精品解析：浙江省丽水市2023-2024学年高二下学期中职学生文化水平检测数学试题

丽水市2023学年第二学期中职学生文化水平检测 高二数学试题卷 2024.06 本试题卷全卷共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号在答题卷上相应位置填写清楚. 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用0.5毫米及以上的黑色水笔书写要求字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区战书写的答案无效，在草稿纸､试题卷上答题无效. 4.保持答题纸清洁，不折叠､不破损. 一､单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分.在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.错涂､多涂或未涂均不得分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 点和点的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各角中与角终边相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则角在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 下列函数在其定义域上为单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 10. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 11. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 12. 已知，且，则的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 13. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 14. 在中，已知是的中点，则（ ） A. B. C. D. 15. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 2 16. 已知数列满足，则（ ） A. 5 B. 14 C. 41 D. 54 17. 为迎接全市首届中小学生跳绳比赛，某校从3名男生，5名女生中，选出2名男生和3名女生组成代表队参赛，可选派的种数为（ ） A. 13 B. 30 C. 56 D. 66 18. 下列命题正确的是（ ） A. 垂直于同一直线的两个平面平行 B. 垂直于同一平面的两个平面垂直 C. 垂直于同一直线的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两条直线垂直 19. 函数的部分图象如图所示，则它的解析式为（ ） A. B. C. D. 20. 已知函数的图像与直线有三个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 抛掷一枚骰子，“正面向上的点数小于3”的概率是__________. 22. 已知数列的前项和，则__________. 23. 已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标为________________. 24. 已知直线与直线平行，则的值为__________. 25. 已知，则__________. 26. 展开式中含项的系数为__________. 27. 数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比.该定理可以推广到圆锥容球，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥的体积之比等于它们的表面积之比，且该比值为（其中为内切球的半径，为圆锥的底面半径，为圆锥轴截面的底角），已知一个圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该比值为__________. 三､解答题（本大题共8题，共72分.解答应写出必要文字说明及演算步骤） 28. 计算：. 29. 已知. （1）求； （2）求. 30. 已知圆，直线的倾斜角为. （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若直线与圆相切，求直线的一般式方程. 31. 已知等差数列满足，数列满足，. （1）分别求数列的通项公式和； （2）记，求数列的前项和. 32. 如图所示，在正四棱柱中，分别是的中点. （1）求三棱锥的体积： （2）求二面角的平面角的正切值. 33. 如图所示，在中，是边上的一点，， （1）求； （2）求的面积. 34. 习总书记强调，科技创新是发展新质生产力的核心要素，要增强创新自信，大力推进自主创新.某木玩企业利用AI技术研发出了一款新型木玩产品，该产品的成本价格是20元/件，且销售单价不得低于25元/件.若每日销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： （元/件） 30 40 50 （件） 250 200 150 （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元/件时，日销售利润最大，最大利润是多少？ 35. 已知椭圆的焦距为，短轴长为2，直线交椭圆于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求弦长； （3）若动点为椭圆上异于的一点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丽水市2023学年第二学期中职学生文化水平检测 高二数学试题卷 2024.06 本试题卷全卷共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号在答题卷上相应位置填写清楚. 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用0.5毫米及以上的黑色水笔书写要求字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区战书写的答案无效，在草稿纸､试题卷上答题无效. 4.保持答题纸清洁，不折叠､不破损. 一､单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分.在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.错涂､多涂或未涂均不得分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由并集的定义即可求解. 【详解】集合，则. 故选：A. 2. 已知，下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质易得答案. 【详解】因为，根据不等式两边同时加（减）同一个数，不等号方向不变， 所以，，故A，B选项正确， 根据不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，所以，故C选项正确， D选项中，当时，，故错误. 故选：D. 3. 点和点的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中点坐标公式求值即可. 【详解】点和点的中点坐标为， ，即. 故选：C. 4. 下列各角中与角终边相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件写出与角终边相同角的集合易得答案. 【详解】因为与角终边相同角的集合为， 当时，与角终边相同的是. 验证，不满足题意. 故选：A. 5. 已知，，则角在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用各象限三角函数值的符号即可得解. 【详解】由可知角在第一、二象限及y轴正半轴， 由可知角在第二、四象限及x轴负半轴， 故角在第二象限. 故选：B. 6. 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据推出关系易判断结果. 【详解】因为不能推出,, 故“”是“”的必要不充分条件. 故选:B. 7. 下列函数在其定义域上为单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据具体函数直接判断在定义域上的单调性易得答案. 【详解】A：在对应的区间上分别单调递减，故错误； B：在上单调递增，故错误； C：在上单调递增，在上单调递减，故错误； D：在上单调递减，故正确. 故选：D. 8. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义易得答案. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以，所以. 故选：A. 9. 如图所示，直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图像可知直线过点，由斜率公式代入求解即可. 【详解】由图像可知直线过点， 直线l的斜率为. 故选：A. 10. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由含绝对值不等式的解法直接求解即可. 【详解】由不等式，可得或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：. 11. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意判断函数的值域即可. 【详解】函数，其中， 则，值域为. 故选:B. 12. 已知，且，则的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】运用基本不等式求最值即可. 【详解】已知，且， 则由基本不等式得， 即，解得， 当且仅当，等式成立， 所以的最大值为2. 故选：C. 13. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据自变量所处的位置即可求出函数定义域. 【详解】在中，在中.因此函数的定义域是. 故选：B. 14. 在中，已知是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的平行四边形法则即可得解. 【详解】 如图所示延长到点,使. 又因为. 所以四边形为平行四边形. 所以. 故选:. 15. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】找到焦点与渐近线，利用点到直线的距离求解即可. 【详解】由题可知：双曲线，其中一个焦点为， 其中一条渐近线为， 所以焦点到渐近线的距离为， 故选:C. 16. 已知数列满足，则（ ） A. 5 B. 14 C. 41 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中数列所给递推关系，代入即可求解. 【详解】由题，数列满足， 时，， 时，， 时，， 故选：C. 17. 为迎接全市首届中小学生跳绳比赛，某校从3名男生，5名女生中，选出2名男生和3名女生组成代表队参赛，可选派的种数为（ ） A. 13 B. 30 C. 56 D. 66 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数公式以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】某校从3名男生，选出2名男生的方法数为； 某校从5名女生，选出3名男生的方法数为， 选出2名男生和3名女生组成代表队参赛，则方法数为. 故选：B. 18. 下列命题正确的是（ ） A. 垂直于同一直线的两个平面平行 B. 垂直于同一平面的两个平面垂直 C. 垂直于同一直线的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两条直线垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系判断易得答案. 【详解】A：垂直于同一直线的两个平面平行，故正确； B：垂直于同一平面的两个平面有可能相交，也有可能平行，所以两个平面不一定垂直，故错误； C：垂直于同一直线的两条直线有可能相交，异面，平行，故错误； D：垂直于同一平面的两条直线平行，故错误， 故选：A. 19. 函数的部分图象如图所示，则它的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象看出，再根据图象上两个点的坐标求出正弦型函数的周期，再代入一个点的坐标，结合诱导公式即可得解. 【详解】由题意的，图象上两个点的坐标分别是，， 所以，所以， 所以过点， 所以，即， 则，解得， 所以函数的解析式为. 故选：D. 20. 已知函数的图像与直线有三个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】数形结合，根据分段函数的图像，根据交点个数判断直线位置，确定的取值范围. 【详解】如图，根据这个分段函数图像， 当时，图像与直线有三个不同的交点. 故选：A. 二､填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 抛掷一枚骰子，“正面向上的点数小于3”的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由古典概型的定义即可求解. 【详解】“正面向上的点数小于3”的数字为1，2两种情况， 抛掷一枚骰子正面向上的点数有6种可能情况， 因此“正面向上的点数小于3”的概率是，即. 故答案为：. 22. 已知数列的前项和，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据前项和与的关系，即易得答案. 【详解】因为数列的前项和， 所以，， 所以. 故答案为：. 23. 已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标为________________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和性质可求解. 【详解】设点的横坐标为，则， 由题意，根据抛物线的定义，可知P到准线距离也为5． 因为抛物线的准线为， 所以，即， 解得. 故答案为：3 24. 已知直线与直线平行，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行得易得答案. 【详解】因为直线与直线平行， 所以， 解得， 代入直线方程，两直线不重合，满足题意. 故答案为：. 25. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，再根据二倍角余弦公式易得答案. 【详解】因为已知， 所以. 故答案为：. 26. 展开式中含项的系数为__________. 【答案】24 【解析】 【分析】根据二项式通项公式先求出含项对应的易得答案. 【详解】因为展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中含项为. 所以展开式中含项的系数为. 故答案为：. 27. 数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比.该定理可以推广到圆锥容球，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥的体积之比等于它们的表面积之比，且该比值为（其中为内切球的半径，为圆锥的底面半径，为圆锥轴截面的底角），已知一个圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该比值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的轴截面为等边三角形，得到底面半径，内切球的半径以及轴截面底角，代入即可求解. 【详解】一个圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，所以圆锥的底面半径为， 圆锥轴截面的底角， 三棱锥内切球的半径为其轴截面等边三角形内切圆的半径， 如图所示,, 即,即， 解得, 将以上数据代入，得. 故答案为：. 三､解答题（本大题共8题，共72分.解答应写出必要文字说明及演算步骤） 28. 计算：. 【答案】35 【解析】 【分析】根据指数、对数、以及三角函数的计算法则，即可求解. 【详解】原式 . 29. 已知. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系先求，再根据二倍角公式易得答案； （2）根据同角三角函数关系先求，再根据两角差正切公式易得答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 故； 【小问2详解】 因为， 所以. 30. 已知圆，直线的倾斜角为. （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若直线与圆相切，求直线的一般式方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程即可求解. （2）先根据倾斜角的性质表示出直线方程，再利用圆和直线相切和点到直线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 由题，圆， 圆方程配方得， 故圆心坐标为. 【小问2详解】 由题意知，， 可设直线的方程为，即， 由直线与圆相切得，即， 解得或， 故直线的一般方程为或. 31. 已知等差数列满足，数列满足，. （1）分别求数列的通项公式和； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列公式和等比数列公式，即可求解. （2）根据等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，解得， 则数列的通项公式为. 因为，所以数列是的等比数列， 则数列的通项公式为. 【小问2详解】 记数列的前项和为，数列的前项和为. 而 ， , 所以. 32. 如图所示，在正四棱柱中，分别是的中点. （1）求三棱锥的体积： （2）求二面角的平面角的正切值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用锥体体积公式求解即可； （2）先利用二面角的定义得到二面角的平面角，再在中利用正切函数的定义即可得解. 【小问1详解】 由题，三棱锥的底面是直角边为1的等腰直角三角形，高是3， 故有：. 【小问2详解】 记为的中点，连接，如图， 因为在正四棱柱中， 底面是边长为2的正方形，分别是的中点， 所以， 又底面，平面， 所以，又， 所以， 又为的中点，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， 故， 即二面角的平面角的正切值为. 33. 如图所示，在中，是边上的一点，， （1）求； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形任意一个内角的范围和余弦定理易得答案； （2）根据两角和正弦公式，正弦定理和三角形面积公式易得答案. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理得， 又为三角形内角，所以； 【小问2详解】 由（1）得，因为， 在中，由正弦定理，得， 因为， 故. 34. 习总书记强调，科技创新是发展新质生产力的核心要素，要增强创新自信，大力推进自主创新.某木玩企业利用AI技术研发出了一款新型木玩产品，该产品的成本价格是20元/件，且销售单价不得低于25元/件.若每日销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： （元/件） 30 40 50 （件） 250 200 150 （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元/件时，日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）50元/件，最大利润为4500元. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，设出对应一次函数的解析式，即可求解. （2）根据利润的公式，列出关系式后，根据二次函数的开口和对称轴，即可求解最值问题. 【小问1详解】 设，将，分别代入， 得，解得 故， 又因为且，即， 故与之间的函数关系式为. 【小问2详解】 设日销售利润为元，则 ， 由于二次函数图象开口向下， 时，， 故当销售单价定为50元/件时，日销售利润最大，最大利润为4500元. 35. 已知椭圆的焦距为，短轴长为2，直线交椭圆于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求弦长； （3）若动点为椭圆上异于的一点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦距和短轴长求出易得答案. （2）联立方程组再根据韦达定理和弦长公式易得答案. （3）先求出椭圆上距离直线最远的点所在的直线，再求最远距离，最后根据三角形面积公式易得答案. 【小问1详解】 因为焦距为，短轴长为2， 可知，即， 故椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 联立椭圆方程与直线方程，得， 设，根据韦达定理可知， 故 【小问3详解】 设与平行且与椭圆相切的直线方程为，联立，得， 所以根的判别式，解得， 当，直线与直线之间的距离， 当，直线与直线之间的距离， 两直线间距离越短，则面积越大， 则当直线为时，切点到直线的距离最大， 即， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $