第2章 专题强化3 等分法的应用 电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题-（配套word）2023-2024学年高一新教材物理必修第三册 【步步高】学习笔记（鲁科版）

专题强化3　等分法的应用　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题 [学习目标]　1.进一步熟悉电场强度的三个表达式及适用条件，并在具体问题中正确选用公式解决有关问题。2.学会利用等分法确定等势面和电场线(重难点)。3.学会根据电场线或等势面确定带电粒子的受力情况，从而判断其运动轨迹进而判断带电粒子的能量变化(重点)。 一、电场强度的三个表达式 电场强度的三个表达式的比较： 1．E＝。定义式，适用于一切电场，其中q为试探电荷的电荷量，E与q无关。 2．E＝k。点电荷场强公式，仅适用于真空中静止点电荷，其中Q为场源电荷的电荷量，E与Q成正比。 3．E＝。匀强电场场强与电势差的关系式，适用于匀强电场的定量计算，也可用于非匀强电场的定性分析，其中d为沿电场方向的距离。 例1　如图所示为一个水平的匀强电场，在电场内某水平面上作一个半径为10 cm的圆，在圆周上取如图所示的A、B、C三点，已知A、B两点间电势差为1 350 V，(k＝9.0×109 N·m2/C2) (1)求匀强电场的场强大小； (2)若在圆心O处放置电荷量为10－8 C的正点电荷，求C点电场强度的大小和方向。(结果保留三位有效数字) 答案　(1)9 000 V/m (2)1.27×104 N/C　方向与水平方向成45°斜向右上 解析　(1)由题图知A、B两点沿匀强电场方向的距离 d＝r＋r·cos 60°＝0.15 m， 所以匀强电场的场强大小为E＝＝9 000 V/m。 (2)设正点电荷在C处产生的电场强度大小为E1，则 E1＝＝9×103 N/C，方向由O指向C。 C处另有匀强电场，场强大小E＝9×103 N/C，方向水平向右，与E1垂直，根据场强叠加原理，C处合电场的场强大小为E′＝≈1.27×104 N/C，方向与水平方向成45°斜向右上。 二、等分法确定等势面和电场线 1．“等分法”及其应用原理 在匀强电场中，沿任意一个方向电势降低均是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间的电势差相等，如果把某两点间的距离等分为n段，则每段线段两端点的电势差等于原电势差的，像这样采用等分间距求电势的方法，叫作“等分法”。由此可知，在匀强电场中，长度相等且相互平行的线段两端点间的电势差相等。 结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。 结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且＝，则UAB＝UCD，如图乙所示。 2．确定电场方向的方法 先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。 例2　(2022·湖北宜昌部分示范高中高二期中)如图所示，在匀强电场中有a、b、c、d四点，它们处于同一圆周上，且ac、bd分别是圆的直径。已知a、b、c三点的电势分别为φa＝9 V，φb＝15 V，φc＝18 V，则d点的电势为(　　) A．4 V B．8 V C．12 V D．16 V 答案　C 解析　方法一　根据几何知识知，ab长度等于dc长度，且线段ab平行于线段cd，根据在匀强电场中平行相等两线段端点之间的电势差相等，则φb－φa＝15 V－9 V＝φc－φd＝18 V－φd，可得φd＝12 V，故C正确。 方法二　ac、bd的中点都是圆心O，故φa＋φc＝φb＋φd，解得φd＝12 V，故C正确。 例3　(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是(　　) A．电场强度的大小为2.5 V/cm B．坐标原点处的电势为1 V C．电子在a点的电势能比在b点的电势能低7 eV D．电子从b点运动到c点，静电力做功为9 eV 答案　ABD 解析　如图所示，设a、c之间d点的电势与b点相同，则＝＝，解得d点的坐标为(3.5 cm,6 cm)，则直线bd为等势线，过c点作bd的垂线，交点为f，由几何关系可得cf的长度为3.6 cm，则电场强度的大小E＝ V/cm＝2.5 V/cm，A对；因为四边形Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb，解得坐标原点O处的电势为1 V，B对；a点电势比b点电势低，电子在a点处的电势能比在b点处的电势能大，C错；电子从b点运动到c点，静电力做功为(26－17) eV＝9 eV，D对。 三、电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题 带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法： 1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向。 2．判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断该点处电场强度的方向。 3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。 4．判断粒子动能的增减：可以根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。 例4　如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在静电力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是(　　) A．vM＜vN，aM＜aN B．vM＜vN，φM＜φN C．φM＜φN，EpM＜EpN D．aM＜aN，EpM＜EpN 答案　D 解析　由粒子的运动轨迹知粒子所受静电力的方向偏向右，因粒子带负电，故电场线方向偏向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，由Ep＝qφ和能量守恒知，带负电的粒子在电势低的位置，具有的电势能大，而动能小，即EpM<EpN，vM>vN；N点附近电场线比M点密，故场强EM<EN，由加速度a＝知aM<aN，故选项D正确。 例5　如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，实线为一带负电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，R同时在等势面b上，据此可知(　　) A．三个等势面中，c的电势最低 B．带电质点在P点的电势能比在Q点的小 C．带电质点在P点的动能与电势能之和比在Q点的小 D．带电质点在R点的加速度方向垂直于等势面b 答案　D 解析　根据曲线运动的规律，可知质点受到的电场力指向轨迹的凹侧；根据电场线与等势面垂直，过P点作一条电场线，则质点在P处的受力方向如图所示，质点带负电，可知三个等势面中，a的电势最低，A错误；负电荷在电势低处电势能大，B错误；由于质点运动过程中只有电场力做功，所以质点的电势能与动能之和保持不变，C错误；带电质点在R点的受力方向沿着电场线的切线方向，电场线与等势面垂直，D正确。 专题强化练 1．关于电场强度的公式①E＝k、②E＝、③E＝，下列说法正确的是(　　) A．它们均只对点电荷的电场成立 B．①②只对点电荷的电场成立，③只对匀强电场成立 C．①只对点电荷的电场成立，②对任何电场均成立，③只对匀强电场成立 D．①只对点电荷的电场成立，②③对任何电场均成立 答案　C 解析　公式②是电场强度的定义式，适用于所有电场；而两个点电荷间相互作用力，根据库仑定律F＝k，代入②式得出①式的表达式，因此①是由两个点电荷间作用力推出的，故只适用于点电荷的电场，而③式是电荷在匀强电场中运动时，电场力做功Edq＝Uq，推出③式，因此③式只适用于匀强电场，C正确，A、B、D错误。 2．(2022·上海市七宝中学高一期末)如图所示，实线表示电场线，虚线表示带电粒子运动的轨迹，带电粒子只受电场力作用，运动过程中电势能减小，它运动到b处时的运动方向与受力方向可能的是(　　) 答案　C 解析　粒子所受的电场力大体指向轨迹弯曲一侧，则粒子所受电场力的方向向右，因不知电场线的方向，不能判断粒子的电性；由于运动过程中粒子的电势能减小，所以电场力做正功，电场力与速度方向成锐角，故选C。 3.(多选)(2023·福建厦门大同中学阶段练习)某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是(　　) A．粒子必定带正电荷 B．粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度 C．M点的电势小于N点的电势 D．粒子在M点的电势能大于它在N点的电势能 答案　AD 解析　粒子所受电场力指向轨迹凹侧，且和电场线的切线在同一条直线上，则由题图可知粒子必定带正电荷，故A正确；电场线越稀疏的位置电场强度越小，所以粒子在M点所受的电场力小于它在N点所受的电场力，则粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度，故B错误；根据沿电场线方向电势降低可知M点电势高于N点电势，故C错误；粒子带正电，根据Ep＝qφ可知粒子在M点的电势能大于它在N点的电势能，故D正确。 4．(多选)如图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列示意图中，能正确表示该电场强度方向的是(　　) 答案　BC 解析　匀强电场中将任一线段等分，则电势差等分，将AB等分为三段，AB间电压为3 V，则每等分电压为1 V，H点电势为4 V，F点电势为3 V，将FC相连，则FC为等势线，电场线垂直于FC，由高电势指向低电势，C正确；将AC相连，等分为两份，AC间电压为2 V，则G点电势为4 V，GH为等势线，电场线垂直于GH，由高电势指向低电势，B正确。 5．(多选)(2023·陕西礼泉县第二中学高二月考)如图所示，实线MN是正点电荷Q产生的一条电场线(方向未画出)，虚线abc是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹。下列说法正确的是(　　) A．正点电荷Q可能在M侧，也可能在N侧 B．电子可能是从a向c运动，也可能是从c向a运动 C．电子在a点时的加速度与在b点时的加速度相同 D．电子在b点时的电势能小于在c点时的电势能 答案　BD 解析　电子轨迹在电场中是一条曲线，电子受到的电场力指向曲线凹侧，正点电荷在M侧，故A错误；电子在指向曲线凹侧电场力作用下可能是从a向c运动，也可能是从c向a运动，故B正确；电子轨迹是曲线，电子在a点时的电场力与在b点时的电场力不相同，根据牛顿第二定律可知电子在a点时的加速度与在b点时的加速度也不相同，故C错误；若电子从b向c运动，电子在b点的电场力方向沿bM，与b点的速度方向夹角为钝角，电场力做负功，电势能增加，所以电子在b点时的电势能小于在c点时的电势能，故D正确。 6.在匀强电场中建立一直角坐标系，如图所示。从坐标原点沿y轴正方向前进0.2 m到A点，电势降低了10 V，从坐标原点沿x轴正方向前进0.2 m到B点，电势升高了10 V，则匀强电场的场强为(　　) A．50 V/m，B→A B．50 V/m，A→B C．100 V/m，B→A D．100 V/m，垂直AB斜向下 答案　C 解析　如图所示，连接A、B两点并找到AB的中点C，由题意知φC＝φO，连接OC，则OC为等势线。由几何关系可知，lAB＝lOA＝ m，OC垂直于AB，故AB是匀强电场中的一条电场线，则UBA＝20 V，E＝＝100 V/m，方向由B指向A，故C正确。 7.(2023·福建三明市一中期中)一种电子透镜的电场分布如图所示，虚线为等差等势面，一电子在其中运动的轨迹如图中实线所示，a、b是轨迹上的两点，则(　　) A．a点的电场强度大于b点的电场强度 B．b点的电场强度的方向水平向右 C．a点的电势高于b点的电势 D．电子在a点的电势能大于在b点的电势能 答案　C 解析　a点等差等势面比b点稀疏，则a点的电场强度小于b点的电场强度，故A错误；由于电场线垂直于等势面，则b点电场强度方向垂直等势面沿水平方向，电子轨迹为曲线，所受静电力指向轨迹凹侧，则b点电场强度的方向水平向左，故B错误；沿着电场线方向，电势逐渐降低，电场线由高等势面指向低等势面，电场线方向向左，则a点电势高于b点电势，故C正确；因为φa>φb，电子在电势低的地方电势能大，在电势高的地方电势能小，则电子在a点的电势能小于在b点的电势能，故D错误。 8.(多选)如图所示，为某一点电荷所形成的一簇电场线，a、b、c三条虚线为三个带电粒子以相同的速度从O点射入电场的运动轨迹，其中b虚线为一圆弧，AB＝BC，且三个粒子的电荷量大小相等，不计粒子重力及相互作用力，则下列说法正确的是(　　) A．a一定是正粒子的运动轨迹，b和c一定是负粒子的运动轨迹 B．a对应的粒子的加速度越来越小，c对应的粒子的加速度越来越大，b对应的粒子的加速度大小不变 C．由于AB＝BC，故UAB＝UBC D．c对应的粒子的速度在增大，电势能在减小 答案　BD 解析　由题图中的电场线无法判断方向，所以不能判断出a、b、c三种粒子的电性，同时也无法判定各点电势高低，故A错误；根据电场线的疏密说明电场强度的大小，粒子只受静电力，由a＝知，B正确；由于B、C之间的电场强度大于A、B之间的电场强度，根据U＝Ed知，C错误；由题图可知，c对应的粒子受大致向右的电场力，则电场力对粒子c做正功，则D正确。 9．(2023·湖北武汉市三中高二期中)现为了测量出平行于纸面但具体方向未知的匀强电场的电场强度E，用仪器在纸面内沿互成60°角的OA、OB两个方向探测各点电势，得到各点电势φ与到O点距离的函数关系如图所示(O点为零电势点)，则该电场强度E的大小和方向为(　　) A．E＝200 V/m，沿AO方向 B．E＝200 V/m，沿∠AOB角平分线向下 C．E＝200 V/m，与∠AOB的角平分线垂直向右 D．E＝200 V/m，沿BO方向 答案　C 解析　设OA上距离O点2 cm处的点为C，OB上距离O点2 cm处的点为D，由图像可得，C点的电势为2 V，D点的电势为－2 V，将CD相连，中点的电势φ中＝＝＝0，可见CD的中点与O点电势相等，将两点相连，所在直线即为等势线，即∠AOB的角平分线为等势线，则电场强度方向垂直于∠AOB的角平分线，又因为沿电场线电势降低，所以电场强度方向垂直于∠AOB的角平分线向右，大小为E＝＝＝200 V/m，故选C。 10.如图，边长为1 cm的立方体abdc－fgih处于匀强电场中，d、c两点间电势差Udc＝3 V，d、b两点间电势差Udb＝3 V。若一电子从b到g电场力做功为零，则(　　) A．b、g两点间的电势差为零 B．匀强电场的方向由d指向c C．a、b两点间的电势差Uab＝3 V D．匀强电场的电场强度E＝300 V/m 答案　A 解析　由于电子从b到g电场力做功为零，因此b、g两点间的电势差一定为零，A正确；根据Udc＝Udb＝3 V，知b、c间电势差为零，所以bchg为等势面，电场线与等势面垂直，Udb>0，因此匀强电场的方向由d指向a，B错误；d、b两点间电势差Udb＝3 V，根据对称性，a、b两点间的电势差Uab＝－3 V，C错误；根据E＝，匀强电场的电场强度E＝＝300 V/m，D错误。 11.(多选)如图，在匀强电场中，A、B、C、D、E、F位于边长为L＝2 cm 的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面。已知A、B、C、D的电势分别为－4 V、0、8 V、12 V，则下列说法正确的是(　　) A．E点的电势φE＝8 V B．A、F间的电势差UAF＝4 V C．C、F间的电势差UCF＝－8 V D．该匀强电场的电场强度大小E＝400 V/m 答案　AD 解析　连接AD、BF、CE，AD与BF、CE的交点分别为M、N。设六边形的中心点为O，如图所示： 由图可知，AD与BF、CE都垂直，由正六边形的特点可知，AM＝MO＝ON＝ND，所以可知M、O、N的电势分别是0、4 V、8 V，所以BF和CE为等势面，则φF＝φB＝0，φE＝φC＝8 V，故A正确；A、F间电势差为UAF＝φA－φF＝－4 V－0＝－4 V，故B错误；C、F间电势差为UCF＝φC－φF＝8 V－0＝8 V，故C错误；BF为等势面，故电场线和BF垂直，故AD为电场线，因为沿着电场线方向电势降低，所以电场线方向由D指向A，即电场线垂直于BF连线，且指向A，该匀强电场的电场强度大小E＝＝ V/m＝400 V/m，故D正确。 12.(2022·广东广州六中高二期末)存在匀强电场的空间中有一边长为2 cm的正四面体ABCD，如图所示。已知UAC＝UBC＝3 V，电场方向平行于底面ABC，则(　　) A．A、B两点处的电势不相等 B．电场强度大小为1 V/m C．电场强度大小为100 V/m D．C、D两点的电势差UCD＝2 V 答案　C 解析　因为UAC＝UBC＝3 V，所以AB连线为等势线，过C点作底边AB的垂线，垂足为F，则FC即为匀强电场的电场线，如图所示，由几何知识知FC＝3 cm，则匀强电场电场强度大小E＝ V/m＝100 V/m，过D点作FC的垂线，垂足为G，则CG＝FC，所以UDC＝UGC＝UAC＝2 V，则C、D两点的电势差UCD＝－UDC＝－2 V，故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $$