第五章 专题强化 运动的合成与分解应用实例-（配套课件）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（人教版）浙江

DIWUZHANG 第五章 专题强化　运动的合成与分解应用实例 1.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题(重点)。 2.会分析小船渡河问题的两个分运动，会求渡河的最短时间和最短位移(重难点)。 3.能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题(重点)。 4.掌握常见的绳关联模型和杆关联模型的速度分解的方法(重点)。 学习目标 2 一、小船渡河模型 二、关联速度模型 专题强化练 学习目标 内容索引 3 一 小船渡河模型 4 如图所示为一条宽为d的大河，小明驾着小船从A点出发，欲将一批货物运送到对岸。已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船。 (1)渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？ 答案　①船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与河岸垂直。 ②船随水漂流的运动。 (2)怎么求解小船渡河过程所用的时间？小船如何渡河时间最短？最短时间为多少？此时渡河位移为多大？ 答案　由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，用河的宽度除以垂直于河岸方向的速度得出过河时间。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。 (3)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移为多大？ 答案　情况一：v水<v船 情况二：v水>v船 如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。 (4)小船渡河时间的长短与水流速度是否有关？ 答案　无关。 　某地进行抗洪抢险演练时，把一布娃娃放在一木盆(视为质点)中随河水流动，抢险战士发现这一情况时，抢险船(视为质点)和木盆的连线与河岸垂直，木盆到两岸的距离相等，两河岸平行，如图所示。抢险船在静水中的速度为5 m/s，河宽为300 m，河水流速为3 m/s，不计战士的反应时间和船的发动时间，则最短的救援时间(船 到达木盆的时间)为 A.30 s B.60 s C.75 s D.100 s 例1 √ 船与木盆在水中都随水一起向下游运动，向下游运动的速度相等，所以若要救援的时间最短，则船头的方向始终指向木盆。 　小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6) (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？ 例2 答案　40 s　正对岸下游120 m处　 当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动， 小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。 (2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？ 答案　船头指向与河岸的上游成53°角　50 s　 要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示， (3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？ 答案　船头指向与河岸的上游成60°角 如果水流速度变为10 m/s，如图乙所示， 要使小船航程最短，应使v合′的方向垂直于v船， 故船头应偏向上游，与河岸成θ′角， 解得θ′＝60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。 二 关联速度模型 16 如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。 (1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？ 答案　不相等。如图，船的位移x船大于车的位移x车＝l1－l2。 (2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？ 答案　不相等，船的速度大于车的速度。 (3)从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？ 答案　如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。 (4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？ 梳理与总结 1.分析绳(杆)关联速度问题时，需要注意：应该分解物体的实际运动速度，即 。 分解方法：将物体的实际速度分解为 和 的两个分量。 2.常见的速度分解模型 情景图示 定量结论   v＝v∥＝__________ v物cos θ 合速度 垂直于绳(杆) 沿绳(杆)   v物′＝v∥＝_________   v∥＝v∥′ 即___________________   v∥＝v∥′ 即_____________________ v物cos θ v物cos θ＝v物′cos α v物cos α＝v物′cos β 　如图所示，汽车通过绳子绕过定滑轮连接重物M一起运动，不计滑轮摩擦和绳子质量，已知汽车以v匀速向左运动，绳子与水平方向夹角为θ，重物M的速度用vM表示。则 A.重物做匀速运动 B.重物做匀变速运动 C.vM＝vcos θ D.v＝vMcos θ 例3 √ 将汽车的速度分解为沿绳子方向的分速度和垂直 于绳子方向的分速度，则有vM＝vcos θ，由于运 动过程θ减小，cos θ增大，则重物M的速度vM增 大，重物M做加速运动。假设绳子足够长，经过足够长的时间，θ趋近于0°，cos θ趋近于1，vM趋近于v，可知重物并不是做匀加速运动，C正确，A、B、D错误。 　在固定斜面体上放置物体B，B物体用绳子通过定滑轮与物体A相连，A穿在光滑的竖直杆上，当B以速度v0匀速沿斜面体下滑时，使物体A到达如图所示位置，绳与竖直杆的夹角为θ，连接B的绳子始终与斜面体平行，则物体A上升的速度是 例4 √ 　(多选)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，在如图位置，下列说法正确的是 例5 √ √ 设此时轻杆与竖直方向的夹角为θ， 则v1在沿杆方向的分量为v1∥＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥， 当甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。 三 专题强化练 考点一　小船渡河模型 1.(多选)下列选项图中的实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础对点练 √ √ 13 2.(2023·绍兴市高一统考期末)汽艇以18 km/h的速度沿垂直于河岸的方向匀速向对岸行驶，已知河宽500 m，如果河水的流速为3.6 km/h，下列说法正确的是 A.汽艇行驶到对岸所需时间约28 s B.汽艇恰好行驶到正对岸的P点靠岸 C.汽艇行驶到正对岸P点的上游100 m处靠岸 D.汽艇行驶到正对岸P点的下游100 m处靠岸 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 汽艇沿河岸方向的位移为x＝v2t＝100 m，可知汽艇行驶到正对岸P点的下游100 m处靠岸，故B、C错误，D正确。 13 3.(2023·杭州市高一校考阶段练习)某游泳爱好者横渡富春江，他以恒定的速度向对岸游去，面部朝向始终保持与河岸垂直。设江中各处水流速度相等，他游过的路程、过河所用的时间与水速的关系是 A.水速变大后，路程变长，时间不变 B.水速变大后，路程变长，时间变长 C.水速变大后，合速度变大，时间变短 D.路程、时间与水速无关 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在垂直于河岸方向上，游泳者的速度恒定不变，河的宽度一定，所以其过河所用时间一定，不受水速影响。水速变大后，合速度变大，由于时间一定，则路程变长。故A正确，B、C、D错误。 13 4.(多选)在一次渡河的实战演练中，指挥部要求红、蓝两个队按不同的要求渡过一条宽为200 m的河道，假设河中水流是均匀的，水的流动速度为3 m/s，战士用的船在静水中的速度为5 m/s，现要求红队以最短时间到达对岸，蓝队到达正对岸，忽略船启动及减速的时间，下列说法中正确的是 A.蓝队要到达正对岸应使船头方向朝着正对岸划船 B.红队要以最短时间到达对岸应使船头朝着正对岸划船 C.蓝队完成任务到达对岸用时40 s D.红队完成任务到达对岸的最短时间为40 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 蓝队要到达正对岸，则合速度方向应该指向正对岸，则应使船头方向朝着对岸偏上游方向划船，选项A错误； 红队要以最短时间到达对岸，则船头应该指向正对岸，即应使船头朝着正对岸划船，选项B正确； 13 5.某次抗洪救灾中，救援人员发现一被困在车顶的人员，车不动但周围的水在流动，水流方向与安全区域平行，如图所示，已知车离安全区域的距离d＝20 m，救援人员乘皮筏从安全区域边缘去救援，皮筏相对静水的速度大小v1＝1 m/s，水流速度大小v2＝2 m/s， 皮筏和车均视为质点，求： (1)皮筏运动到车旁的最短时间t； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　20 s　 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得t＝20 s。 13 (2)在(1)中皮筏运动的位移大小x。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知皮筏垂直水流方向的位移大小x1＝d＝20 m 沿水流方向的位移大小x2＝v2t＝40 m 13 考点二　关联速度模型 6.用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，如果保持绳子的速度v不变，则小船的速度 A.不变 B.逐渐增大 C.逐渐减小 D.先增大后减小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 13 7.如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未画出)，关于两球速度vA和vB的关系，下列说法正确的是 A.若θ＝30°，则A、B两球的速度大小相等 B.若θ＝60°，则A、B两球的速度大小相等 C.vA＝vBtan θ D.vA＝vBsin θ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知(如图所示)，沿杆方向两分速度大小相等，vAcos θ＝vBsin θ，即vA＝vBtan θ，故C正确，D错误。 当θ＝45°时，vA＝vB，故A、B错误。 13 8.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过光滑轻质定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA＝10 m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 物体B的速度可分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB∥＝vBcos 30°，由于绳不可伸长，有vB∥＝vA，故vA＝vBcos 30°， 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.如图甲所示，小球A与小球B用跨搭在一半球形容器壁上边缘的轻绳相连接，半球形容器壁的上边缘是光滑的，小球A位于半球形容器的内壁靠近上边缘处，小球B位于半球形容器外，将小球A由静止释放牵引小球B运动，当小球A运动至半球形容器底部时(如图乙所示)，小球B的速度是v，则此时A的速度为 能力综合练 √ 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 将小球A的速度分解为沿轻绳方向的速度和垂直轻绳方向的速度，则沿轻绳方向的速度等于小球B的速度v， 13 10.(多选)(2023·浙江省高一期末)如图，小船在静水中的速度为v1＝6 m/s，小船在A处，船头与上游河岸夹角θ＝60°过河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝240 m，小船在静水中速度大小不变，水流的速度不变，则下列说法中正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C.小船最短的渡河时间为30 s D.若小船在渡河过程中，水流速度突然增大，则小船渡河时间不变 √ √ 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知，小船正好到达正对岸B处，船头应 朝上游，与上游河岸方向成θ角，则v1cos θ＝v2， 解得河中水流速度为v2＝3 m/s，故A错误； 渡河时间与水流速度无关，若小船在渡河过程中，仅水流速度突然增大，则小船渡河时间不变，故D正确。 13 11.如图所示，有人在河面上方20 m的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳，使小船靠岸，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，那么 A.5 s时绳与水面的夹角为60° B.5 s时小船前进了15 m C.5 s时小船的速率为5 m/s D.5 s时小船到岸边距离为10 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设5 s时拉船的绳与水平方向夹角为θ， 13 12.一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s。 ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若v2＝5 m/s，船速大于水速。 欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向；当船头垂直河岸时，如图甲所示 13 ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，如图乙所示 有v2sin α＝v1 得α＝30° 所以当船头与上游河岸夹角为60°时航程最短 x2＝d＝180 m 13 (2)若船在静水中的速度v2′＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　船头应朝上游与河岸成53°角方向　150 s　300 m 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若v2′＝1.5 m/s，船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为θ， 欲使航程最短，需使θ最大，如图丙所示，以v1矢量末端为圆心，v2′大小为半径作圆，出发点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合″与水平方向夹角最大，应使v合″与圆相切，即v合″⊥v2′ 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得θ＝37° 所以船头应朝上游与河岸夹角为53°方向 13 13.(2023·宁波市高一期中)经过治理的护城河成为城市的一大景观，河水看似清浅，实则较深。某次落水救人的事件可简化如图，落水孩童抓住绳索停在A处，对面河岸上的小伙子从B处沿直线匀速游到A处，成功把人救起。河宽和间距如图中标注，假定河水在各处的流速均为1 m/s，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则 A.游泳时小伙子面对的方向是合运动的方向 B.小伙子在静水中游泳的速度至少应为0.6 m/s C.小伙子渡河的时间为16 s D.若小伙子总面对着A处游，其轨迹为一条曲线且到达不了A处 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 尖子生选练 √ 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 游泳时小伙子面对的方向是分运动的方向，其速度与人在静水中的速度相等，A错误； 由于分速度与合速度的关系满足平行四边形定则，根据几何关系可知，小伙子在静水中游泳的速度的最小值为vmin＝v水sin θ＝0.6 m/s，B正确； 渡河的速度方向不能确定，则合速度大小不能确定，则小伙子渡河的时间不确定，C错误； 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若小伙子总面对着A处游，且速度一定时，由于两个匀速直线运动的合运动仍然为匀速直线运动，可知，其轨迹为一条直线，根据运动的合成可知，此时其合速度方向指向A点右侧，即到达不了A处，D错误。 13 BENKEJIESHU 本课结束 更多精彩内容请登录：www.xinjiaoyu.com 由图可知，tmin＝，此时船渡河的位移大小x＝，位移方向满足tan θ＝。 最短的位移为河宽d，此时合速度垂直河岸。 船头与上游河岸夹角θ满足：v船cos θ＝v水， 如图所示。渡河所用时间t＝。 由图可知sin α＝，最短位移为x＝＝d。此时船头指向应与上游河岸成 θ′角，且cos θ′＝。 所以最短的时间为tmin＝＝ s＝30 s，故选A。 故渡河时间t＝＝ s＝40 s， 则v合＝＝4 m/s，经历时间t′＝ ＝ s＝50 s 又cos θ＝＝＝0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。 有cos θ′＝＝， 答案　由v＝v船cos α得v船＝。 A.v0sin θ B. C.v0cos θ D. 将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，如图所示，根据平行四边形定则得v0＝vcos θ，解得v＝，故D正确，A、B、C错误。 A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3 B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶7 C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D.甲球即将落地时，乙球的速度为零 题图所示位置时，有cos θ＝，sin θ＝， 解得此时甲、乙两球的速度大小之比为＝，故A错误，B正确； 汽艇速度为v1＝18 km/h＝5 m/s，河水的流速为 v2＝3.6 km/h＝1 m/s，汽艇行驶到对岸所需时间 为t＝＝ s＝100 s，故A错误； 蓝队完成任务到达对岸用时t1＝＝＝ s＝50 s，选项C错误； 红队完成任务到达对岸的最短时间为t2＝＝ s＝40 s，选项D正确。 皮筏方向垂直于水流方向时时间最短，t＝ 答案　20 m 由几何关系知x＝ 解得x＝20 m。 小船的速度v船＝，θ为绳与水平面的夹角，随着θ增大，cos θ减小，故小船的速度逐渐增大，B对。 A.5 m/s B. m/s C.20 m/s D. m/s 所以vB＝＝ m/s，故选D。 A.v B.2v C.v D.v 则由速度的分解可得vAcos 45°＝v，解得vA＝v，故选C。 A.河中水流速度为3 m/s B.小船的渡河时间为 s 小船的渡河时间为t＝＝ s＝ s，故B正确； 小船以最短时间渡河，船头应垂直对岸，则tmin＝＝ s＝40 s，故C错误； 5 s内人前进的距离s＝vt＝3×5 m＝15 m,5 s时定滑轮到船的距离l′＝－15 m＝25 m， 则sin θ＝＝，由此可知，θ＝53°， cos θ＝，解得v船＝5 m/s，小船到岸边的距离s1＝＝15 m， 则5 s时小船前进的距离为s2＝－s1＝(20－15) m，故A、B、D错误，C正确。 答案　船头应朝垂直河岸方向　36 s　90 m　 tmin＝＝ s＝36 s v合＝＝ m/s  x1＝v合tmin＝90 m 答案　船头与上游河岸成60°角　24 s　180 m t＝＝＝24 s 则航程x3＝ sin θ＝＝ t′＝＝＝150 s  x3＝＝300 m。 令AB连线与河岸夹角为θ，则有tan θ＝＝，解得θ＝37°， $$