，小物块B与水平转盘间的动摩擦因数，且始终处于转盘的边缘处与转盘相对静止。重力加速度。 (1)若小球A的角速度，求细线与竖直方向的夹角θ； (2)在满足（1）中的条件下，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求水平转盘角速度ω2的取值围。 19．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）“太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材。做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，球却不会掉落到地上。现将太极球简化成如图甲所示的平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动到图中的A、B、C、D位置时球与板间无相对运动趋势。A为圆周的最高点，C为最低点，B、D与圆心O等高。设球的重力为1N，不计拍的重力，求： (1)健身者在C处所需施加的力比在A处大多少？ (2)设在A处时健身者需施加的力为F，当球运动到B、D位置时，板与水平方向需有一定的夹角，请寻找B、D处与A处F的函数关系，并在图乙中作出的函数图像。 20．（23-24高一下·福建福州·期末）电动打夯机可以用来平整地面。如图为某小型电动打夯机的结构示意图，质量为m的摆锤通过轻杆与总质量为M的底座（含电动机）上的转轴相连，电动机通过皮带传动，使摆锤绕转轴O在竖直面内以角速度匀速转动，转动半径为R。已知打夯机底座始终没有离开地面。求： （1）摆锤在最低点和最高点时打夯机对地面的压力差； （2）要使第（1）问压力差达到最大，求：打夯机角速度的值和压力差的最大值。 21．（23-24高一下·河南郑州·期末）调速器可用来控制电机的转速，其简化结构如图所示。圆柱形外壳的中心转轴随电动机旋转，轴上两侧各有一轻质细杆，其上端与中心转轴在O点以铰链相接，铰链固定在上下表面圆心连线的中点，下端各有一个质量的大小不计的摆锤，两细杆与中心转轴恒在同一平面，当外壳受到摆锤压力时通过传感器传递电动机转速过大或过小的信息。已知圆柱形上下表面半径、高，细杆长，圆桶表面光滑，g=10m/s2。 （1）当细杆与竖直方向夹角为45°时，求杆对摆锤的作用力大小： （2）当转动的角速度时，摆锤与外壳底面接触，求外壳底面受到的压力大小； （3）求摆锤与外壳不接触的角速度范围。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$