第二章 专题强化 水平面内的圆周运动的临界问题-（配套word）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（教科版）

专题强化　水平面内的圆周运动的临界问题 [学习目标]　1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会找它们的临界条件(重点)。2.掌握圆周运动临界问题的分析方法(重难点)。 物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 1．水平面内的圆周运动常见的临界问题： (1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。 (2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。 (3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 (4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。 2．解题关键： (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 例1　如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是(　　) A．A的向心加速度最大 B．B和C所受摩擦力大小相等 C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动 D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动 答案　C 解析　A、B、C三物体角速度相同，an＝ω2r，则物体C的向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，fB＝mω2R，fC＝mω2·(2R)，物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B错误；物体恰好滑动时，kmg＝mω2r，可得ω＝，故滑动的临界角速度与质量无关，r越大，临界角速度越小，故物体C先滑动，A、B同时滑动，选项C正确，D错误。 例2　(多选)(2023·成都市高一校考期中)如图所示，在竖直的转动轴上，a、b两点间距为40 cm，细线ac长50 cm，bc长30 cm，在c点系一质量为m的小球，重力加速度为g，在转动轴带着小球转动的过程中，下列说法正确的是(　　) A．在细线bc拉直前，小球受到细线ac的拉力、重力和向心力三个力的作用 B．细线bc刚好拉直时，细线ac中拉力为1.25mg C．细线bc拉直后转速增大，细线ac拉力增大 D．细线bc拉直后转速增大，细线bc拉力增大 答案　BD 解析　在细线bc拉直前，小球受到细线ac的拉力、重力作用，两个力的合力作为向心力，A错误；细线bc刚好拉直时，细线bc上还没有拉力，细线ac与竖直方向的夹角满足cos θ＝，小球在竖直方向由平衡条件可得Tcos θ＝mg，解得细线ac拉力为T＝1.25mg，B正确；细线bc拉直后转速增大的过程，小球竖直方向始终满足B选项解析中的平衡方程，故细线ac拉力不变，C错误；水平面上由牛顿第二定律可得mgtan θ＋T′＝mrω2，细线bc拉直后转速增大，细线bc拉力T′增大，D正确。 例3　(2023·内江市期中)如图所示，水平转台上有一质量为m的小物块，用长为L的细绳连接在通过转台中心的竖直转轴上，细绳与转轴间的夹角为θ，系统静止时，细绳刚好伸直但绳中张力为零。已知物块与转台间动摩擦因数为μ，重力加速度用g表示，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当物块随转台由静止开始缓慢加速转动且未离开转台的过程中，求： (1)绳子刚好对物块有拉力时，转台的线速度大小； (2)转台对物块支持力刚好为零时，转台的周期。 答案　(1)　(2)2π 解析　(1)绳子刚有拉力时有μmg＝m 物块做匀速圆周运动的半径r＝Lsin θ 解得v＝ (2)转台对物块支持力恰好为零时，设绳子拉力大小为F，对物块受力分析得Fcos θ＝mg Fsin θ＝m()2r 物块做匀速圆周运动的半径r＝Lsin θ 解得T＝2π。 例4　(2023·眉山市校考)如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ＝60°，一条长度为L的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球(可看成质点)，小球以角速度ω绕圆锥体的轴线在水平面上做匀速圆周运动，重力加速度为g。求： (1)小球静止时所受拉力和支持力的大小； (2)小球刚要离开圆锥体时的角速度ω0； (3)小球以ω1＝的角速度转动时所受拉力和支持力的大小。 答案　(1)mg　mg　(2)　(3)3mg　0 解析　(1)由小球受力分析可知 T＝mgcos θ＝mg N＝mgsin θ＝mg (2)小球刚要离开圆锥体时N＝0，由重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 mgtan θ＝mrω02 r＝Lsin θ 解得ω0＝＝ (3)因为ω1＝ >ω0＝ 说明小球已离开圆锥体，所受支持力N′＝0 设此时绳与竖直方向的夹角为α，如图所示 则有T′sin α＝mω12Lsin α 解得T′＝3mg。 专题强化练 1．(2023·南通市高一期末)一个杯子放在水平餐桌转盘上随转盘做匀速圆周运动，角速度恒定，则(　　) A．杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用 B．杯子受到的摩擦力方向始终指向转盘中心 C．杯子离转盘中心越近越容易做离心运动 D．若给杯子中加水，杯子更容易做离心运动 答案　B 解析　杯子受到重力、支持力和摩擦力三个力，向心力不是物体的实际受力，故A错误；杯子做匀速圆周运动，向心力由摩擦力提供，始终指向转盘中心，故B正确；杯子做匀速圆周运动F＝f＝mω2r，离转盘中心越近，所需摩擦力越小，越不容易达到最大静摩擦力，越不容易做离心运动，故C错误；根据f＝mω2r≤μmg可知，给杯子中加水，杯子不会更容易做离心运动，故D错误。 2. 如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　) A．A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势 B．B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力 C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍 D．若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB 答案　C 解析　把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物块所受合外力，提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；物块做匀速圆周运动，向心力F＝mω2r，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，所以两者运动所需的向心力相等，故B错误；由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B的摩擦力等于2F，故C正确；若B相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg＜μAmg，即μB＜μA，故D错误。 3. (多选)(2023·达州市高一期末)如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则(　　) A．绳的张力一定不为零 B．桶对物块的弹力一定不为零 C．若转动的角速度增大，桶对物块的弹力保持不变 D．若转动的角速度减小，绳的张力可能不变也可能减小 答案　AD 解析　当物块随圆桶做圆周运动时，由于桶的内壁光滑，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，不可能为零，A正确；若绳的拉力沿水平方向的分力恰好提供向心力，则桶对物块的弹力可能为零，B错误；由题图知，若它们以更大的角速度一起转动，绳子与竖直方向的夹角不变，因为绳的拉力沿竖直方向的分力与重力平衡，绳子拉力不变，水平方向的分力大小不变，物块所需向心力增大，则桶对物块的弹力会增大，C错误；当转动的角速度减小，若物块所需的向心力从大于绳子拉力在水平方向的分力减小到恰好等于绳的拉力沿水平方向的分力过程中，绳子拉力大小不变，若物块所需的向心力从恰好等于绳的拉力沿水平方向的分力继续减小，则物块不再贴着圆桶内壁，绳子与竖直方向夹角θ减小，根据竖直方向平衡条件可得Tcos θ＝mg，可得T＝，θ减小，绳子拉力T减小，D正确。 4. (2022·北京临川学校高一期中)如图所示，底面半径为R的平底漏斗水平放置，质量为m的小球置于底面边缘紧靠侧壁，漏斗内表面光滑，侧壁的倾角为θ，重力加速度为g。现给小球一垂直于半径向里的某一初速度v0，使之在漏斗底面内做圆周运动，则(　　) A．小球一定受到两个力的作用 B．小球可能受到三个力的作用 C．当v0<时，小球对底面的压力为零 D．当v0＝时，小球对侧壁的压力为零 答案　B 解析　对小球，由牛顿第二定律，有 N2sin θ＝m N1＋N2cos θ＝mg 可知侧壁对小球的支持力N2不可能为零，底面对小球的支持力N1可能为零，所以小球可能受到三个力的作用，也可能受到两个力的作用。由牛顿第三定律可知，小球对侧壁的压力不可能为零，所以A、D错误，B正确；当v0<时，N1＝mg－>0，由牛顿第三定律可知，当v0<时，小球对底面的压力不为零，故C错误。 5. 如图所示，正方形框ABCD竖直放置，两个完全相同的小球P、Q(可视为质点)分别穿在方框的BC、CD边上，当方框绕AD轴匀速转动时，两球均恰与方框保持相对静止且位于BC、CD边的中点，已知两球与方框之间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则两球与方框间的动摩擦因数为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设方框边长为l，小球质量为m，对P球，根据牛顿第二定律可得μmω2l＝mg，对Q球，根据牛顿第二定律可得μmg＝mω2，联立解得μ＝，故选B。 6. (2023·西安市铁一中学高一期末)如图为某游乐设施，水平转盘中央有一根可供游客抓握的绳子，质量为m的游客，到转轴的距离为r，游客和转盘间的动摩擦因数为μ，设游客受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。 (1)当游客不抓握绳子时，为保证游客不滑动，转盘的角速度最大不能超过多少？ (2)当转盘的角速度ω＝时，游客抓住绳子可使自己不滑动，则人拉绳的力至少是多大？ 答案　(1)　(2)μmg 解析　(1)当游客受到的摩擦力达到最大静摩擦力时恰好不滑动 μmg＝mω02r 得ω0＝ (2)由题意有T＋μmg＝mω2r 得T＝μmg 由牛顿第三定律得：T′＝T＝μmg。 7. (多选)(2023·绵阳市高一期中)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴OO′的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(　　) A．当ω＝时，b所受摩擦力的大小为kmg B．ω＝是b开始滑动的临界角速度 C．b一定比a先开始滑动 D．所受的静摩擦力始终相等 答案　AC 解析　两个木块的最大静摩擦力相等，木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，都指向圆心，由牛顿第二定律得f＝mω2r，m、ω相等，则有f∝r，所以b所受的静摩擦力大于a所受的静摩擦力，当圆盘的角速度增大时b所受的静摩擦力先达到最大值，所以b一定比a先开始滑动，故C正确，D错误；当b刚要滑动时，有kmg＝mω02·2l，解得ω0＝，故B错误；因为ω＝<＝ω0，所以b相对圆盘静止，此时b所受摩擦力是静摩擦力，则有fb＝mω2·2l，解得b所受摩擦力的大小为fb＝，故A正确。 8. (2023·成都市高一校考期中)在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力fmax＝6.0 N，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O(孔光滑)，另一端悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2，两物体均视为质点)(　　) A．0.04 m B．0.23 m C．0.34 m D．0.47 m 答案　B 解析　根据题意可知，当木块受到指向圆心的最大静摩擦力时，木块相对转台静止，做圆周运动的合力最大，由牛顿第二定律有mg＋fmax＝Mω2rmax，代入数据解得rmax＝0.32 m，当木块受到背向圆心的最大静摩擦力时，木块相对转台静止做圆周运动的合力最小，由牛顿第二定律有mg－fmax＝Mω2rmin，代入数据解得rmin＝0.08 m，则木块到O点的距离的取值范围为0.08 m≤r≤0.32 m，故选B。 9. (多选)(2023·成都市高一期中)如图，由竖直轴和双臂构成的“Y”形支架可以绕竖直轴转动，双臂与竖直轴所成锐角为θ。一质量为m的小球(可视为质点)穿在一条臂上，到节点O的距离为l，小球始终与支架保持相对静止。设支架转动的角速度为ω，重力加速度大小为g，则(　　) A．当ω＝0时，臂对小球的摩擦力大小为mgcos θ B．ω由0逐渐增大，臂对小球的弹力大小不变 C．当ω＝时，臂对小球的摩擦力大小为0.5mg D．当ω＝时，臂对小球的摩擦力大小为mg 答案　AD 解析　对小球受力分析，如图，受到重力、支持力和摩擦力，处于平衡状态时，故f＝mgcos θ，故A正确；对小球受力分析可知Nsin θ＋fcos θ－mg＝0，Ncos θ－fsin θ＝mω2lsin θ，解得－mgtan θ＝mω2lsin θ，故当角速度增大时，臂对小球的弹力大小变大，故B错误；将ω＝代入B中的式子，解得f＝0，故C错误；当ω＝时，代入B中，解得f＝mg，故D正确。 10. (2023·凉山高一期中)如图所示，倾角θ＝30°的斜面体固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面体斜面最低点在转轴O1O2上。将质量为m的小物块(可视为质点)放置于斜面的顶端，斜面体底面长为L，小物块始终和斜面相对静止。已知小物块与斜面之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)当小物块不受摩擦力时，水平转台的角速度ω0； (2)要使小物块始终和斜面相对静止，水平转台角速度的取值范围。 答案　(1)　(2)≤ω≤ 解析　(1)当小物块不受摩擦力时 mgtan 30°＝mω02L 得ω0＝ (2)当小物块刚要沿斜面下滑时，受力分析如图 水平方向有 Nsin 30°－μNcos 30°＝mω12L 竖直方向有 Ncos 30°＋μNsin 30°＝mg 解得ω1＝ 当小物块刚要沿斜面上滑时，受力分析如图 水平方向有N′sin 30°＋μN′cos 30°＝mω22L 竖直方向有N′cos 30°＝ μN′sin 30°＋mg 解得ω2＝ 则要使小物块不下滑，水平转台角速度的取值范围为≤ω≤。 11. (2022·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高一期中)如图所示，两绳系一个质量为m＝0.1 kg的小球(可视为质点)。上面绳长l＝2 m，两绳都拉直时与转轴的夹角分别为30°和45°，g取10 m/s2，小球的角速度满足什么条件时两绳始终张紧？(结果可保留根号) 答案　 rad/s<ω< rad/s 解析　依题意，当BC恰好拉直，但不受力，此时设AC绳的拉力大小为T1，有 T1cos 30°＝mg T1sin 30°＝mr1ω12 r1＝lsin 30° 联立可得ω1＝ rad/s 当AC恰好拉直，但不受力，此时设BC绳的拉力大小为T2，有 T2cos 45°＝mg T2sin 45°＝mr2ω22 r2＝lsin 30° 联立解得ω2＝ rad/s 所以要使两绳始终张紧，ω必须满足的条件是 rad/s<ω< rad/s。 学科网（北京）股份有限公司 $$