精品解析：江西省2024届高三三校生对口升学第二次联合考试数学试卷

江西省2024年“三校生”对口升学第二次联合考试试题 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第2至4页，共150分．考试用时120分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名、考试科目是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如须改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 选择题 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．对每小题的命题作出判断，对的写正确，错的写错误） 1. ．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】由对数的运算性质判断正误. 【详解】已知，， 由对数的运算性质可知， ， 故答案为：错误. 2. 化为弧度是．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据弧度制的转换，即可求解. 【详解】， . 故答案为：正确. 3. 设集合，，则.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性化简集合，从而得以判断. 【详解】，， 集合互不包含，即不成立. 故答案为：错误. 4. 直线在轴上的截距为．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程以及截距的定义，即可求解. 【详解】直线， 当时，， 直线在轴上的截距为. 故答案为：错误. 5. 函数的值域是．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】首先确定函数的值域，再确定的值域即可. 【详解】设函数，对称轴为， 当时，取到最大值， 又由于中根式下必须大于等于，即， 故的值域为， 因此的值域为. 故答案为：正确. 6. 若角的终边在第二象限，则点在第三象限．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据象限角的定义，即可求解. 【详解】角的终边在第二象限， ， 点在第三象限. 故答案为：正确. 7. 不等式有且只有两个整数解．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解进行判断即可解得. 【详解】由题，不等式， 则，解得， 整数解为或共两个. 故答案为：正确 8. 若，，都是正数，则双曲线与有相同的渐近线．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】利用双曲线的方程求渐近线方程，从而比对得解. 【详解】，，都是正数， 双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为， 双曲线与有相同的渐近线． 故答案为：正确. 9. 若正四面体的侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成二面角为，则.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据题意作图，找到相应的线面角和二面角，得到角的正切值比较即可求解. 【详解】根据题意，设下底面正的中心为，连接并延长交于，连接， 由正四面体的结构特征可知底面，， 则，平面， 所以平面，则， 所以为侧面与底面所成二面角的平面角，即， 由底面，可知是侧棱与底面所成角，即 所以，， 由正三角形的性质易知，即， 所以，即， 又是锐角，即. 故答案为：正确. 10. 设椭圆：的焦点为，，则点在椭圆内的充要条件是为钝角．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】首先以为直径作圆，由圆的方程得到圆包含在椭圆围成的区域内，且圆上的点的圆心角为，据此得到特例判断命题正误. 【详解】已知椭圆，，， 以为直径作圆，圆的方程为， 因此圆上的任意一点都成立，且圆包含在椭圆围成的区域内， 若点在椭圆内，并且假设点在圆上，则， 因此点“在椭圆内”不能推出“为钝角”， 故答案为：错误. 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率的取值范围以及双曲线的离心率的取值范围，即可求解. 【详解】因为椭圆离心率满足，所以集合， 双曲线离心率满足，所以集合， 所以，故选项正确，选项错误； 且，故选项错误； 因为，所以，故选项错误， 故选：. 12. 与向量垂直的一个单位向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设向量，根据其与向量垂直，且为单位向量，即可求解. 【详解】设向量， 向量与向量垂直，且为单位向量， 或 或 故选：B. 13. 从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（    ） A. 简单的随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样． 【详解】已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大， 了解中、小学生的肺活量，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理. 故选:C. 14. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角公式得到，再计算最小正周期和判断奇偶性. 【详解】已知函数，由正弦函数的二倍角公式，可得， 则最小正周期为， 的定义域为,，满足， 故函数为奇函数， 故选：B. 15. 已知正方形的边长为1，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量内积的运算公式，即可求解. 【详解】 已知正方形的边长为1，从图中可知，，和的夹角为， 所以. 故选:D. 16. 已知抛物线：，：，若，则同一坐标系下，的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由得到抛物线开口方向，再比较同一自变量对应的值的大小关系，判断图象. 【详解】抛物线：，：，若， 则两个抛物线开口都向上，由此排除选项C、D， 取同一个时，抛物线上的点的纵坐标为， 抛物线上的点的纵坐标为， 由于，则，选项B的图象符合题意， 故选：B. 17. 从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型及对立事件概率公式计算即可解得. 【详解】由题 ，从装有个红球，个白球的袋中任取个球，共有基本事件种， 全取红球的基本事件只有一种，则全取红球的概率为， 故所取个球中至少有个白球的概率为：， 故选：D. 18. 水平放置的圆柱形容器底面半径为2，高为5，内盛有深度为1的水，现将半径为2的实心铁球放入容器沉至水底，当水面平静时（ ） A. 有超过一半的铁球露出水面 B. 水面恰好漫过铁球顶端 C. 不到一半的铁球露出水面 D. 水面高于铁球顶端 【答案】C 【解析】 【分析】利用球及圆柱的体积公式，求出水的体积、球与半球的体积、高为4与高为2的圆柱的体积，比较可得出结果. 【详解】设球的半径为，放入实心铁球后水面的高度为， 水的体积为，球的体积为， 底面半径为2，高为4（等于球的直径）的圆柱体积为， ∵，∴放入实心铁球后水面低于铁球顶端，故B，D错误， 底面半径为2，高为2（等于球的半径）的圆柱体积为， 半球的体积为， ∵，∴， ∴不到一半的铁球露出水面，故A错误，C正确. 故选：C. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19. 等差数列的公差为2，且，则____________. 【答案】27 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求得基本量，再次利用等差数列通项公式即可得解. 【详解】因为，， 所以，即， 所以. 故答案为：27. 20. 若圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的底面积和侧面积公式，即可求解. 【详解】圆锥的轴截面是等边三角形， 圆锥的底面直径等于圆锥的母线长， 设圆锥的底面直径为，则母线长为， 圆锥的底面积为， 侧面积为， 侧面积与底面积之比为. 故答案为：. 21. 比较大小：__________，（填） 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式，结合余弦函数的单调性即可求解. 【详解】， ， 函数在单调递减，且， ，. 故答案为：. 22. 用，，这三个数字组成位数（数字允许重复），这样的位数一共有__________个． 【答案】 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算. 【详解】有三个不同的元素，进行有重复的五次抽取，根据分步乘法计数原理可知， 不同的抽取方式有， 故答案为：. 23. 若的展开式中常数项为5，则__________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据二项式展开的通项公式，即可求解. 【详解】二项式展开通项公式为， 当时，即，常数项， . 故答案为：9. 24. 如图，奥运五环由5个奥林匹克环套接组成，环从左到右互相套接，上面是蓝、黑、红环，下面是黄、绿环，整个造型为一个底部小的规则梯形．设5个奥林匹克环的内圈半径为11，外圈半径为12，两排圆环圆心垂直距离为11，同一排相邻圆环圆心水平距离为26，则相邻两个相交圆环圆心之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，做出辅助线直接求解，即可. 【详解】如图所示，由题意可知，在中，取AB中点D，连接CD， ， 又， ， . 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题每小题9分，共50分．解答应写出过程或步骤） 25. 设数列的前项和，已知． （1）求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）利用的关系求数列的通项公式. （2）求出，解不等式，注意利用确定临界值. 【小问1详解】 因为， 所以，则， 则是等比数列，公比为2， 又，得， 所以． 【小问2详解】 ，，即， 因为，， 则． 26. 已知的角A，B，C所对边分别为，，，且，. （1）求的大小； （2）若的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的平方关系，结合正弦定理即可求解. （2）利用勾股定理找出三边关系，再利用三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 在中，， ， 又， 由正弦定理得，. 【小问2详解】 由（1）知为直角三角形， 由勾股定理得，则， ， 则，. 27. 根据《世界银行的国别收入分组标准》，按人均GDP通常把世界各国分成四组，即低收入国家、中等偏下收入国家、中等偏上收入国家和高收入国家．划分标准如下： 国家类型 低收入国家 中等偏下收入国家 中等偏上收入国家 高收入国家 人均GDP 低于1035美元 1035~4085美元 4085~12616美元 不低于12616美元 某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表： 行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP（单位：美元） A 10% 7500 B 15% 4000 C 30% 5000 D 25% 3000 E 20% 10000 （1）通过计算，判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准； （2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率． 【答案】（1）该城市已达到中等偏上收入国家标准 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均占比加成后，对比表格即可求解. （2）根据随机抽取的概率基本运算，结合组合数，即可求解. 【小问1详解】 该城市人均GDP为： 美元． 对比表格后，该城市已达到中等偏上收入国家标准． 【小问2详解】 该城市5个行政区中达到中等偏上收入国家标准的行政区有3个：A、C、E． 故所求概率为． 28. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆在第一象限且与轴、轴都相切，半径为4．过原点的直线与圆交于、两点，且将圆的周长分为两部分之比为（圆心在直线的右侧）． （1）求圆的标准方程； （2）求弦长及直线的方程． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据圆在第一象限且与轴、轴都相切，半径为4，可以求得圆的标准方程. （2）根据弧长公式，可得，从而可求得弦长以及圆心到AB的距离，设出直线l，利用点到直线距离公式，进而可求出直线方程. 【小问1详解】 根据题意，圆在第一象限且与轴、轴都相切，半径为4， 圆心为， 圆的标准方程为． 【小问2详解】 根据题意知，等于圆周长的，则， 是等腰直角三角形，则， 设直线的方程为，作于，则， 由点到直线的距离公式得， 化简得，则 依题设知直线的倾斜角大于，则，因此， 直线的方程是. 29. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）是否存在实数，使得当时，函数的值域为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3. （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的单调性，即可求解. （2）根据第（1）问的最大值并结合分段函数的最值，即可求解. 【小问1详解】 函数. 因为在上为增函数，则在内递增； 因为在上为增函数，则在上为减函数，则在内递减， 的最大值为． 【小问2详解】 假设存在满足条件的实数， 取得最大值3， 由（1）可知，即，解得①， 根据题意，最小值1可能是或， 若，即，则，符合①， 此时，符合题意； 若，即，，则，与①矛盾， 综上可知存在符合题设要求． 30. 如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，是的中点． （1）求异面直线与所成角的正切值； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）找到异面直线所成角，再在三角形中易得答案； （2）根据三棱锥体积公式易得答案. 【小问1详解】 作交于，连． 则就是异面直线与所成角，， 因为，直三棱柱，平面，因为平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 则． 又，， 则． 【小问2详解】 由知，不在平面，在平面， 所以平面，因此点、到平面的距离相等， 因为，因为是直角三角形，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以三棱锥的高为， 体积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2024年“三校生”对口升学第二次联合考试试题 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第2至4页，共150分．考试用时120分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名、考试科目是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如须改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 选择题 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．对每小题的命题作出判断，对的写正确，错的写错误） 1. ．（ ） 2. 化为弧度是．（ ） 3. 设集合，，则.（ ） 4. 直线在轴上的截距为．（ ） 5. 函数的值域是．（ ） 6. 若角的终边在第二象限，则点在第三象限．（ ） 7. 不等式有且只有两个整数解．（ ） 8. 若，，都是正数，则双曲线与有相同的渐近线．（ ） 9. 若正四面体的侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成二面角为，则.（ ） 10. 设椭圆：的焦点为，，则点在椭圆内的充要条件是为钝角．（ ） 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 12. 与向量垂直的一个单位向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 13. 从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（    ） A. 简单的随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样 14. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数 15. 已知正方形的边长为1，则（ ） A. B. C. 1 D. 16. 已知抛物线：，：，若，则同一坐标系下，的图像可能是（ ） A. B. C. D. 17. 从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 18. 水平放置的圆柱形容器底面半径为2，高为5，内盛有深度为1的水，现将半径为2的实心铁球放入容器沉至水底，当水面平静时（ ） A. 有超过一半的铁球露出水面 B. 水面恰好漫过铁球顶端 C. 不到一半的铁球露出水面 D. 水面高于铁球顶端 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19. 等差数列的公差为2，且，则____________. 20. 若圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比等于__________． 21. 比较大小：__________，（填） 22. 用，，这三个数字组成位数（数字允许重复），这样的位数一共有__________个． 23. 若的展开式中常数项为5，则__________． 24. 如图，奥运五环由5个奥林匹克环套接组成，环从左到右互相套接，上面是蓝、黑、红环，下面是黄、绿环，整个造型为一个底部小的规则梯形．设5个奥林匹克环的内圈半径为11，外圈半径为12，两排圆环圆心垂直距离为11，同一排相邻圆环圆心水平距离为26，则相邻两个相交圆环圆心之间的距离为__________． 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题每小题9分，共50分．解答应写出过程或步骤） 25. 设数列的前项和，已知． （1）求； （2）若，求的取值范围． 26. 已知的角A，B，C所对边分别为，，，且，. （1）求的大小； （2）若的面积为，求. 27. 根据《世界银行的国别收入分组标准》，按人均GDP通常把世界各国分成四组，即低收入国家、中等偏下收入国家、中等偏上收入国家和高收入国家．划分标准如下： 国家类型 低收入国家 中等偏下收入国家 中等偏上收入国家 高收入国家 人均GDP 低于1035美元 1035~4085美元 4085~12616美元 不低于12616美元 某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表： 行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP（单位：美元） A 10% 7500 B 15% 4000 C 30% 5000 D 25% 3000 E 20% 10000 （1）通过计算，判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准； （2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率． 28. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆在第一象限且与轴、轴都相切，半径为4．过原点的直线与圆交于、两点，且将圆的周长分为两部分之比为（圆心在直线的右侧）． （1）求圆的标准方程； （2）求弦长及直线的方程． 29. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）是否存在实数，使得当时，函数的值域为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 30. 如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，是的中点． （1）求异面直线与所成角的正切值； （2）求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $