第三章 第三节 万有引力定律的应用-（配套word）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（粤教版）

第三节　万有引力定律的应用 [学习目标]　1.进一步理解万有引力定律，知道万有引力与地球上物体的重力的关系(重点)。2.了解万有引力定律在预测未知天体中的作用。3.会用万有引力定律计算天体的质量和密度(重难点)。 一、万有引力和重力的关系 如图所示，人分别站在地球(地球被视为规则的球体)的北极处(位置A)、北半球某位置(位置B)、赤道上某位置(位置C), (1)根据万有引力定律F＝G可知，同一个人在地球的不同位置，受到的万有引力大小相等。 (2)人在位置B、C随地球自转，万有引力和支持力的合力提供人随地球转动需要的向心力；根据F向＝mω2r可知，同一人在位置B、C需要的向心力大小不同。 (3)人在位置A、C所受重力指向地心A所需向心力为零，C所需向心力指向地心；在位置B所需向心力与万有引力不共线，所受重力及其所需向心力均不指向地心。(均选填“A”“B”或“C”) (4)重力是由于地球吸引而受到的力。当人处于位置B、C时，重力为万有引力的一个分力；人静止在地球表面时，所受重力和支持力等大反向。 1．在地球上不同的纬度，万有引力和重力的关系不同： (1)如图甲所示，在赤道上：重力和向心力在一条直线上，mg＝－mω2R。 (2)如图乙所示，在两极上：F向＝0,mg＝。 (3)如图丙所示，在一般位置，重力是万有引力的一个分力，mg＜。 2．越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即mg＝。 为什么高山上的自由落体加速度比山下地面的小？ 答案　地球表面重力加速度g＝，M为地球质量，R为地球半径，地球上空h高度，万有引力等于重力，即＝mg′，所以h高度处的重力加速度g′＝，则g′<g。 例1　(2022·上海市奉贤区致远高级中学高一期末)重力是由万有引力产生的，以下说法中正确的是(　　) A．同一物体在地球上任何地方的重力都一样 B．物体从地球表面移到空中，其重力变大 C．同一物体在赤道上的重力比在两极处小些 D．绕地球做圆周运动的飞船中的物体处于失重状态，不受地球的引力 答案　C 解析　不同的地方，由于重力加速度不同，导致重力不同，在地球表面，纬度越高，重力加速度越大，则重力越大，所以同一物体在赤道上的重力比在两极处小些，故A错误，C正确；物体从地球表面移到空中，重力加速度变小，则重力变小，故B错误；飞船绕地球做匀速圆周运动，所受地球的引力提供向心力，飞船中的物体处于失重状态，故D错误。 例2　(2023·揭阳市高一期末)假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的半径为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　在地球两极G＝mg0，在赤道上G－mg＝m()2R，联立解得R＝，故选A。 二、天体质量、密度的计算 1．卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己的实验是“称量地球的质量”。 (1)他“称量”的依据是什么？ (2)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量和密度。 答案　(1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。 (2)由mg＝G得，M＝。 ρ＝＝＝。 2．如果知道地球绕太阳的公转周期T，地球与太阳中心间距r，引力常量G， (1)能求出太阳的质量吗？ (2)如果求太阳的密度，还需要已知什么条件？ (3)当卫星绕天体表面运动时，运动周期为T，引力常量为G，则天体的密度为多大？ 答案　(1)由＝m地r知m太＝，可以求出太阳的质量。 (2)还需要已知太阳的半径R，此时ρ太＝＝＝ (3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。 计算中心天体质量的两种方法 1．重力加速度法 (1)已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝G，解得中心天体质量为M＝。 (2)说明：g为天体表面的重力加速度。 未知星球表面的重力加速度通常这样测出：让小球做自由落体、平抛、上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度。 2．“卫星”环绕法 将天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力来自于万有引力，由＝mr，可得M＝。 1．上面两种求中心天体质量的方法：M＝和M＝，“R”与“r”有何区别？ 答案　在M＝中，R为中心天体半径；在M＝中r为轨道半径，若是近地卫星，则r＝R。 2．用“卫星”环绕法，根据环绕卫星的周期和轨道半径，能测出卫星的质量吗？ 答案　不能。只能测出被环绕的中心天体的质量。 例3　(2023·茂名市联考)2020年12月3日23时10分，“嫦娥五号”上升器3 000 N发动机工作约6分钟，成功将携带样品的上升器送入到预定高度的环月轨道，这是我国首次实现地外天体起飞。假设上升器绕月球做圆周运动的半径为r1、周期为T1；月球绕地球做圆周运动的半径为r2、周期为T2，引力常量为G。根据以上条件能得出(　　) A．月球的平均密度 B．地球对月球的引力 C．“嫦娥五号”上升器的质量 D．关系式＝ 答案　B 解析　由题知，上升器绕月球做圆周运动，则有G＝mr1，解得M月＝，则月球的密度为ρ＝，由于月球半径未知，所以无法求出月球密度，故A错误； 根据月球绕地球做圆周运动，地球对月球的引力提供向心力，则有F＝M月r2，因月球的质量可以求出，故B正确；由题知，上升器绕月球做圆周运动，则有G＝mr1，上升器的质量m被约掉，无法求解，故C错误； 开普勒第三定律对同一中心天体才成立，故D错误。 例4　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转。 (1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？ (2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？ 答案　(1)　(2) 解析　设卫星的质量为m，天体的质量为M。 (1)卫星距天体表面的高度为h时，有G＝m(R＋h)，可得M＝ 天体的体积为V＝πR3 故该天体的密度为ρ＝＝＝ (2)卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，可得M＝，故ρ＝＝＝。 例5　(2022·广东佛山市月考)宇航员在某一星球距离表面h高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到该星球表面，已知该星球的半径为R(R≫h)，引力常量为G，则该星球的质量为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设该星球表面的重力加速度为g，小球在星球表面做平抛运动，有h＝gt2，设该星球的质量为M，在星球表面有mg＝，联立解得，该星球的质量M＝，故A正确。 课时对点练 考点一　万有引力和重力的关系 1．(多选)下列关于重力和万有引力的说法正确的是(　　) A．重力和万有引力是不同性质的力 B．在不考虑地球自转影响的情况下，可以认为地球表面物体的重力等于地球对它的万有引力 C．由于地球自转的影响，物体的重力跟物体所处的纬度有关 D．在地球两极的物体，物体的重力等于万有引力 答案　BCD 2．(多选)(2022·舒城晓天中学高一期中)关于重力加速度的下列说法中，正确的是(　　) A．重力加速度g是标量，只有大小，没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2 B．在地球上不同的地方，g的大小不同，但它们相差不是很大 C．在地球上同一地点同一高度，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同 D．在地球上的同一地点，离地面高度越大，重力加速度g越小 答案　BCD 解析　重力加速度是矢量，既有大小又有方向，A错误；地球上同一地点，重力加速度相同，地球上不同的地方，重力加速度不同，地球表面上的赤道位置的重力加速度最小，两极最大，但相差不大，B、C正确；在同一地点，重力加速度随着高度的升高而减小，离地面高度越大，重力加速度g越小，D正确。 3.地球上，在赤道上的一物体A和在台州的一物体B随地球自转而做匀速圆周运动，如图，它们的线速度大小分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，重力加速度分别为gA、gB则(　　) A．vA＝vB，ωA＝ωB，gA>gB B．vA<vB，ωA<ωB，gA>gB C．vA>vB，ωA＝ωB，gA>gB D．vA>vB，ωA＝ωB，gA<gB 答案　D 解析　地球上的点除两极外，相同时间内绕各自圆心转过角度相同，所以角速度相同，即ωA＝ωB；根据v＝ωr可知，角速度相同时，做圆周运动的半径越大，线速度越大，则vA>vB；地球上随纬度增加，重力加速度增大，赤道重力加速度最小，两极重力加速度最大，则gA<gB，故A、B、C错误，D正确。 考点二　天体质量和密度的计算 4．(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是(　　) A．核心舱的质量和绕地半径 B．核心舱的质量和绕地周期 C．核心舱的绕地角速度和绕地周期 D．核心舱的绕地线速度和绕地半径 答案　D 解析　根据万有引力提供核心舱做匀速圆周运动的向心力，可得G＝m＝mω2r＝mr，可得M＝＝＝，则已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期或已知核心舱的绕地角速度和绕地周期，都不能计算出地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可计算出地球的质量，故选D。 5．(2022·永城高中高一期末)一星球半径和地球半径相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，则该星球质量是地球质量的(忽略地球、星球的自转)(　　) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 答案　B 解析　在天体表面有G＝mg，所以M＝，因为星球半径和地球半径相同，所以可得该星球质量是地球质量的2倍。故选B。 6．土星最大的卫星叫“泰坦”，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2×106 km。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　) A．5×1017 kg B．5×1026 kg C．7×1033 kg D．4×1036 kg 答案　B 解析　由万有引力提供向心力得G＝m()2r，则M＝，代入数据得M≈5×1026 kg，故选B。 7．(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根据卫星受到的万有引力提供其做圆周运动的向心力可得G＝m()2R，球形星体质量可表示为：M＝ρ·πR3，由以上两式可得：T＝，故选A。 8．(2023·深圳市明德学校高一校考期中)2023年1月9日6时0分，我国在文昌航天发射场使用长征七号改运载火箭，成功将实践二十三号卫星和搭载的试验二十二号A/B星发射升空，三颗卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设实践二十三号卫星绕地球做匀速圆周运动，离地球表面的高度等于地球的半径R。已知地球表面处的重力加速度大小为g，引力常量为G，忽略地球的自转，求： (1)地球的密度； (2)卫星所在处的重力加速度大小。 答案　(1)　(2) 解析　(1)卫星停在地球表面时有＝mg，得M＝ 地球的体积为V＝πR3 可得，地球的密度为ρ＝＝×＝ (2)卫星所在处的重力加速度＝mg1，又g＝，得g1＝＝ 9．(2023·深圳市翠园中学高一校考期中)一项最新的研究发现，在我们所在星系中央隆起处，多数恒星形成于100多亿年前的一次恒星诞生爆发期。若某恒星自转周期为T，星体为质量均匀分布的球体，引力常量为G，则以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设恒星的半径为R，当万有引力恰好提供向心力时星体不瓦解，且密度最小，根据G＝mR，解得恒星的质量M＝，则恒星的密度ρ＝＝＝，故选A。 10．(2023·苏州中学高一期中)在电影《流浪地球2》中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时，质量为75 kg的人重力为480 N。已知地球半径为6 371 km，不考虑地球自转，地球表面重力加速度g＝10 m/s2，则此时太空电梯距离地面的高度约为(　　) A．1 593 km B．3 584 km C．7 964 km D．9 955 km 答案　A 解析　不考虑地球自转，万有引力等于重力，设此时太空电梯处的重力加速度为g′，则g′＝＝6.4 m/s2，则有＝mg′，＝mg，联立解得：h≈1 593 km，故选A。 11．(2023·广东广州市高一校联考期中)我国明确提出2030年“碳达峰”与2060年“碳中和”目标。人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏。一头质量为M的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和在馆内的重力差为ΔF。已知地球自转周期为T。根据以上信息，可求出地球的半径为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　北极熊在赤道上时，万有引力的一部分提供向心力，有－Mg＝M()2R 北极熊在北极上时有＝Mg′，根据题意，有ΔF＝M()2R，解得R＝，A正确，B、C、D错误。 12．若航天员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响) (1)月球表面的自由落体加速度大小g月； (2)月球的质量M； (3)月球的平均密度ρ。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)月球表面附近的物体做自由落体运动， 则h＝g月t2，解得g月＝。 (2)因不考虑月球自转的影响，则有G＝mg月， 月球的质量M＝＝。 (3)月球的平均密度ρ＝＝＝。 13．(2023·辽宁卷)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(　　) A．k3()2 B．k3()2 C.()2 D.()2 答案　D 解析　设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据G＝mr，可得G＝m月r1，G＝m地r2，其中＝＝，ρ＝，联立可得＝()2，故选D。 学科网（北京）股份有限公司 $$