平面向量的概念和线性运算（1）课件-2025届高三数学一轮复习

课题导入 我们在日常生活中常常会遇到类似位移、力这样的物理量，这些量不仅有大小，还有方向。今天我们要学习的内容——平面向量，可以帮助我们更好地理解和处理这些量。 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 授课教师：高复数学 授课时间：2024届 2025届专用 平面向量的概念和线性运算 2 目标引领 1. 理解平面向量的基本概念，能够正确表示向量并理解其几何意义。 2. 培养学生逻辑推理和抽象思维能力，通过向量的学习提高空间想象力。 独立自学 大小 方向 有向线段 长度为0 长度等于1个 单位长度 相同 相反 非零 共线 长度相等且方向相同 长度相等且方向相反 4 独立自学 0 |a|＋|b| 5 独立自学 |λ||a| ＞ ＜ ＝ (λμ)a λa＋μa λa＋λb 6 独立自学 b＝λa 7 独立自学 8 引导探究 引导探究 √ √ √ 目标升华 1. 掌握向量的起点、终点、方向和长度（模）的关系，并能用几何图形直观地表示和解释向量。 2. 能够明确并掌握向量相等的条件，熟练掌握向量的基本操作和变换。 当堂诊学 强化补清 完成相应小册子 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 2025 坚持到底就是胜利！ 14 (1)向量的定义：既有______又有______的量叫做向量． (2)向量的长度：表示eq \o(AB,\s\up14(→))的__________的长度，即eq \o(AB,\s\up14(→))的大小叫做eq \o(AB,\s\up14(→))的长度或称为eq \o(AB,\s\up14(→))的模，____________的向量叫做零向量，记作0，__________ __________的向量，叫做单位向量． (3)平行向量：方向_____或______的_____向量叫做平行向量．规定：0与任何向量平行．平行向量也叫做______向量． (4)相等向量：_______________________的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作a＝b. (5)相反向量：______________________的向量叫做相反向量． eq \o(CB,\s\up14(→)) 向量的线性运算 (1)加、减法法则 (2)运算律：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)①eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＝______，eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BA,\s\up14(→))＝___，eq \o(AB,\s\up14(→))－eq \o(AC,\s\up14(→))＝______． ②||a|－|b||≤|a±b|≤__________． eq \o(AC,\s\up14(→)) (4)向量的数乘 ①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，λa与a平行．规定：|λa|＝_______，当λ___0时，λa的方向与a的方向相同；当λ____0时，λa的方向与a的方向相反；当λ____0时，λa＝0. ②运算律：λ(μa)＝_______；(λ＋μ)a＝_________；λ(a＋b)＝__________． 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得_______． 常用结论 (1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq \o(A1A2,\s\up14(→))＋eq \o(A2A3,\s\up14(→))＋eq \o(A3A4,\s\up14(→))＋…＋An－1An＝eq \o(A1An,\s\up14(→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． (2)若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq \o(OF,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up14(→))＋eq \o(OB,\s\up14(→)))． (3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq \o(PA,\s\up14(→))＋eq \o(PB,\s\up14(→))＋eq \o(PC,\s\up14(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq \o(AP,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→)))． (4)若平行四边形ABCD满足|eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \o(AB,\s\up14(→))|＝|eq \o(AD,\s\up14(→))－eq \o(AB,\s\up14(→))|，则该平行四边形为矩形． (5)若eq \o(OA,\s\up14(→))＝λeq \o(OB,\s\up14(→))＋μeq \o(OC,\s\up14(→))(λ，μ为常数)，O，B，C三点不共线，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. (6)向量三角不等式：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. (1)判断下列各命题是否正确： ①单位向量都相等； ②|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关； ③若A，B，C，D是不共线的四点，则eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \o(DC,\s\up14(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ④若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线； ⑤两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. (2)【多选题】下列命题正确的是(　　) A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若a，b都为非零向量，则使eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0成立的条件是a与b反向共线 D．若a＝b，b＝c，则a＝c (4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同． (5)若向量eq \o(AB,\s\up14(→))与向量eq \o(CD,\s\up14(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上． 判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)向量就是有向线段． (2)若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反． (3)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b. $$