第七章相交线与平行线证明题专题训练 2024-2025学年人教版（2024）七年级下册数学知识点讲解及专项提升

· 2024-2025学年人教版(2024)七年级下册数学第七单元相交线与平行线证明题专题训练 知识点： 一、平行 1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b。 2、平行公理（平行线的存在性与唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。即，∵b∥a，c∥a∴b∥c 二、两直线平行的判定方法: （1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简称：同位角相等，两直线平行。 （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简称：内错角相等，两直线平行 （3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称：同旁内角互补，两直线平行 几何符号语言： ∵ ∠3＝∠2 ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行） ∵ ∠1＝∠2 ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） ∵ ∠4＋∠2＝180° ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 三、平行线的性质（如上图）： （1）两直线平行，同位角相等；几何符号语言：∵AB∥CD∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） （2）两直线平行，内错角相等； ∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） （3）两直线平行，同旁内角互补。∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 6、平行线的性质与判定的区别和联系：平行线的性质与判定是互逆的关系 平行线的判定 平行线的性质 条件 结论 条件 结论 同位角相等 两直线平行 两直线平行 同位角相等 内错角相等 内错角相等 同旁内角互补 同旁内角互补 7、两条平行线的距离：如下图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。 经典例题: 如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于E，，求的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 专题训练： 1．如图，，与交于点P．    (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 2．如图，在四边形中，平分，交于点G，交的延长线于点E，F为延长线上一点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．如图，点C，D在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点G，若，求的度数． 4．如图，在中，平分，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．如图，，、分别平分、，且． 求证： (1)； (2)． 6．如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 7．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 8．如图，，，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)探究，，之间的数量关系，并说明理由； 9．如图，和相交于点是上一点，是上一点，且． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 10．如图，已知，为上一点，为外一点，连接，，且交于点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 11．如图，在中，是高，点，，分别在，，上，且，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，平分，求的度数． 12．完成下面的说理过程． 已知：如图，平分，平分，且．试说明． 解：平分（已知）， （                   ）． 平分（已知）， ___________， ． （已知）， ______________（                   ）， （               ）． 13．如图，在中，点是上的一点，，．试说明． 解：（已知）， ________， （两直线平行，同位角相等）， （________）， （_________）， （________）， （等量代换）， ______（平角的定义）， （等量代换）， 即． 14．如图，，平分，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 16．如图，已知． 如 (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．如图，已知，，点E在线段延长线上，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 18．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求 的度数． 19．如图，点在直线上，点、、在直线上，，连接、、，其中，．    (1)证明：； (2)当时，请求出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据平行线的性质得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴．    2．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，掌握三角形的内角和及平行线的判定定理与定义是解题的关键． （1）根据，可得，即可求证； （2）根据平行线的性质可得，，再由平分，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 3．(1)见解析 (2)108° 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义，是解题的关键． （1）根据，，得，即得； （2）根据，得，根据角平分线性质得， ，即得 ． 【详解】（1），且， ， ； （2），， ， 又为的角平分线， ， ， （方法不唯一）． 4．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）先根据“两直线平行，同位角相等”得出，结合可得出，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可得证； （2）先根据“两直线平行，同位角相等”求出的度数，然后根据角平分线定义求出的度数，最后根据“两直线平行，同位角相等”即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 5．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及平行线的判定与性质．掌握内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． （1）由角平分线的定义得，由得，结合条件得，从而得出结论； （2）根据平行线的性质得，由可得结论． 【详解】（1）证明：因为分别平分， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． （2）证明：因为， 所以． 因为， 所以． 6．邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行；理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定． 【详解】解：∵（已知）， （邻补角的定义）， ∴（同角的补角相等）． ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 7．(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）利用（1）的结论可得，然后利用平角定义可得，然后利用对顶角相等可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义即可解答． 【详解】（1）证明：分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 8．(1)详见解析 (2)，理由见解析． 【分析】（）根据平行线的性质和判定即可求证， （）作，根据平行公理推论得，然后根据平行线的性质即可求解， 本题考查了平行线的性质和判定，平行公理推论，熟练掌握平行线的性质和判定，平行公理推论是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，如图，作， 则， 由（）可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，等量代换可得，根据平行线的判定定理即可得证； （2）过点作，根据平行线的性质与判定可得，，根据即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， ， ，， ， ． 10．(1)证明见解析 (2)65° 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定． （1）由可得，得出，再由得出，最后由平行线的判定证明即可； （2）由可得，再由可得出，从而求出，，再由，可得，最后由平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ． （2）解：， ， ， ， ，， ， ， ． ． 11．(1)；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直的定义、平行线的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键． （1）根据平行线的性质和判定解答即可； （2）先求出的度数，即为，根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即得答案． 【详解】（1）解：；理由是： ∵是高，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 12．角平分线的定义；；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定及角平分线的定义，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．首先根据角平分线的定义可得， 根据等量代换可得， 进而得到， 然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【详解】解：平分（已知）， （角平分线的定义）． 平分（已知）， ， ． （已知）， （ 等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 13．见解析 【分析】本题主要考查了两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，找邻补角等知识点，看懂题意并理清整个证明过程是解题的关键． 由平行线的性质可得，，，，进而可得，由平角的定义可得，利用等量代换即可得出结论，据此补全证明过程即可． 【详解】解：（已知）， ， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， （等量代换）， （平角的定义）， （等量代换）， 即． 14．(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，据此求解即可证明； （2）设，则，根据平分线的性质结合角平分线的定义得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即； （2）解：设，则， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由两直线平行，同旁内角互补得到，再证明，即可证明； （2）由角平分线的定义得到，则由两直线平行，内错角相等即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，射线平分， ∴， ∵， ∴． 16．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质． （1）根据同旁内角互补两直线平行即可证明结论成立； （2）根据平行线的性质得到，由等量代换得到，即可证明，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【详解】（1）解：证明：， ， ． （2）， ． 又， ， ， ． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题为平行线与角平分线的综合题，考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识，综合性较强，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键，第（2）步要注意根据题意设出未知数，用含x的式子表示出相关角，列出方程解答． （1）根据得到，根据角平分线的定义得到，即可证明； （2）设，则，根据得到，进而得到，根据，得到，从而求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴，         ∵ ， ∴ ， ∴；        ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ； （2）解：∵，， 可设， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵， ∴，即 ∴， 解得：， ∴． 18．(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)110° 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是理解平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）依据同位角相等，即可得到两直线平行； （2）依据平行线的性质，可得出，进而判定，即可得出； （3）利用平行线的性质得出和的度数，依据对顶角相等即可得到的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴． （2）.     理由：∵, ∴, ∵， ∴， ∴, ∴； （3）解： ，， ， ． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义与判定； （1）证明，即可得到； （2）由，设，，根据列方程计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$