1.2 30 °,45 °,60 °角的三角函数值课件 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

第一章 直角三角形的边角关系 北师大版九年级下册 30 °,45 °,60 °角的三角函数值 猜谜语 一对双胞胎，一个高，一个胖， 3个头,尖尖角,我们学习少不了 思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？ 导入新课 情境引入 45° 45° 90° 60° 30° 90° 思考：你能用所学知识，算出图中各角度的三角函数值吗？ 下图两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 30° 60° 45° 45° 讲授新课 30°、45°、60°角的三角函数值 一 合作探究 设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a 另一条直角边长＝ 30° 设两条直角边长为a，则斜边长＝ 60° 45° 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 30° 45° 60° sin a cos a tan a 归纳总结 三角 函数 锐角 a 1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系） 2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _______ ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ . 增大（或减小） 减小（或增大） 两点反思 1.如果∠α是等边三角形的一个内角，则cosα=____. 2.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA=____. 练一练 例1 计算: (1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°. 注意事项: sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2 解: (1)sin30°+cos45° (2)sin260°+cos260°-tan45° 典例精析 1.求下列各式的值： （1）cos260°＋sin260° （2） 针对训练 由特殊三角函数值确定锐角度数 二 填一填 ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= 逆向思维 例2： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，求∠A的度数． A B C 典例精析 1.如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 倍，求 ． A B O 练一练 2.sinα﹤cosα，则锐角α取值范围（ ） A 30°﹤α ﹤ 45 ° B 0°﹤α ﹤ 45 ° C 45°﹤α ﹤ 60 ° D 0°﹤α ﹤ 90 ° B 特殊三角函数值的运用 三 例3 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m). ∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m. ∠AOD OD=2.5m, A C O B D 解:如图,根据题意可知, ∴AC=2.5-2.165≈0.34(m). 例4 已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x-3=0的一个根，求2sin2α+cos2α- tan（α+15°）的值． 解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3， ∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°. ∴2sin2α+cos2α- 3 tan（α+15°） =2sin245°+cos245°- 3 tan60° 探究　特殊角的三角函数值 [做一做] 如图,观察一副三角尺,其中有几个锐角?它们分别等于多少度? 图1-2-1 (1)sin30°等于多少? cos30°等于多少? tan30°呢?你是怎样得到的? sin30°= cos30°= tan30°= A B C 300 (2)借助三角尺,求出60°角的三角函数值. sin60°= cos60°= tan60°= A B C 600 (3)45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的? sin45°= cos45°= tan45°= 应用一　用特殊角的三角函数值进行计算 例1 计算: (1)sin30°+cos45°; (2)sin260°+cos260°-tan45°. 变式　计算: 应用二　利用特殊角的三角函数值求角的度数 应用三　利用特殊角的三角函数值解决实际问题 5.如图,在一次龙卷风中,一棵大树在离地面若干米处折断倒下,B为折断处最高点,树顶A落在离树根C 12米处,测得∠BAC=30°,求BC的长(结果保留根号). 例3 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01 m). 2.在△ABC中，若 ，则∠C=（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 1. tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° D D 巩固练习 3.已知cosα ﹤ ，锐角α取值范围（ ） A 60°﹤α ﹤ 90 ° B 0°﹤α ﹤ 60 ° C 30°﹤α﹤ 90 ° D 0°﹤α﹤ 30 ° A 4.求下列各式的值： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60° （3） 5.如图，在△ABC中，∠A=30°， 求AB. A B C D 解：过点C作CD⊥AB于点D， ∠A=30°， 6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， 求∠A、∠B的度数． B A C D A B E 1.6m 20m 45° C 7.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？ =20+1.6=21.6（m） 【延伸拓展】 作垂线构造直角三角形解决实际问题 图1-2-3 A B C C C 3.如图1-2-4,将含30°角的三角尺的直角顶点放置在直线AB 上的点O处,使AB∥CD,则∠1的正弦值是　　　　.  图1-2-4 4.[教材随堂练习第1题] 计算:(1)sin60°-tan45°; (2)cos60°+tan60°; 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 30° 45° 60° sin a cos a tan a 对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大； 对于cosα，角度越大，函数值越小. 课堂小结 锐角 a 三角函数 $$