精品解析：河南省2023-2024学年中等职业学校高三5月联考数学试题

河南省2023-2024学年中等职业学校高三年级5月联考 数学 （本试卷满分100分） 考生注意： 所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效. 一、选择题（每小题3分，共30分.每小题中只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 集合的所有子集的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合中的元素，代入子集个数公式即可得解. 【详解】，解得， 所以集合，集合中有一个元素， 所以子集个数为个， 故选：. 2. 若，则下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作差法即可求解. 【详解】， ， ， . 故答案为：C. 3. 设函数则（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数解析式求函数值即可得解. 【详解】函数，则， 则， 故选：. 4. 下列函数中，与函数有相同定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式求定义域判断即可. 【详解】因为函数的定义域为， 选项A，函数的定义域为，故不正确； 选项B，函数的定义域为，故不正确； 选项C，函数的定义域为，故正确； 选项D，函数的定义域为，故不正确； 故选：C. 5. 已知是第二象限角，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式与三角函数在二象限的正负求解 【详解】因为是第二象限角，则， 所以， 故选：A 6. 设首项为,公比为的等比数列的前项和为,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式及前项和公式即可得解. 【详解】因为首项为,公比为的等比数列. 所以 因为. 所以. 故选:. 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 若两条直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线平行 B. 若两个平面与同一直线所成的角相等，则这两个平面平行 C. 若两个平面平行，则分别位于这两个平面内的直线也互相平行 D. 若一条直线与两个平面都垂直，则这两个平面必平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线面关系与面面关系判断即可. 【详解】选项A，如下图所示， 正方体中，平面, 直线和直线与底面所成角均为, 但直线线和直线相交，故错误； 选项B，如上图，平面,平面, 所以平面和平面与直线所成角均为， 但平面和平面相交，错误； 对于C，如图 正方体中，平面与平面平行，平面， 平面，显然直线与直线异面，故错误； 选项D，根据平面的性质以及线面垂直性质可得垂直于同一条直线的两个平面一定互相平行，正确； 故选：D 8. 已知，，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量内积的定义即可求解. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以. 故选：B. 9. 3名男生和2名女生站成一排，其中2名女生恰好站在两端的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式和排列组合公式计算即可. 【详解】2名女生恰好站在两端的优先排法， 3名男生和2名女生站成一排，其中2名女生恰好站在两端的排法， 所以3名男生和2名女生站成一排，其中2名女生恰好站在两端的概率为. 故选：C. 10. 在的展开式中的常数项为（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式的通项公式求解常数项即可. 【详解】因为的通项公式为， 令，即，， 故选：B 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知集合，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合交集的概念即可求解. 【详解】因为集合，集合， 所以. 故答案为：. 12. 已知一次函数的图像关于原点对称，则二次函数为_____函数.（填写奇或偶） 【答案】偶 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义即可求解. 【详解】一次函数的图像关于原点对称，则， 因此，而的定义域为关于原点对称 且， 故二次函数为偶函数. 故答案为：偶. 13. 计算_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则和对数恒等式计算即可. 【详解】 ， 故答案为：. 14. 已知且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数间的关系和正弦函数的和角公式即可解得. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 15. 在等差数列中，若，，则_____. 【答案】25 【解析】 【分析】由等差数列的通项即可求解. 【详解】是等差数列，设公差为d， ，即， 因此公差，所以. 故答案为：25. 16. 过点且与直线平行的直线方程是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由与直线平行可设直线方程为，再由该直线过解得参数，得到所求直线方程. 【详解】因为所求直线与直线平行. 所以设该直线为. 又因为该直线过. 所以解得. 故答案为：. 17. 设，向量，，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量共线与模的坐标表示即可得解. 【详解】因为，，， 所以，解得， 则， 所以. 故答案为：. 18. 某位同学要代表学校参加国赛，他去考点所在城市可乘坐火车、汽车、轮船、飞机的概率分别为0.3、0.4、0.1、0.2，则他坐火车或飞机的概率为_____. 【答案】0.5 【解析】 【分析】根据分类加法原则，即可求解. 【详解】乘坐火车、汽车、轮船、飞机的概率分别为0.3、0.4、0.1、0.2， 坐火车或飞机的概率为0.5. 故答案为：0.5. 三、计算题（每小题8分，共24分） 19. 求不等式的解集. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性与一元二次不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数是R上的减函数， 所以原不等式可化为， 即，解得， 故所求不等式的解集为. 20. 在等差数列中，，，求数列的通项公式和. 【答案】. 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式列出方程组，求出首项与公差，即可写出等差数列的通项公式，求出的值. 【详解】设数列的首项为，公差为d， 由，得，解得， 所以数列的通项公式为， 则. 21. 已知圆与直线相交于、两点，求弦的长. 【答案】 【解析】 【分析】先将圆的一般方程转化成标准方程求出圆心坐标和半径，再根据点到直线的距离求出弦心距，最后根据弦长公式易得答案. 【详解】圆的方程可化为， 所以圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22. 点为正方形外一点，且平面，求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先证明平面，再证明平面平面. 【详解】证明：如下图所示，记和的交点为，连接. 易知在正方形中. 平面，平面. . ，平面，. 平面. 平面. 平面平面 23. 已知，，求证：与互相垂直. 【答案】与互相垂直. 【解析】 【分析】由题意可知两个向量的模长都为1，然后利用向量数量积的运算，以及向量垂直的充要条件,即可求证. 【详解】因为，， 所以，， 所以 所以与互相垂直. 五、综合题（10分） 24. 设的内角、、的对边分别为、、，且，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得，又，代入化简即可求解. （2）利用正弦定理结合已知和（1）中结果将角化为边即可求解. 【小问1详解】 由得，由余弦定理， 得，整理得，故. 【小问2详解】 在中，由正弦定理， 得，代入并化简得； 由已知和（1）有，代入上式得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2023-2024学年中等职业学校高三年级5月联考 数学 （本试卷满分100分） 考生注意： 所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效. 一、选择题（每小题3分，共30分.每小题中只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 集合的所有子集的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若，则下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 设函数则（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 4. 下列函数中，与函数有相同定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是第二象限角，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 以上都不对 6. 设首项为,公比为的等比数列的前项和为,则（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 若两条直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线平行 B. 若两个平面与同一直线所成的角相等，则这两个平面平行 C. 若两个平面平行，则分别位于这两个平面内的直线也互相平行 D. 若一条直线与两个平面都垂直，则这两个平面必平行 8. 已知，，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 9. 3名男生和2名女生站成一排，其中2名女生恰好站在两端的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 在的展开式中的常数项为（ ） A. 10 B. C. 5 D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知集合，，则_____. 12. 已知一次函数的图像关于原点对称，则二次函数为_____函数.（填写奇或偶） 13. 计算_____. 14. 已知且，则________. 15. 在等差数列中，若，，则_____. 16. 过点且与直线平行的直线方程是_____. 17. 设，向量，，且，则_____. 18. 某位同学要代表学校参加国赛，他去考点所在城市可乘坐火车、汽车、轮船、飞机的概率分别为0.3、0.4、0.1、0.2，则他坐火车或飞机的概率为_____. 三、计算题（每小题8分，共24分） 19. 求不等式的解集. 20. 在等差数列中，，，求数列的通项公式和. 21. 已知圆与直线相交于、两点，求弦的长. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22. 点为正方形外一点，且平面，求证：平面平面. 23. 已知，，求证：与互相垂直. 五、综合题（10分） 24. 设的内角、、的对边分别为、、，且，. （1）求的值； （2）求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $