第二章 专题强化5 竖直面内的圆周运动-（配套课件）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（粤教版）

DIERZHANG 第二章 专题强化5　竖直面内的圆周运动 1.明确竖直面内圆周运动为变速圆周运动。 2.掌握圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的分析方法(重难点)。 学习目标 2 内容索引 一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 二、竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型 专题强化练 3 一 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 4 如图所示，甲图中小球仅受绳拉力和重力作用，乙图中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”。 1.小球运动到最低点、最高点与圆心等高时向心力由什么力来提供？绳上拉力(或轨道的弹力)与速度有何关系？ 2.若使小球能做完整的圆周运动，试分析小球通过最高点时的最小速度。 1.模型特点 梳理与总结 轻绳模型 情境图示   弹力特征 在最高点弹力可能向下，也可能等于零 受力示意图   力学方程   临界特征 F＝0，即 是物体能否过最高点的临界速度 2.小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系 　杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2) A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到 的压力均为零 C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 例1 √ “水流星”在最高点的临界速度v＝ ＝4 m/s，由此知绳的拉力恰好为零，“水流星”的重力提供向心力，则水恰好不流出，容器底部受到的压力为零，故选B。 　如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求： (1)小球刚好通过最高点时的速度大小； 例2 答案　2 m/s (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小； 答案　15 N (3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最大值。 二 竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型 16 如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周 运动，这类运动称为“轻杆模型”。 试分析小球通过最高点的最小速度。 答案　由于杆(或管道)在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg。 1.模型特点 梳理与总结 轻杆模型 情境图示   弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图   力学方程 mg±F＝m 临界特征 v＝0，即F向＝0，此时F＝mg v＝ 的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点 2.小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。 　有一轻质杆长L为0.5 m，一端固定一质量m为0.5 kg的小球，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动。(g＝10 m/s2) (1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速 度大小； 例3 (2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力； 答案　4 N，方向向下　11 N，方向向上 (3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，求小球运动的速率。 答案　6 m/s (2023·广东惠州高一联考)如图所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，已知重力加速度为g，设小球经过最高点P时的速度为v，则 例4 √ 由于小球在圆管中运动，在最高点速度可以是零，A错误； 根据向心力公式有F＝m ，v若增大，小球所需的向心力一定增大，B正确； 三 专题强化练 1.如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述不正确的是(重力加速度为g) A.小球对圆环的压力大小等于mg B.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力 C.小球的线速度大小等于 D.小球的向心加速度大小等于g 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础强化练 √ 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误； 此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(多选)如图所示，轻杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动至最高点时，轻杆对小球的作用力 A.方向一定竖直向上 B.方向可能竖直向下 C.大小可能为0 D.大小不可能为0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.(2023·广东佛山市联考)如图所示，甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在了轨道上，车中座椅是指底座、靠背以及安全卡扣组成的整体，四个图中轨道的半径都为R，重力加速度为g， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 下列说法正确的是 A.甲图中，当轨道车以一定的速度 通过轨道最高点时，座椅一定给 人向上的力 B.乙图中，轨道车过最低点的最大 速度为 C.丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向 上的力 D.丁图中，轨道车过最高点的最小速度为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 甲图中由重力提供向心力可得mg＝ ，轨道车通过最高点的临界速度为v＝ ，若通过最 高点速度大于临界速度，座椅给人的力向下，若通过最高点速度小于临界速度，座椅给人的力向上，故A错误； 乙图中轨道车所受合力向上，可得F－mg＝ ，由于不知弹力最大值，所以不能求出速度最大值，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 丙图中人所受合力向上，合力提 供向心力，所以座椅给人向上的 力，故C正确； 丁图中，轨道可以对轨道车提供向上的弹力，属于圆周运动轻杆模型，所以最高点速度大于零即可，故D错误。 4.(多选)(2023·广东广州华南师大附中校考)如图所示，小球在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，当小球运动至a、b、c、d4个点时，(c点与圆心等高)下列说法正确的是 A.小球经过最高点a时一定压内壁 B.小球经过b点时，可能压外壁 C.小球经过c点时，可能压内壁 D.小球经过d点时，一定压外壁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 小球做圆周运动，所需向心力由重力与管壁的支持力提供，在圆形管道内的下半部分，需要合力指向圆心，则小球一定会对外壁产生挤压而不会对内壁产生挤压。而在圆形管道上半部分，当小 球所需向心力大于重力沿圆心方向的分力时，小球挤压外壁；当小球所需向心力小于重力沿圆心的分力时，小球挤压内壁；当小球所需向心力等于重力沿圆心方向的分力时，小球不挤压管全道。故选B、D。 5.(多选)(2023·广东佛山期中)城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，跨度为L，桥高为h。一辆质量为m的小汽车，在A端以速度v0冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，重力加速度为g，若小汽车在通过桥的过程中，始终未脱离桥面，则 A.小汽车通过桥顶时处于失重状态 B.小汽车在桥顶时受到桥面的支持力大小为FN＝mg＋m C.小汽车到达桥顶时的速度有可能大于 D.小汽车到达桥顶时对桥面的压力有可能为零 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ 小汽车做圆周运动，在最高点合力提供向心力，方向指向圆心，所以加速度方向竖直向下，汽车处于失重状态，故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.长L＝0.5 m、质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个小球A。A的质量为m＝2 kg。当A通过最高点时，如图所示，求在下列两种情况下小球对杆的作用力。(g取10 m/s2) (1)A在最高点的速度为1 m/s； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　16 N，方向向下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当A在最高点的速度为v1＝1 m/s时，因v1<v0，此时小球A受到杆向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg－F1＝m ，代入数据解得F1＝16 N，根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力大小为16 N，方向向下。 (2)A在最高点的速度为4 m/s。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　44 N，方向向上 当A在最高点的速度为v2＝4 m/s时，因v2>v0，此时小球A受到杆向下的拉力作用，根据牛顿第二定律有mg＋F2＝m ，代入数据解得F2＝44 N，根据牛顿第三定律得，小球对杆的作用力大小为44 N，方向向上。 7.(2022·扬州中学高一开学考试)如图甲，滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动。如图乙，一件小衣物(可理想化为质点)质量为m，滚筒半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，a、b分别为小衣物经过的最高位置和最低位置。下列说法正确的是 A.衣物所受滚筒的支持力的大小始终为mω2R B.衣物转到b位置时的脱水效果最好 C.衣物所受滚筒的作用力大小始终为mg D.衣物在a位置对滚筒壁的压力比在b位置的大 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 能力综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，故在转动过程中，根据牛顿第二定律可知衣物所受合力的大小始终为F合＝mω2R，在a、b位置，由于重力方向始终竖直向 下，向心力方向始终指向圆心，可知衣物所受滚筒的支持力的大小不相等，故A错误； 设在a、b两点的支持力分别为FN1和FN2，根据牛顿第二定律有mg＋FN1＝ ，FN2－mg＝ ，可知FN1<FN2，结合牛顿第三定律可知， 衣物对滚筒壁的压力在a位置比在b位置的小，衣物做匀速圆周运动，所需的向心力相同，对筒壁的压力不同，在b点最大，脱水效果最好，故B正确，D错误； 衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，在转动过程中，衣物所受的重力与所受滚筒的作用力的合力大小不变而方向不断变化，所以衣物所受滚筒的作用力大小是在不断变化的，故C错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.(2023·广东佛山一中校考)如图，质量均为m的A、B两个小球固定在长为L的轻杆上，绕杆的端点O在竖直面内做匀速圆周运动，B球固定在杆的中点，A球在杆的另一端，不计小球的大小，当小球A在最高点时，杆对球A的作用力恰好为零，重力加速度为g。当A球运动到最低点时，OB段杆对B球的作用力大小为 A.2.5mg B.3mg C.3.5mg D.4mg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设转动的角速度为ω，A球在最高点时杆对球的作用力恰好为零，有mg＝mω2L 当A球运动到最低点时F1－mg＝mω2L， 解得F2＝3.5mg，故选C。 9.(多选)(2023·广东汕尾校考)如图甲所示，一长为R的轻绳，一端系在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动，小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系图像如图乙所示，图线与纵轴的交点坐标为a，重力加速度为g，下列判断正确的是 A.利用该装置可以得出重力加速度，且g＝ B.绳长不变，用质量较大的球做实验，得到 的图线斜率更大 C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大 D.绳长不变，用质量较小的球做实验，图线与纵轴的交点坐标不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在最高点，根据牛顿第二定律得F＋mg＝ 10.(多选)(2022·宣城市高一期末)如图，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时 A.小球所需向心力大小为3mg B.小球所需向心力大小为4mg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意，根据几何关系可知两根轻绳间夹角为60°，小球在最高点速率为2v时，设每根轻绳的拉力大小为T，根据牛顿第二定律可得2Tcos 30°＋mg＝F，解得T＝ mg，故C正确，D错误。 11.如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B从水平地面上以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg。g为重力加速度，忽略空气阻力，求A、B两球落地点间的距离。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　3R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力提供向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差。对A球，由牛顿第二定律得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 两球做平抛运动的水平位移分别为xA＝vAt＝4R xB＝vBt＝R A、B两球落地点间的距离Δx＝xA－xB＝3R。 12.(2022·安吉县高级中学高一开学考试)如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为图乙所示。质量为M、半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转。陀螺的质量为m，其余部分质量不计。陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为6mg。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 尖子生选练 (1)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为 ，求此时轨道对陀螺的弹力大小； 答案　10m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当陀螺在轨道内侧最高点时，设轨道对陀螺的吸引力为F1，轨道对陀螺的支持力为FN1，陀螺所受的重力为mg，最高点的速度为v1，受力分析可知： 解得FN1＝10mg (2)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通过最低点时的最大速度大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对陀螺的吸引力为F2，轨道对陀螺的支持力为FN2，陀螺所受的重力为mg，最低点的速度为v2，受力分析可知： (3)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为 ，求固定支架对轨道的作用力大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时，轨道对陀螺的吸引力为F3，轨道对陀螺的支持力为FN3，陀螺所受的重力为mg。 解得FN3＝4mg 由牛顿第三定律可知FN3′＝FN3，F3′＝F3 12 BENKEJIESHU 本课结束 更多精彩内容请登录：www.xinjiaoyu.com 与圆心等高处：由弹力提供向心力，F＝m 答案　最低点：由重力和绳子拉力(或轨道的弹力)的合力提供向心力；F－mg＝m F＝mg＋m 所以F＝m－mg 最高点：由重力和绳的拉力(或轨道的弹力)的合力提供向心力，F＋mg＝m 答案　小球在最高点时，绳(轨道)只能对小球产生向下的拉力(弹力)，由F＋mg＝m可知，当F＝0时，v最小，最小速度为v＝。 mg＋F＝m mg＝m，得v＝， (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的弹力)为零。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或轨道的弹力)，重力和拉力(或轨道的弹力)的合力充当向心力，mg＋F＝m。 小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝m，解得v1＝＝2 m/s。 小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，则有T＋mg＝m，解得T＝15 N。 分析可知小球通过最低点时绳张力最大，速度最大，在最低点由牛顿第二定律得T′－mg＝，将T′＝45 N代入解得v3＝4 m/s，即小球的速度的最大值为4 m/s。 答案　4 m/s (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg－F＝m，即F＝mg－m，v越大，F越小。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或压力)F。重力和拉力(或压力)的合力充当向心力，mg＋F＝m，即F＝m－mg，v越大，F越大。 答案　 m/s 小球在最高点时刚好对杆无作用力，此时重力提供向心力，有mg＝m，代入数据解得v1＝＝ m/s 当小球运动到最高点速率为1 m/s时，此时小球受到杆向上的支持力。根据牛顿第二定律可得：mg－F1＝m，代入数据解得：F1＝4 N，根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力为4 N，方向向下；当小球运动到最高点速率为4 m/s时，此时小球受到杆向下的拉力，根据牛顿第二定律F2＋mg＝m，代入数据解得F2＝11 N，根据牛顿三定律可得小球对杆的作用力为11 N，方向向上； 当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，由牛顿第二定律有F－mg＝m，代入数据解得v4＝6 m/s。 A.v的最小值为 B.v若增大，球所需的向心力也增大 C.当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力逐渐减小 D.当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力逐渐减小 小球经过最高点时，因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的弹力，当v＝时，轨道对小球的弹力为零，因此v由逐渐减小时，即v<，小球的重力大于所需向心力，轨道对小球有向上的弹力，则F＝mg－m>0，随v的减小，轨道对小球的弹力增大，C错误； v由逐渐增大时，即v>，重力小于小球所需向心力，此时轨道对小球有向下的弹力， 则F＝m－mg>0，随v的增大，轨道对小球的弹力也增大，D错误。 动所需的向心力，则有mg＝m＝ma，即v＝，a＝g，选项B、C、D正确。 设杆长为R，当重力刚好提供小球做圆周运动的向心力时，杆对小球无作用力，此时有mg＝m，解得v＝，当v>时，杆对小球提供拉力，当v<时，杆对小球提供支持力，故B、C正确，A、D错误。 m m 在最高点，根据牛顿第二定律得mg－FN＝m，解得FN＝mg－m，故B错误； 小汽车始终未脱离桥面，则在最高点刚好不脱离时，重力提供向心力，FN＝0，根据牛顿第二定律得mg＝m，速度最大vmax＝，故C错误，D正确。 设小球A在最高点的速度为v0时，与杆之间恰好没有相互作用力，此时向心力完全由小球的重力提供，根据牛顿第二定律有mg＝m，代入数据解得v0＝ ＝ m/s。 m m 对于B球F2－mg－F1＝m×Lω2 由题图乙知当F＝0时，v2＝a，则有mg ＝＝，解得g＝，故A错误； m，整理得v2＝F＋gR，图线的斜率为k＝可知绳长不变，小球的质量越小，斜率越大，故B错误，C正确； 由表达式v2＝F＋gR可知，当F＝0时，有v2＝gR＝a可知图线与纵轴的交点坐标与小球质量无关，故D正确。 C.每根轻绳的拉力大小为mg D.每根轻绳的拉力大小为2mg 小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，此时小球重力恰好提供向心力，即m＝mg，小球在最高点速率为2v时，所需向心力大小为F＝m＝4mg，故A错误，B正确； 3mg＋mg＝m 解得A球通过最高点C时的速度大小为vA＝2 对B球，由牛顿第二定律得mg－0.75mg＝m 解得B球通过最高点C时的速度大小为vB＝ A、B球做平抛运动的时间相同，由2R＝gt2可得t＝＝2 mg＋FN1－F1＝m 答案　 F2－FN2－mg＝m 由题意可知，当FN2＝0时，陀螺通过最低点时的速度为最大值，解得v2＝ 答案　g 则F3－FN3＝m 固定支架对轨道的作用力为F＝ 解得F＝g。 $$