第二章 导数及其应用（知识归纳与题型突破，4考点8题型）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第二册）

第二章 导数及其应用（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 01 考点归纳 考点一、导数的概念及其意义、导数的运算 考点二、导数与函数的单调性 考点三、导数与函数的极值、最值 考点四、导数的综合应用 02 知识速记 1、 导数的概念及其意义、导数的运算 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0). f′(x0)＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝y′x＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 2、 导数与函数的单调性 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上是增函数 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上是减函数 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 3、 导数与函数的极值、最值 1．函数的极值 (1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 ①f(x)<f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值； ②f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值． 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点就是在其附近函数值最大的点，极小值点就是在其附近函数值最小的点． (2)一般地，如果x0是y＝f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导，则必有f′(x0)＝0. (3)求可导函数f(x)的极值的步骤 ①确定函数的定义域，求导数f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③列表； ④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 4、 导数的综合应用 1．利用导数研究函数恒成立问题 2．利用导数证明不等式 3.利用导数研究函数的零点 03 题型归纳 题型一　导数的概念 例题：1-1．函数从到的平均变化率为（   ） A．2 B． C．3 D． 1-2．如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 巩固训练 1-1．函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D． 1-2．某物体做直线运动，其运动规律是（t的单位是秒，s的单位是米），则它在4秒末的瞬时速度等于（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．0米/秒 1-3．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数，则当d趋近于0时，表示（    ） A． 时做的功 B． 时的速度 C． 时的位移 D． 时的功率 题型二　导数的几何意义 例题：2-1．曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2-2．已知函数，且，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 巩固训练 2-1．函数的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 2-2．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 2-3．若直线与曲线相切，则（    ） A．2 B．e C． D． 题型三　导数的运算 例题：3-1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3-2．已知，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 3-1．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3-2．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3-3．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四　判断函数的单调性 例题：4-1．下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 4-2．设是定义在上的可导函数，，对任意实数，有，则的解集为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 4-1．已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4-2．已知函数在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4-3．下列函数中，是奇函数且是增函数的是（    ） A． B． C． D． 题型五　求函数的单调区间 例题：5-1．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 5-2．已知函数，则（    ） A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 巩固训练 5-1．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 5-2．若，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 5-3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 题型六　求函数的极值 例题：6-1．若函数在上有小于0的极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6-2．若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 6-1．下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 6-2．函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 6-3．已知函数在处有极大值，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型七　求函数的最值 例题：7-1．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 7-2．函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 7-1．函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 7-2．已知函数，则的最大值为（     ）. A．2 B． C． D． 7-3．函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为（    ） A．-37 B．-5 C．1 D．5 题型八　综合应用 例题：8-1．已知. (1)若恒成立，求的范围； (2)证明不等式：. 8-2．已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，求函数在区间上零点的个数． 巩固训练 8-1．已知，函数，（是自然对数的底数）． (1)讨论函数极值点的个数； (2)若对任意的恒成立，求实数的值； (3)在第（2）小题的条件下，若存在，使得，求实数的取值范围． 8-2．设函数． (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围； (3)若对任意的，都有，求实数n的取值范围． 8-3．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． (3)在区间上有两个零点，求m的范围？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 导数及其应用（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 01 考点归纳 考点一、导数的概念及其意义、导数的运算 考点二、导数与函数的单调性 考点三、导数与函数的极值、最值 考点四、导数的综合应用 02 知识速记 1、 导数的概念及其意义、导数的运算 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0). f′(x0)＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝y′x＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 2、 导数与函数的单调性 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上是增函数 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上是减函数 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 3、 导数与函数的极值、最值 1．函数的极值 (1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 ①f(x)<f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值； ②f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值． 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点就是在其附近函数值最大的点，极小值点就是在其附近函数值最小的点． (2)一般地，如果x0是y＝f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导，则必有f′(x0)＝0. (3)求可导函数f(x)的极值的步骤 ①确定函数的定义域，求导数f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③列表； ④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 4、 导数的综合应用 1．利用导数研究函数恒成立问题 2．利用导数证明不等式 3.利用导数研究函数的零点 03 题型归纳 题型一　导数的概念 例题：1-1．函数从到的平均变化率为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率定义求解即可. 【详解】函数从到的平均变化率为． 故选：B 1-2．如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【分析】由瞬时变化率的定义求解即可. 【详解】， 所以． 故选：D． 巩固训练 1-1．函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由平均变化率定义可得. 【详解】平均变化率为. 故选：C. 1-2．某物体做直线运动，其运动规律是（t的单位是秒，s的单位是米），则它在4秒末的瞬时速度等于（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．0米/秒 【答案】A 【分析】根据导数的物理意义，即可求解. 【详解】由题意可知，， 由导数的物理意义可知， 在4秒末的瞬时速度等于米/秒. 故选：A 1-3．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数，则当d趋近于0时，表示（    ） A． 时做的功 B． 时的速度 C． 时的位移 D． 时的功率 【答案】D 【分析】由题意知当d趋近于0时，表示时的功率． 【详解】由题意知当d趋近于0时，表示时的功率． 故选：D. 题型二　导数的几何意义 例题：2-1．曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的定义求给定点处的切线斜率，进而确定倾斜角大小. 【详解】因为， 所以，又切线的倾斜角的范围为，求倾斜角为. 故选：C 2-2．已知函数，且，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】∵， ∴， ∴，，解得． 故选：D. 巩固训练 2-1．函数的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数，由切点和斜率求得切线方程. 【详解】由题意，函数，可得， 所以，， 所以在处的切线方程为，即. 故选：B 2-2．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求导得到，从而得到，再利用导数的几何意义求解切线方程即可. 【详解】由，得， 所以，得，所以，， 所以，切点为. ， 所以所求切线方程为，即. 故选：A 2-3．若直线与曲线相切，则（    ） A．2 B．e C． D． 【答案】C 【分析】设切点，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】设切点为，则对求导有， 故在处切线的斜率为，则由在直线上可得， 解得，故. 故选：C 题型三　导数的运算 例题：3-1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，通过赋值逐项判断即可. 【详解】因为，所以， 则，所以， 则，所以. 故选：C 3-2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的运算法则计算即可． 【详解】由，则. 故选：D. 巩固训练 3-1．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求导公式逐个分析判断. 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C错误， 对于D，，所以D正确. 故选：D 3-2．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数求导公式得解. 【详解】由基本初等函数的求导公式知， ，，，，故ACD错误，B正确. 故选：B 3-3．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 题型四　判断函数的单调性 例题：4-1．下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导判断导函数在内是否大于等于0恒成立即可. 【详解】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误； 对B，在内大于0恒成立，故B正确； 对C，，在内不满足大于等于0恒成立，故C错误； 对D，，在内不满足大于等于0恒成立，故D错误. 故选：B 4-2．设是定义在上的可导函数，，对任意实数，有，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数导数判断函数的单调性，计算得出不等式解集； 【详解】令，则即求的解集. 由已知得，，故在上单调递减； 又由得，，故，从而. 故选：A. 巩固训练 4-1．已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为增函数，结合的定义域求解即可. 【详解】因为，所以函数在上单调递增. 又， 所以解得. 故选：C 4-2．已知函数在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，进而得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，又函数的定义域是， 当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， ，解得. 故选：C 4-3．下列函数中，是奇函数且是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义即可求解． 【详解】选项A，因为且定义域为R，函数为偶函数，故A不合题意； 选项B，由且定义域为R，函数为奇函数， 由指数函数单调性及解析式，知函数在定义域上单调递增，符合题意； 选项C，函数为奇函数且，可知函数在定义域上单调递减，故C不合题意； 选项D，函数定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，故D不合题意. 故选：B. 题型五　求函数的单调区间 例题：5-1．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导数，利用导数大于0可得答案. 【详解】函数 的定义域为 ， ， 由 得，解得 ， 所以 的单调增区间为 . 故选：B. 5-2．已知函数，则（    ） A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 【答案】B 【分析】求得，求得函数的单调区间，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得的定义域为， 且， 令，可得；令，可得或， 所以在区间内单调递减，在和内单调递增， 由，所以A错误；由，所以B正确； 由，所以C错误；由，所以D错误． 故选：B. 巩固训练 5-1函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合的解集，即可求得函数的递增区间. 【详解】由函数，可得其定义域为， 且， 令，解得，所以函数的单调增区间为． 故选：C. 5-2．若，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，令，求解再结合定义域即可． 【详解】由题可知，定义域为， ， 令得，所以的增区间为， 故选：B． 5-3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求出函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得，所以函数的单调递增区间是. 故选：B 题型六　求函数的极值 例题：6-1．若函数在上有小于0的极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导数，再按与分类，结合极值点列式求出范围. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 因此为的极值点，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 6-2．若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求函数的导数，由题意转化为导函数有两个不相等的正根，即可求解. 【详解】因为既有极大值又有极小值， 且， 所以有两个不相等的正实数解，所以且，解得且. 故选：B 巩固训练 6-1．下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据极值定义逐一分析即可. 【详解】对于：函数是实数集上的增函数，不存在极值； 对于：函数在上单调递增，不存在极值； 对于：函数在区间上单调递减，不存在极值； 对于：在上单调递增，在上单调递减， 因此是函数的极小值点，符合题意. 故选：D. 6-2．函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】利用导函数直接求解单调区间，即可得到极小值. 【详解】由题知函数的定义域为， 则. 令，得（舍去）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数的极小值为. 故选：A 6-3．已知函数在处有极大值，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先根据，求，再代入验证，即可求解. 【详解】， 由题意可知，，得或， 当时，，得或， 当，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以是极小值，故， 时，，得或， 当，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以是极大值，故. 故选：C 题型七　求函数的最值 例题：7-1．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的四则运算对函数进行求导，令求出极值点，然后分别求出与时函数的单调区间，得出当时y取最大值，从而得出结论. 【详解】已知函数，则， 令，则 ， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， ∴当时y取最大值， 故选：A. 7-2．函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数与三角函数的性质研究函数的单调性，可得答案. 【详解】由，则， 当时，，可得，则单调递增； 当时，，可得，则单调递减； 由，，，则的最小值为. 故选：A. 巩固训练 7-1．函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断出函数的单调性即可得解. 【详解】的定义域为， 所以当时，，单调递减； 当时，单调递增， 所以的最小值为． 故选：D. 7-2．已知函数，则的最大值为（     ）. A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据导函求解函数的单调性，即可求解最值. 【详解】， 由于，则， 令,即，解得，,即，解得， 因此在单调递增，在单调递减， 故， 故选：B 7-3．函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为（    ） A．-37 B．-5 C．1 D．5 【答案】A 【分析】对函数进行求导，判断其单调性和最值，根据最大值为3求出，进而根据单调性可得其最小值. 【详解】由，得， 故当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 故当时，取得最大值，即，此时， 当，，当时， 故最小值为. 故选：A. 题型八　综合应用 例题：8-1．已知. (1)若恒成立，求的范围； (2)证明不等式：. 【详解】（1）， 当时，不等式显然成立， 当时，恒成立，令，则 因此时，，时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以当时，， 当时，恒成立，令，此时恒成立， 所以在单调递减，而时，且， 所以当时，， 综上. （2）由（1）知恒成立，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时成立， 所以 所以. 所以. 8-2．已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，求函数在区间上零点的个数． 【详解】（1）定义域为，且， 令，得． 当x变化时，，的变化情况如下表： x + 0 极大值 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可知的最大值为， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 又，故在区间上只有一个零点． ②当时，，， 则，所以在区间上无零点． 综上，当时，在区间上只有一个零点， 当时，在区间上无零点． 巩固训练 8-1．已知，函数，（是自然对数的底数）． (1)讨论函数极值点的个数； (2)若对任意的恒成立，求实数的值； (3)在第（2）小题的条件下，若存在，使得，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，由知单调递增，所以极值点的个数为； 当时，对有，对有， 所以在上递减，在上递增，所以恰有个极值点. 综上，当时，极值点的个数为； 当时，极值点的个数为； （2）根据已知有，所以，故. 此时由（1）中得到的单调性，可知仅在处取得最小值. 假设，则，但，这导致矛盾，所以，即. 当时，由（1）中得到的单调性知在处取得最小值，所以，确实满足条件. 综上，的值为. （3）此时，，根据（2）的结论，我们有. 设，则. 再设，则. 情况一：若，则对有，故在上递增，从而对有. 从而在上递增，这就意味着对都有. 从而对任意，都有，不满足条件； 情况二：若，令是两个正数和中较小的一个，则对有. 故在上递减，从而对有. 从而在上递减，这就意味着，所以存在使得，满足条件. 综合以上两种情况，可知的取值范围是. 8-2．设函数． (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围； (3)若对任意的，都有，求实数n的取值范围． 【详解】（1）由题意得， ∴的最小值为， 即． （2）记，， 则． 令，得或（舍去）． 当t变化时，，的变化情况如下表所示． t 1 + 0 极大值 ∴在内有最大值． ∵对任意恒成立， ∴对任意恒成立， ∴，∴． ∴实数m的取值范围为． （3）∵， ∴． 令，得或（舍去）． 当时，，递增； 当时，，递减， ∴当时，． 令，，则． 由题意可知， 解得． ∴实数n的取值范围为． 8-3．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． (3)在区间上有两个零点，求m的范围？ 【详解】（1）由题可得， 令，解得或， 令，解得， 令，解得或， 所以的单调减区间为；单调增区间为，. （2）因为的单调减区间为，单调增区间为，， 由于，则在上无零点； 由于，则在上无零点； 由于，则在上存在唯一零点； 综上，函数在上存在唯一零点. （3）若在区间上有两个零点， 则函数与在区间上有两个交点； 由(1)知，在上单调递增，上单调递减； ，，， 所以函数与在区间上有两个交点，则， 即在区间上有两个零点，则的范围为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$