第二章 专题强化 竖直面内的圆周运动-（配套word）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（教科版）

专题强化　竖直面内的圆周运动 [学习目标]　掌握竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的分析方法(重难点)。 一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 1．如图所示，甲图中小球仅受绳拉力和重力作用，乙图中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”。 轻绳模型 弹力特征 在最高点弹力可能向下，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 最高点：mg＋F＝m 临界特征 F＝0，即mg＝m，得v＝，是物体能否过最高点的临界速度 2．小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系 (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的压力)为零。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或轨道的支持力)，重力和拉力(或轨道的支持力)的合力充当向心力，mg＋F＝m。 3．小球通过最低点拉力与速度的关系 拉力与重力的合力提供向心力有 F－mg＝m，得F＝mg＋m>mg，小球处于超重状态。 例1　(2023·乐山市峨眉第二中学校考)小明同学的质量为m(视为质点)，他在荡秋千时，A和B分别为其运动过程中的最低点和最高点。两根秋千绳均长为L，小明运动到A位置时的速度大小为v，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，不计秋千绳受到的重力，下列说法正确的是(　　) A．在B位置时，小明所受的合力为零 B．在A位置时，小明处于失重状态 C．在A位置时，每根秋千绳的拉力大小为 D．在A位置时，每根秋千绳的拉力大小为 答案　C 解析　在B位置时，该人受到重力和秋千绳的拉力，合力不为零，故A错误；在A位置时，重力和秋千绳拉力的合力产生向上的向心加速度，该人处于超重状态，故B错误；在A位置时，由牛顿第二定律可得2F－mg＝m，可知每根秋千绳的拉力大小为F＝，故C正确，D错误。 例2　(2023·成都外国语学校校考)如图所示，质量为m＝2 kg的小球在竖直平面内的光滑圆形轨道内侧运动，小球经过最高点时恰好不脱离轨道的速度v0＝2 m/s，重力加速度大小为g＝10 m/s2。求： (1)圆形轨道半径r； (2)若小球经过轨道最高点时对轨道的压力为60 N，此时小球的速度大小； (3)若小球以2 m/s经过轨道最低点，小球对轨道的压力。 答案　(1)0.4 m　(2)4 m/s　(3)120 N，方向竖直向下 解析　(1)小球经过最高点时恰好不脱离轨道，重力提供向心力，根据牛顿第二定律有 mg＝m 代入数据解得r＝0.4 m (2)若小球经过轨道最高点时对轨道的压力大小为60 N，根据牛顿第三定律可知轨道对小球的压力F＝60 N，根据牛顿第二定律有F＋mg＝m 代入数据解得v1＝4 m/s (3)若小球以2 m/s，经过轨道最低点，根据牛顿第二定律有F′－mg＝m 代入数据解得F′＝120 N 根据牛顿第三定律可知小球对轨道的压力大小为120N，方向竖直向下。 二、竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型 1．如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。 轻杆模型 弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg±F＝m 临界特征 v＝0，即F向＝0，此时N＝mg v＝的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点 2.小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。 (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg－F＝m，即F＝mg－m，v越大，F越小。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或压力)F。重力和拉力(或压力)的合力充当向心力，mg＋F＝m，即F＝m－mg，v越大，F越大。 例3　有一轻质杆长L＝0.5 m，一端固定一质量m＝0.5 kg的小球，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动。(g＝10 m/s2) (1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度大小； (2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力； (3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，求小球运动的速率。 答案　(1) m/s　(2)4 N，方向向下　11 N，方向向上　(3)6 m/s 解析　(1)小球在最高点时刚好对杆无作用力，此时重力提供向心力，有mg＝m，代入数据解得v1＝＝ m/s (2)当小球运动到最高点速率为1 m/s时，此时小球受到杆向上的支持力。根据牛顿第二定律可得：mg－F1＝m，代入数据得：F1＝4 N，根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力为 4 N，方向向下；当小球运动到最高点速率为4 m/s时，此时小球受到杆向下的拉力，根据牛顿第二定律有F2＋mg＝m，代入数据解得F2＝11 N，根据牛顿三定律可得小球对杆的作用力为11 N，方向向上； (3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，由牛顿第二定律有F－mg＝m，代入数据解得v4＝6 m/s。 例4　(2023·南通市高一期末)如图所示，一小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，轨道半径为R，小球的直径略小于管道的直径，重力加速度为g，则小球(　　) A．可能做匀速圆周运动 B．通过最高点时的最小速度为 C．通过最低点时受到的弹力方向向上 D．在运动一周的过程中可能一直受到内侧管壁的弹力 答案　C 解析　由分析知，小球在运动过程中合力不可能一直指向圆心，所以不可能做匀速圆周运动，故A错误；因为在最高点圆形管道内壁能提供支持力，所以通过最高点时的最小速度为0，故B错误；小球在最低点时由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向向上，则受到的弹力方向也向上，故C正确；在下半圆运动时，只受到外侧管壁的弹力，故D错误。 专题强化练 1. (2023·成都外国语学校高一校考)如图所示，洗衣机的圆形滚筒可绕水平轴沿逆时针方向转动。用该洗衣机对衣物进行脱水，当湿衣服贴着滚筒内壁随滚筒一起做匀速圆周运动时，下列分析正确的是(　　) A．当衣服到达最高点时，水最容易脱离衣服 B．当衣服到达最右侧的位置向上运动时，衣服可能不受摩擦力的作用 C．当衣服到达最低点时，衣服受到的合力最大 D．衣服到达最低点时受到的弹力一定大于在其他位置受到的弹力 答案　D 解析　水脱离衣服时，衣服对水的附着力与其重力的合力无法提供向心力，当衣服转动到最低点时，附着力减去重力提供向心力，此时需要衣服对水的附着力最大，水最容易脱离衣服，A错误；当衣服到达最右侧的位置向上运动时，由于加速度指向圆心，在竖直方向上所受合力为零，因此受到向上的摩擦力与重力平衡，B错误；由于衣服做匀速圆周运动，在任何位置处所受的合力都指向圆心且大小相等，C错误；衣服到达最低点，弹力与重力的合力提供向心力，而在下半个圆周运动过程中，弹力与重力沿半径方向的分力反向，在上半个圆周运动过程中，弹力与重力沿半径方向的分力同向，因此在最低点弹力最大，D正确。 2. (2023·眉山市高一校考)如图所示，质量为m的小球(视为质点)在竖直平面内绕O点做半径为L的圆周运动，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　) A．若连接O点与小球的为轻绳，则小球过圆周最高点的临界速度为零 B．若连接O点与小球的为轻杆，则小球过圆周最高点的临界速度为 C．若连接O点与小球的为轻绳，则小球在圆周最高点时轻绳的作用力大小可能为mg D．若连接O点与小球的为轻杆，则小球在圆周最高点时轻杆的作用力大小一定不为零 答案　C 解析　若连接O点与小球的为轻绳，根据mg＝m可得v＝，则小球过圆周最高点的临界速度大小v＝，选项A错误；若连接O点与小球的为轻杆，轻杆可以提供支持力，则小球过圆周最高点的临界速度为零，选项B错误；若连接O点与小球的为轻绳，小球在圆周最高点时轻绳的作用力大小可能为mg，选项C正确；若连接O点与小球的为轻杆，小球在圆周最高点时轻杆的作用力可能为零，选项D错误。 3. (多选)如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．过山车在过最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来 B．人在最高点时对座位可能产生大小为mg的压力 C．人在最低点时对座位的压力等于mg D．人在最低点时对座位的压力大于mg 答案　BD 解析　在最高点时，当人与保险带间恰好没有作用力时，由重力提供向心力有mg＝m，得临界速度为v0＝，当速度v>时，人对座位产生压力，没有保险带，人也不会掉下来，故A错误；当人在最高点的速度v>时，人对座位有压力，当人对座位压力为mg时，有mg＋mg＝m，解得v＝，所以当人在最高点速度为v＝时，人在最高点对座位压力大小为mg，故B正确；人在最低点时，根据牛顿第二定律有N－mg＝m，故N>mg，由牛顿第三定律可知人对座位的压力大于mg，故C错误，D正确。 4. (2022·哈九中高一期末)如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球(直径略小于管内径)一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v。已知重力加速度为g，则下列说法中正确的是(　　) A．v的最小值为 B．当v＝时，小球处于完全失重状态，不受力的作用 C．当v＝时，管道对小球的弹力方向竖直向下 D．在v由逐渐减小的过程中，管道对小球的弹力也逐渐减小 答案　C 解析　小球通过最高点时细管可以提供竖直向上的支持力，当支持力的大小等于小球重力的大小时，小球的最小速度为零，故A错误；根据公式a＝可知，当v＝时，小球的加速度为a＝g，方向竖直向下，则小球处于完全失重状态，只受重力作用，故B错误；当v＝时，小球需要的向心力为F＝m＝2mg＝F弹＋mg，可知管道对小球的弹力大小为mg，方向竖直向下，故C正确；当v<时，小球需要的向心力F＝m<mg，可知小球受管道竖直向上的弹力，由牛顿第二定律有mg－N＝m，可得N＝mg－m，在v逐渐减小的过程中，管道对小球的弹力N逐渐增大，故D错误。 5. 杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　) A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零 C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案　B 解析　“水流星”在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰好为零，“水流星”的重力提供向心力，则水恰好不流出，容器底部受到的压力为零，故选B。 6. (2023·天津市第九十五中学高一期中)如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，质量为m的小球以某一速度进入管内，不计空气阻力，重力加速度为g。小球通过最高点B时 (1)若小球通过最高点B时，对下管壁的压力为0.5mg，求小球从管口飞出时的速率v1； (2)若小球通过最高点B时，对上管壁的压力大小为mg，求小球从管口飞出时的速率v2； (3)若小球第一次以v1飞出管口，第二次以v2飞出管口，求两次落地点间的距离。 答案　(1)　(2)　(3)R 解析　(1)若小球通过最高点B时，对下管壁有压力，则有mg－0.5mg＝m 解得v1＝ (2)若小球通过最高点B时，对上管壁有压力，则有mg＋mg＝m 解得v2＝ (3)从B点飞出，做平抛运动，所以下落时间都相同，根据2R＝gt2 得t＝2 则有Δx＝v2t－v1t＝R。 7．(2023·石家庄一中高一期末)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T－v2图像如图乙所示，则(　　) A．数据a与小球的质量无关 B．当地的重力加速度为 C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为＋a D．当v2＝2b时，小球受到的拉力与重力大小相等 答案　D 解析　设绳长为R，由牛顿第二定律知小球在最高点满足T＋mg＝m，即T＝v2－mg，由题图乙知a＝mg，＝，所以g＝，R＝，A、B错误；当v2＝c时，有T1＋mg＝m，将g和R的值代入得T1＝－a，C错误；当v2＝2b时，由T2＋mg＝m，可得T2＝a＝mg，故拉力与重力大小相等，D正确。 8. (2023·内江市开学考试)如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，小球沿斜面做圆周运动，若要小球能通过最高点A，则小球在最高点A的最小速度是(重力加速度g＝10 m/s2)(　　) A．2 m/s B．2 m/s C．2 m/s D．2 m/s 答案　A 解析　小球恰好通过A点时细线的拉力为零，根据圆周运动规律和牛顿第二定律有mgsin α＝m，解得vA＝＝ m/s＝2 m/s，故选A。 9. (2022·山东惠民县第一中学高一期末)如图所示，内壁光滑的细圆管用轻杆固定在竖直平面内，其质量为0.22 kg，半径为0.5 m。质量为0.1 kg的小球，其直径略小于细圆管的内径，小球运动到圆管最高点时，杆对圆管的作用力为零，重力加速度g取10 m/s2。则小球在最高点的速度大小为(　　) A．2 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．8 m/s 答案　B 解析　根据题意，对圆管受力分析，由平衡条件可知，小球在最高点对圆管有竖直向上的作用力，大小等于圆管的重力，由牛顿第三定律可知，圆管对小球有竖直向下的作用力，大小等于圆管的重力，在最高点，对小球，由牛顿第二定律有Mg＋mg＝，代入数据，解得v＝4 m/s，故选B。 10. (多选)(2022·宣城市高一期末)如图，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时(　　) A．小球所需向心力大小为3mg B．小球所需向心力大小为4mg C．每根轻绳的拉力大小为mg D．每根轻绳的拉力大小为2mg 答案　BC 解析　小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，此时小球重力恰好提供向心力，即m＝mg，小球在最高点速率为2v时，所需向心力大小为F＝m＝4mg，故A错误，B正确；由题意，根据几何关系可知两根轻绳间夹角为60°，小球在最高点速率为2v时，设每根轻绳的拉力大小为T，根据牛顿第二定律可得2Tcos 30°＋mg＝F，解得T＝mg，故C正确，D错误。 11. (2023·四川凉山高一期中)如图所示，长l＝0.4 m的轻绳系着质量m＝1 kg的小球在竖直面内做圆周运动，小球恰能通过圆周的最高点，当小球运动到最低点时因绳子拉力刚好达到最大承受力而断裂，已知重力加速度大小g＝10 m/s2，绳子最大承受力F＝60 N，小球做圆周运动的最低点到水平地面的高度h＝5 m，不计一切阻力，求： (1)小球通过圆周最高点的速度大小v1； (2)小球在最低点的速度大小v2(结果可用根号表示)； (3)小球落地点到圆周运动最低点的水平距离x(结果可用根号表示)。 答案　(1)2 m/s　(2)2 m/s　(3)2 m 解析　(1)由于小球恰好能过圆周最高点，有mg＝m 得v1＝ 解得v1＝2 m/s (2)在最低点，由题可知F＝60 N 由F－mg＝m 解得v2＝2 m/s (3)绳子断裂后，小球将做平抛运动，在竖直方向由h＝gt2 得t＝1 s 在水平方向，由x＝v2t 得x＝2 m。 12．(2022·安吉县高级中学高一开学考试)如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为图乙所示。质量为M、半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转。陀螺的质量为m，其余部分质量不计。陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为6mg。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。 (1)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，求此时轨道对陀螺的弹力大小； (2)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通过最低点时的最大速度大小； (3)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为，求固定支架对轨道的作用力大小。 答案　(1)10mg　(2)　(3)g 解析　(1)当陀螺在轨道内侧最高点时，设轨道对陀螺的吸引力为F1，轨道对陀螺的支持力为N1，陀螺所受的重力为mg，最高点的速度为v1，受力分析可知 mg＋N1－F1＝m 解得N1＝10mg (2)设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对陀螺的吸引力为F2，轨道对陀螺的支持力为N2，陀螺所受的重力为mg，最低点的速度为v2，受力分析可知F2－N2－mg＝m 由题意可知，当N2＝0时，陀螺通过最低点时的速度为最大值，解得v2＝ (3)设陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时，轨道对陀螺的吸引力为F3，轨道对陀螺的支持力为N3，陀螺所受的重力为mg。 则F3－N3＝m 解得N3＝4mg 由牛顿第三定律可知N3′＝N3，F3′＝F3 固定支架对轨道的作用力为 F＝ 解得F＝g。 学科网（北京）股份有限公司 $$