精品解析：四川省宜宾市2024届高三职教对口升学适应性考试数学试卷

四川省宜宾市2024届高三职教对口升学适应性考试数学试题 注意事项： 本试题卷共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设集合，集合，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的概念及运算可求解. 【详解】由题可得 . 故选：A 2. 下列函数中在其定义域内既是奇函数又是单调递增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见函数的性质即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，令， ，则不是奇函数，故A不正确； 对于B，函数的定义域为R，令， ，则函数为奇函数， 在单调递增，在单调递减， 不在定义域内单调递增，故B不正确； 对于C，函数的定义域为R，令， ，则函数不是奇函数，故C不正确； 对于D，的定义域为R，令， ，则为奇函数， 是幂函数，在定义域R上为单调递增函数，D正确， 故选：D 3. 已知，则下面式子成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质结合举反例的方法逐个分析即可. 【详解】若，当时，则，故A错误. 若，例如中，，所以不成立，故B错误. 且，则，成立，故C正确. 若且，若均为负数，例，其中， 则不成立，故D错误. 故选：C. 4. 命题，则命题是命题成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先分析每个命题的解集，进而求解. 【详解】命题， 所以命题p的解集为， 命题， 由于x是的算术平方根，所以x必须是非负数， 等式两边同时平方得， （舍）， 所以命题q的解集为， 则命题q是命题p的子集， 则命题p是命题成立的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正、余弦的齐次式的化简计算，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 6. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由焦点在轴上的椭圆的标准方程的形式列式计算即可得解. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得， 即或，故满足. 故选：D. 7. 在等差数列中，若，则数列的前11项和等于（ ） A. 132 B. C. 66 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式得到，由等差数列的性质求得其前n项和即可. 【详解】数列为等差数列，设其公差为d， ∵，∴， 即， ∴. 故选：B. 8. 已知向量和，如果，则实数（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】因为向量和， 所以， 又，所以， 即，解得. 故选：D. 9. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分，两种情况，列出不等式，再分别根据指数函数和对数函数的单调性解不等式可求解. 【详解】①当时，则， 即，解得，所以； ②当时，则， 不等式可化为，即，所以. 综上所述，不等式的解集是. 故选：C 10. 5名男选手和8名女选手组成一组乒乓球混合双打队，不同的组合方式（ ） A. 5种 B. 8种 C. 13种 D. 40种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数原理即可得解. 【详解】由分步计数原理，共有种. 故选：D. 11. 已知直四棱柱中，底面ABCD为正方形，为的中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直四棱柱的性质与异面直线所成角的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】 已知直四棱柱中，且， 所以四边形是平行四边形，则， 异面直线BE与所成角即为BE与所成角， 即即为异面直线BE与所成角， 因为为的中点， 设， 由余弦定理得，， 故选：A. 12. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将函数解析式化简，再根据最小正周期的公式求解即可. 【详解】根据辅助角公式可知， . 根据最小正周期公式可知，. 故选：B. 13. 过原点的直线与圆相切，且切点在第二象限，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求解斜率，再由切点在第二象限确定斜率为负，进而得到答案. 【详解】由题意，直线的斜率存在，设直线方程为， 因为圆可表示为， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离，解得， 因为切点在第二象限，所以直线斜率为负，所以， 所以直线方程为：. 故选：D. 14. 某公司为激励创新，计划逐年增加研发奖金投入．若该公司2020年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长，则公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：，） A. 2023年 B. 2024年 C. 2025年 D. 2026年 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等比数列的性质列式，再结合对数换底公式解不等式，即可求解. 【详解】2020年全年投入研发奖金万元， 2021年全年投入研发奖金万元， 2022年全年投入研发奖金万元， ... 第年全年投入研发奖金万元， 当万元时，则， 可化为，解得， 因为为整数，所以从年研发奖金开始超过200万元， 故选：B 15. 定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，若方程在区间上有四个不同的根，则的值为（ ） A. B. 8 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得函数具有对称性和周期性，据此作出图像可求解. 【详解】因为定义在上的奇函数满足， 所以，即函数关于对称. 又因为，所以，即， 从而， 所以函数是以8为周期的周期函数. 因为奇函数在上单调递增，所以在也单调递增，根据对称性，其在递减，作出函数在区间上图像，并作出直线， 不妨设，由对称性可得，， 所以. 故选：A 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 已知，，与的夹角，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由内积的定义是即可求解. 【详解】由题意，. 故答案为： 17. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线的值是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线中，结合离心率公式即可求出. 【详解】已知离心率为2，则有，即， 由双曲线可得，， 得，解得. 故答案为：. 18. 的展开式的第6项的系数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用通项公式即可求解. 【详解】因为的展开式的第6项为， 所以第6项的系数为. 故答案为： 19. 记为等比数列的前项和，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的求和公式可求解. 【详解】设等比数列的公比为， ①当时，则，方程组无解； ②当时，由题可得 ，解得， 所以. 故答案为： 20. 函数的函数表示不超过的最大整数，例如：，则下列结论正确的是____________． ①函数是奇函数； ②对任意的； ③对任意的； ④的值域为． 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，利用赋值法，即可判断求解. 【详解】因为函数的函数表示不超过的最大整数， 又当时，， 当时，， 所以，且， 所以函数是非奇非偶函数，故①错误； 因为函数的函数表示不超过的最大整数， 所以， 所以， 所以对任意的成立，故②正确； 取，则， 所以此时，故③错误； 设，则， 所以的值域为，故④正确. 故答案为：②④. 三、解答题（本大题共6小题，21题10分，其余每题12分，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 某中职学校为筑牢校园安全防线，提升学生安全意识，举办了一次安全知识竞赛，以学生团队为单位参加比赛，每个团队每题作答正确得5分，错误得1分，已知甲队回答题库中三类相关知识题目正确率如下表： 题目类别 交通安全 消防安全 防溺水 正确率 （1）若甲队抽到交通安全、消防安全各一道题目，求甲队作答这两道题目后得分不低于6分的概率． （2）已知甲队抽到3道题目，且类别均不相同，设甲队在作答完这3道题目后的总分为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为9 【解析】 【分析】（1）根据概率加法和独立事件概率乘法公式即可求解； （2）先确定的所有可能的取值，结合独立事件概率乘法公式可求每个取值对应概率，由此可得分布列，再根据数学期望计算公式可求得期望值. 【小问1详解】 设答对交通安全题目，答对消防安全题目的事件分别为，两道题目回答得分不低于6分的事件为， 则 ， 所以该队两道题目回答得分不低于的概率为 【小问2详解】 由题意可得，甲队可能3个全错，2错1对，1错2对，3个全队， 所以的可能取值为3，7，11，15 ， ， ， ， 所以的分布列为： 3 7 11 15 22. 设公差大于0的等差数列的前项和为，已知，且成等比数列，记数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式． （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前n项和公式及等比数列的性质即可得解； （2）由裂项相消法求数列的前n项和即可. 【小问1详解】 设的公差为， 由有，化简得，① 又成等比数列， ，即，化简得，② 联立①②解得， ． 【小问2详解】 ， ， ， . 23. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小． （2）若BC边上的高等于，求的值． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和与差的正弦公式进行化简即可得解； （2）先求出的值，再利用余弦定理即可得解. 【小问1详解】 由及正弦定理得：， ， ， 即有， ， ， . 【小问2详解】 如图所示， Rt中，， ， 在Rt中， ， 由余弦定理得：. 24. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，底面，点在棱PD上，且． （1）求证：平面PBD． （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可得证 （2）由面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理确定二面角的平面角，再利用直角三角形求解的余弦值即可. 【小问1详解】 由菱形ABCD可知， 又由底面ABCD，底面， 得，面PBD， 故有面PBD. 【小问2详解】 连接OE，如图所示， 则平面平面， 由（1）知平面，平面， 则，， 故是二面角的平面角． 平面， 平面平面，． 在菱形ABCD中，， 则是等边三角形，则易知， 又，即 故， ， 即二面角的余弦值为． 25. 已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有．当时，，且有． （1）求的值． （2）判断函数的单调性并加以证明． （3）解不等式． 【答案】（1）， （2）函数是减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）采用赋值法，即令，得的值，再令可得的值； （2）根据函数单调性的定义即可判断的单调性； （3）由（1）中结论及已知条件，将不等式转化为，根据单调性可求解. 【小问1详解】 在中， 令，得，即； 令，得， 又因为，所以； 【小问2详解】 函数是减函数，证明如下： 设，且，则， 因为当时，，所以， 所以 ， 即，所以函数是减函数； 【小问3详解】 因为，所以，即， 因为函数是减函数，不等式可化为， 所以，解得， 不等式的解集为. 26. 在直角坐标系中，曲线与轴相交于A，B两点，点的坐标是，当变化时，解答下列问题： （1）能否出现的情况？说明理由． （2）证明过A，B，C三点的圆在轴上的截距为一个定值． 【答案】（1）不能，理由见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设出A，B两点坐标，利用韦达定理及向量内积坐标表示证明即可； （2）设出圆在轴交点坐标，利用A，B，三点坐标求出圆的方程，进而求出与轴另一交点坐标，进而求出截距即可. 【小问1详解】 令，又，为的根， 由韦达定理可得， 假设成立，， ，， ， 不能出现的情况. 【小问2详解】 令圆与轴的交点为， 令圆的方程为， 令得的根为， 由（1）可得，， ， 令得，①， 点在①上， 解得或， 在轴上的弦长为3，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省宜宾市2024届高三职教对口升学适应性考试数学试题 注意事项： 本试题卷共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设集合，集合，那么等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中在其定义域内既是奇函数又是单调递增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下面式子成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 4. 命题，则命题是命题成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则满足（ ） A. B. C. D. 7. 在等差数列中，若，则数列的前11项和等于（ ） A. 132 B. C. 66 D. 8. 已知向量和，如果，则实数（ ） A. B. 4 C. D. 9. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 5名男选手和8名女选手组成一组乒乓球混合双打队，不同的组合方式（ ） A. 5种 B. 8种 C. 13种 D. 40种 11. 已知直四棱柱中，底面ABCD为正方形，为的中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 12. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 13. 过原点的直线与圆相切，且切点在第二象限，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 14. 某公司为激励创新，计划逐年增加研发奖金投入．若该公司2020年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长，则公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：，） A. 2023年 B. 2024年 C. 2025年 D. 2026年 15. 定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，若方程在区间上有四个不同的根，则的值为（ ） A. B. 8 C. 0 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 已知，，与的夹角，则__________． 17. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线的值是___________. 18. 的展开式的第6项的系数是____________． 19. 记为等比数列的前项和，若，则____________． 20. 函数的函数表示不超过的最大整数，例如：，则下列结论正确的是____________． ①函数是奇函数； ②对任意的； ③对任意的； ④的值域为． 三、解答题（本大题共6小题，21题10分，其余每题12分，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 某中职学校为筑牢校园安全防线，提升学生安全意识，举办了一次安全知识竞赛，以学生团队为单位参加比赛，每个团队每题作答正确得5分，错误得1分，已知甲队回答题库中三类相关知识题目正确率如下表： 题目类别 交通安全 消防安全 防溺水 正确率 （1）若甲队抽到交通安全、消防安全各一道题目，求甲队作答这两道题目后得分不低于6分的概率． （2）已知甲队抽到3道题目，且类别均不相同，设甲队在作答完这3道题目后的总分为，求的分布列及数学期望． 22. 设公差大于0的等差数列的前项和为，已知，且成等比数列，记数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式． （2）求． 23. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小． （2）若BC边上的高等于，求的值． 24. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，底面，点在棱PD上，且． （1）求证：平面PBD． （2）求二面角的余弦值． 25. 已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有．当时，，且有． （1）求的值． （2）判断函数的单调性并加以证明． （3）解不等式． 26. 在直角坐标系中，曲线与轴相交于A，B两点，点的坐标是，当变化时，解答下列问题： （1）能否出现的情况？说明理由． （2）证明过A，B，C三点的圆在轴上的截距为一个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $