第二章 专题强化4 圆周运动的动力学问题 圆锥摆模型-（配套课件）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（粤教版）

DIERZHANG 第二章 专题强化4　圆周运动的动力学问题　 圆锥摆模型 1.理解圆周运动的动力学问题是牛顿第二定律的应用(重点)。 2.了解圆锥摆模型的特点并会用动力学观点解决圆锥摆模型问题(重难点)。 学习目标 2 内容索引 一、圆周运动的动力学问题 二、圆锥摆模型 专题强化练 3 一 圆周运动的动力学问题 4 1.向心力公式本质上是牛顿第二定律在圆周运动问题中的应用。在应用牛顿第二定律F＝ma解决圆周运动问题时，F为向心力，a为向心加速度。向心力F应按照下面两种情况分别处理： (1)匀速圆周运动中，物体所受的合外力提供向心力。 (2)在非匀速圆周运动中，沿半径方向的合外力提供向心力。 2.分析圆周运动动力学问题的步骤 (1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 (2)确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。 (3)找出向心力的来源，利用平行四边形定则将力合成或沿半径方向和切线方向将力正交分解，计算出沿半径方向的合力F。 (5)解方程求出待求物理量。 注意：向心力是根据力的作用效果命名的。在分析做圆周运动的物体受力情况时，切不可在物体的相互作用力(重力、弹力、摩擦力等)以外再添加一个向心力。 　一质量为m的物体，沿半径为R的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则它在最低点时受到的摩擦力大小为 例1 √ (多选)如图所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO′匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动。若两球质量之比mA∶mB＝2∶1，那么关于A、B两球的下列说法中正确的是 A.A、B两球所需的向心力之比为2∶1 B.A、B两球角速度之比为1∶1 C.A、B两球运动半径之比为1∶2 D.A、B两球向心加速度之比为1∶2 √ 例2 √ √ 两球所需的向心力都由细绳的拉力提供，大小相 等，两球都随杆一起转动，角速度相等，A错误， B正确； 设两球的运动半径分别为rA、rB，角速度为ω，则mArAω2＝mBrBω2，因为mA∶mB＝2∶1，所以运动半径之比为rA∶rB＝1∶2，C正确； 由牛顿第二定律F＝ma可知aA∶aB＝1∶2，D正确。 二 圆锥摆模型 10 1.圆锥摆结构和运动模型 如图所示，一根不可伸长的绳，一端固定在O点，另一端拴一小球(可视为质点)，给小球一水平初速度，不计空气阻力，小球在水平面内做匀速圆周运动。 2.向心力来源 (1)可认为绳子对小球的拉力和小球的重力的合力提供向心力。 (2)也可认为是绳子拉力在水平方向的分力提供向心力。 3.动力学方程及线速度、角速度与绳长的关系如图所示，设小球的质量为m，绳与竖直方向的夹角为θ，绳长为l，则小球做圆周运动的半径为r＝lsin θ，重力加速度为g。 　长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动，重力加速度为g)，如图所示。当细线与竖直方向的夹角为α时，求： (1)细线的拉力F大小； 例3 如图所示，小球受重力mg和细线的拉力F。因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球所受力的合力指向圆心O′，且是水平方向。 由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtan α， (2)小球运动的线速度的大小； (3)小球运动的角速度及周期各是多少。 1.研究圆周运动首先要确定轨道平面与圆心，以便确定向心力的方向。 2.常见的匀速圆周运动实例 总结提升 模型 受力分析 满足的方程及向心加速度     mgtan θ＝mω2lsin θ a＝gtan θ 总结提升     mgtan θ＝mrω2 a＝gtan θ     mgtan θ＝mrω2 a＝gtan θ (2023·广东东莞高一期中)如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则 A.球B的角速度一定小于球A的角速度 B.球B对筒壁的压力一定大于球A对筒壁的压力 C.球B运动的周期一定大于球A运动的周期 D.球B的线速度一定小于球A的线速度 例4 √ 对A和B球受力分析如图所示 根据牛顿第二定律F向＝mω2r可知运动轨道半径越小，角速度越大，A错误； 如图所示，一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，则空气对老鹰的作用力的大小等于(不计空气阻力，重力加速度为g) 例5 √ 对老鹰进行受力分析，其受力情况如图所示，老鹰受到重力mg、空气对老鹰的作用力F。由题意可知，力F沿水平方向的分力提供老鹰做匀速圆周运动的向心力，且其沿竖直方向的分力与重力平衡，故 三 专题强化练 1.如图所示，质量为m的小球系在长度为L的绳子上，在水平面内做匀速圆周运动，已知绳子与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是 A.小球受到的力有重力、拉力和向心力 B.小球的向心力为mgtan θ C.小球的线速度为 D.绳子拉力为mgsin θ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础强化练 √ 小球受重力、绳子的拉力，二者的合力沿着水平方向，提供向心力，选项A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(2023·广东实验中学高一期中)某同学的质量为m(视为质点)，她在荡秋千时，A和B分别为其运动过程中的最低点和最高点，如图所示。两根秋千绳均长为L，她运动到A位置时的速度大小为v，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，不计秋千绳受到的重力，下列说法正确的是 A.在B位置时，该同学所受的合力为零 B.在A位置时，该同学处于失重状态 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在B位置时，该同学受到重力和秋千绳的拉力，合力不为零，故A错误； 在A位置时，重力和秋千绳拉力的合力产生向上的向心加速度，该同学处于超重状态，故B错误； 可知每根秋千绳的拉力大小为 3.(2023·广东佛山市第三中学校考)作用在飞机上的气动力和发动机推力的合力与飞机质量之比称为飞机的过载。则当飞机以g的加速度向上加速时，我们称飞机的过载为2g。现有某位飞行员所能承受的最大过载为9g，已知g取10 m/s2，声速约为340 m/s，当飞机在竖直面内以声速做圆周运动在经过最低点时对其半径的要求是 A.小于1 445 m B.大于1 445 m C.小于1 284 m D.大于1 284 m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为ω，重力加速度为g，不计空气阻力，如图所示，则杆的上端受到球对其作用力的大小为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对小球进行受力分析，小球受两个力：一个是重力mg，另一个是杆对小球的作用力F，两个力的合力提供向心力。由平行四边形定则可得F＝ ，再根据牛顿第三定律，可知杆的上端受到球对其作用力的大小为 ，故选项C正确。 5.如图所示，某小球由不可伸长的轻绳系于一竖直细杆的A点，当竖直杆以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动。关于小球到A点的竖直距离h与角速度ω的关系图线，正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设绳子与竖直方向的夹角为θ(如图所示)，根据牛顿第二定律得， mgtan θ＝mhω2tan θ， 6.(多选)如图所示，光滑的圆锥漏斗的内壁，有个质量为m的小球，它紧贴漏斗在水平面上做半径为r的匀速圆周运动。已知漏斗壁的倾角为θ，重力加速度为g，下列说法正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对小球进行受力分析，合力沿水平方向，得F向＝ 7.如图所示，滑块M能在水平光滑杆上自由滑动，滑杆连架装在转盘上。M用绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当转盘以角速度ω转动时，M离轴距离为r，且恰能保持稳定转动。当转盘转速增至原来的2倍，调整r使之达到新的稳定状态，则滑块M A.所需的向心力变为原来的4倍 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 转速增加，再次稳定时，滑块做圆周运动的向心力仍由拉力提供，拉力仍然等于物体的重力，所以向心力不变，故选项A错误； 转速增至原来的2倍，则角速度变为原来的2倍，D错误； 8.(2023·广东茂名市第一中学期中)如图甲，一半径为r＝0.2 m的滚筒洗衣机内有一件质量为m＝0.5 kg的衣服(示意图如图乙)，衣服贴着内壁跟着圆筒以角速度ω＝20 rad/s绕中心轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，若此时衣服恰好不下滑，求： (1)衣服对桶壁的压力大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案　40 N 衣服所受弹力F＝mω2r＝40 N 由牛顿第三定律知，衣服对桶壁压力为F′＝F＝40 N (2)衣服与桶壁之间的动摩擦因数。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 衣服竖直方向受力平衡，f＝mg＝5 N 又f＝μF 9.如图所示，两个质量相同的小球用长度不等的不可伸长的细线拴在同一点，并在同一水平面内做同方向的匀速圆周运动，则它们的 A.向心力大小相同 B.运动周期不同 C.运动线速度大小相同 D.运动角速度相同 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 能力综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对其中一个小球受力分析，如图所示，受重力、细线的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力，即重力与拉力的合力指向圆心，由几何关系得合力：F＝mgtan θ ① θ不同，则F大小不同，故A错误； 由向心力公式得，F＝mω2r ② 设两小球做圆周运动所在的平面与悬挂点间的距离 为h，由几何关系，得r＝htan θ ③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 联立①②③得， 可知角速度与细线的长度 和转动半径无关，两球运动角速度相同，故D正确； 又由 可知两球运动周期相同，故B错误； 由v＝ωr可知，两球转动半径不等，运动线速度大小不同，故C错误。 10.(2023·山东聊城二中期末)为方便旅客随时取下行李，机场使用倾斜环状传送带运输行李箱，如图所示，行李箱随传送带一起在弯道时做匀速圆周运动。则 A.行李箱的向心力只由弹力提供 B.行李箱的向心力只由摩擦力提供 C.若传送带转速减缓，行李箱受到的弹力变大 D.若传送带转速减缓，行李箱可能会沿斜面向下滑动 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对行李箱受力分析，如图所示。由图可知，行李箱的向心力由弹力、摩擦力共同提供，故A、B错误； 若传送带转速减缓，由指向圆心方向F向＝mω2R＝fcos α－FNsin α，竖直方向mg＝fsin α＋FNcos α，可 得FN＝mgcos α－mω2Rsin α，当转速减缓时，角速度减小，弹力变大，行李箱与斜面之间的最大静摩擦力变大，行李箱不会沿斜面向下滑动，故C正确，D错误。 11.(2023·广东东莞高一期中)如图(a)所示为游乐园中的旋转飞椅，可简化为如图(b)所示的模型，乘坐在吊椅上的游客甲和乙的运动均可视为匀速圆周运动，不考虑空气阻力的影响，游客甲和乙的座椅吊绳长度不同，其中吊绳与竖直方向夹角θ较大的吊绳的长度为L，座椅与游客均可视为质点，则吊绳与竖直方向夹角θ较大的游客 A.向心力方向垂直绳子向下 B.做圆周运动的半径为Lsin θ C.对确定的座椅，θ越大，转速越大 D.对确定的座椅，θ越大，周期越大 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 游客在水平面内做匀速圆周运动，向心力方向沿水平方向并始终指向旋转飞椅的转轴，故A错误； 设转轴上方圆盘的半径为R，则游客做圆周运动的半径为r＝Lsin θ＋R，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内。已知小球与半球形碗的球心O的连线与竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，重力加速度为g，求小球做匀速圆周运动的速度大小及碗内壁对小球的弹力大小。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对小球受力分析如图所示，有 r＝Rsin θ FNcos θ＝mg 13.(2023·广东广州高一阶段练习)运球转身是运球中的一种基本方法，是篮球运动中重要进攻技术之一。拉球转身的动作是难点，由于篮球规则规定手掌不能上翻，我们将此过程理想化为如图所示的模型，薄长方体代表手掌，转身时球紧贴竖立的手掌，绕着转轴(中枢脚所在直线)做圆周运动，假设手掌和球之间的动摩擦因数为0.5，篮球质量为600 g，直径24 cm，手到转轴的距离为0.5 m，重力加速度g取10 m/s2， 取13.8，则要顺利完成此转身动作，篮球和手至少要有多大的速度 A.2.28 m/s B.2.76 m/s C.3.16 m/s D.3.52 m/s √ 尖子生选练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对篮球受力分析有：竖直方向上f＝mg 又f＝μFN BENKEJIESHU 本课结束 更多精彩内容请登录：www.xinjiaoyu.com (4)利用牛顿第二定律，根据题目条件选用公式F＝m＝mω2r＝mr。 A.μmg B. C.μm(g＋) D.μm(g－) 在最低点有，FN－mg＝m，得FN＝mg＋m，又有f＝μFN＝μ(mg＋m)＝μm(g＋)，C选项正确。 由牛顿第二定律得mgtan θ＝m或mgtan θ＝mω2r。 所以v＝＝。 ω＝＝。 答案　 细线对小球的拉力大小为F＝。 答案　 由牛顿第二定律得mgtan α＝，由几何关系得r＝Lsin α，所以，小球做匀速圆周运动线速度的大小为v＝。 小球运动的周期T＝＝2π。 答案　　2π 小球运动的角速度为ω＝＝＝， 根据F向＝m()2r可知轨道半径越小，周期越短，C错误； 根据F向＝m可知轨道半径越小，线速度越小，D正确。 由于两个小球所受合力均指向圆心，可知FA心＝＝FB心 小球对筒壁的压力FN＝，可知两球对筒壁的压力相等，B错误； A.m B.m C.m D.mg ＝m，A正确。 F1＝，F2＝mg， 则F＝＝ 如图所示，有tan θ＝，得向心力F＝mgtan θ， 选项B正确； 由mgtan θ＝得v＝，选项C错误； 绳子拉力T＝，选项D错误。 C.在A位置时，每根秋千绳的拉力大小为 D.在A位置时，每根秋千绳的拉力大小为 在A位置时，由牛顿第二定律可得2F－mg＝m F＝，故C正确，D错误。 飞机在竖直面内以声速做圆周运动在经过最低点时，根据牛顿第二定律可得F－mg＝m，飞行员所能承受的最大过载为9g，则有<9g 解得R>＝ m＝1 445 m，故选B。 A.mω2R B.m C.m D.不能确定 m m 可知h＝，即h∝，故D正确。 A.小球做匀速圆周运动的线速度为 B.小球做匀速圆周运动的线速度为 C.漏斗壁对小球的弹力为mgcos θ D.漏斗壁对小球的弹力为 mgtan θ＝m 根据几何知识得cos θ＝，解得FN＝，C错误，D正确。 解得v＝，A正确，B错误； B.线速度变为原来的 C.半径r变为原来的 D.角速度变为原来的 根据F＝mrω2，向心力不变，则r变为原来的，C错误； 根据v＝rω，线速度变为原来的，故B正确。 答案　 解得μ＝。 ω＝， T＝ 绳子拉力和游客重力的合力提供向心力，根据力的合成与分解以及牛顿第二定律有mgtan θ＝mω2r，解得ω＝＝， θ越大，ω越大，根据n＝可知转速越大，根据T＝可知周期越小，故C正确，D错误。 答案　sin θ　 mgtan θ＝ 解得v＝sin θ FN＝。 水平方向上FN＝ 其中r＝0.5 m－×0.24 m＝0.38 m 解得v＝＝2.76 m/s，故选B。 $$