精品解析：河北省职教高考研究联合体2023-2024学年高三上学期第一次联合考试数学试题

2023-2024学年河北省职教高考研究联合体第一次联合考试 数学试题 2023-11 说明： 一、本试卷共4页，包括三道大题37个小题，共120分.考试时间120分钟.其中第一道大题（15个小题）为选择题. 二、答题前请仔细阅读答题纸上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.在答题纸上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题纸非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题纸上做任何标记. 三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案. 四、考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回. 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 已知集合，若，则满足条件的集合的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合并集的结果即可得解. 【详解】集合， 满足条件的集合可以是，，，，共4个. 故选：D 2. 若，为实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性及二次根式的性质即可求解. 【详解】当时，，故，故A错误； 在上无单调性，不能推出，故B错误； 上单调递增，由，得，故C正确； 当时，，无意义，无法比较大小，故D错误. 故选：C. 3. “”是“，，成等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的定义即可判断，，成等差数列，由，，成等差数列即可得出，从而求解该题目. 【详解】若，得，则，，成等差数列，所以“”是“，，成等差数列”的充分条件， 若，，成等差数列，得，则，所以“”是“，，成等差数列”的必要条件， 故“”是“，，成等差数列”的充要条件，故选项C正确． 故选：C. 4. 下列函数中，在定义域内是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶函数的定义，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】选项A，函数的定义域为，，是奇函数，正确， 选项B，函数的定义域为，，不是奇函数，错误， 选项C，函数的定义域为，，不是奇函数，错误， 选项D，函数的定义域为，，不是奇函数，错误， 故选：A. 5. 在中，若则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化得，再结合两角差的正弦公式即可求解. 【详解】因为， 利用正弦定理得， 所以，即， 所以，， 因为是三角形内角， 故， 所以是等腰三角形. 故选：B 6. 函数满足（ ） A. 在定义域上是增函数 B. 在上是减函数 C. 在上是增函数 D. 在上是减函数 【答案】B 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再分析函数的单调性，通过复合函数单调性的判断方法即可求解. 【详解】由函数有意义，得， 即，函数的定义域为， 又复合函数的外函数是增函数， 内函数在上是减函数，在上是增函数， 由复合函数的单调性同增异减， 得在上是减函数，在上是增函数. 故选：B. 7. 若等差数列的前项和，则等于（ ） A. 36 B. 48 C. 13 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和的定义求解即可. 【详解】由等差数列的前项和， 得. 故选：D. 8. 如图所示是函数在一个周期内的图像（其中，），则，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据图像确定周期，可求出的值，再将点代入中，结合即可确定的值. 【详解】由图可知， ，解得， 将点代入中， 得， 解得，，即，， 又因为，所以. 故选：A. 9. 已知向量，，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据向量垂直的性质求出的值，再计算的坐标. 【详解】由向量，，且， 得，解得，则， 所以 故选：D. 10. 已知直线经过点且与垂直，则该直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线垂直的性质和直线经过的点坐标，求解即可. 【详解】因为直线， 所以设所求直线得斜率为， 又直线经过点， 所以直线方程为，故所求直线为. 故选：B. 11. 从这6个数中任取3个不重复的数字作为二次函数的系数，则可以组成开口向上的二次函数的个数是（ ） A. 60 B. 100 C. 40 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意。结合排列数的应用，即可求解. 【详解】由题意，二次函数开口向上，得， 所以二次项系数a可以从1和2中选择，共有2种不同的选择， 一次项系数b和常数项c可以从剩余的5个数字中任选2个，有种方法， 所以可以组成开口向上的二次函数的个数是种. 故选：C. 12. 设是双曲线上的一点，若点到双曲线的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】双曲线方程为，则，又是双曲线上一点， 到双曲线的一个焦点的距离等于，设到另一个焦点的距离是， 由双曲线的定义，得，解得或. 故选：D. 13. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找出已知圆的圆心关于给定直线的对称点，该对称点就是对称圆的圆心，对称圆的半径不变，进而可得到对称圆的方程. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径为2， 点关于直线的对称点为， 且圆关于直线对称的圆的半径不变， 故所求圆的方程为. 故选：B. 14. 下列说法中，正确的是（ ） A. 平行于同一直线的两个平面必平行 B. 垂直于同一平面的两个平面互相平行 C. 垂直于同一条直线的两个平面互相平行 D. 如果两个平面平行，则分别在这两个平面内的两条直线也平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系求解即可. 【详解】A.平行于同一直线的两个平面的位置关系有平行、相交两种，故A错误； B.垂直于同一平面的两个平面互相平行或相交，故B错误； C.垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故C正确； D.如果两个平面平行，则分别在这两个平面内的两条直线的位置关系有平行、异面两种，故D错误. 故选：C. 15. 已知二项式，若，则实数等于（ ） A. 3 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式定理的通项公式即可求解. 【详解】，二项式展开式的通项公式为， ，又，，即，解得. 故选：C. 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 16. 设，则_____. 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数的解析式，从内而外求解即可. 【详解】因为，， 则. 故答案为：1. 17. 函数的定义域是_____.（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域以及根式函数的定义域求解即可. 【详解】要使函数有意义， 必须满足解得， 函数的定义域是. 故答案为：. 18. 计算：_____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据组合数、三角函数值、对数函数、指数函数的运算求解即可. 【详解】. 故答案为：4. 19. 计算：_________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角和与差的正切公式，即可求出. 【详解】， ， . 故答案为：. 20. 已知函数指数函数，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据指数函数的定义，列方程组可求解. 【详解】因为函数指数函数， 所以，解得. 故答案为：3 21. 在等比数列中，，，则_____. 【答案】8 【解析】 【分析】根据等比数列的性质将两个等式相除，求出公比和首项，即可求解. 【详解】在等比数列中，，， 则，解得， 由，得， 故. 故答案为：8 22. 已知，，，则_____. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量的模的公式求解即可. 【详解】若，， 则， 解得. 故答案为：1. 23. 若，，，则，，由小到大的顺序是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数、幂函数的单调性求范围进而比较大小即可. 【详解】幂函数在为增函数，则，即， 以为底的对数函数在为增函数，则，据， 以为底的指数函数在为增函数，则，即， . 故答案为：. 24. 若函数是定义在上的偶函数，则_____. 【答案】1 【解析】 【分析】利用奇偶函数的定义与性质，结合的解析式列式即可求解. 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，解得，. 故答案为：1. 25. 如果不等式的解集为，则_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据含绝对值的不等式的解法，结合题意，即可求得a和b的值，代入即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，故， 所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：2. 26. 焦点为且离心率为的椭圆的标准方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点坐标以及离心率求解即可. 【详解】由题意，焦点在轴上，. 设椭圆的标准方程为， 离心率，得， ，， 椭圆的标准方程为. 故答案为：. 27. 某班从甲、乙、丙三人中任选两人参加校运动会，则甲被选中的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先列出从三人中选两人的所有可能情况，再找出甲被选中的情况数，最后根据概率公式计算出甲被选中的概率. 【详解】从甲、乙、丙三人中任选两人参加校运动会共有种不同的选法，甲被选中有种选法，则甲被选中的概率为. 故答案为：. 28. 以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合折前、折后对应量的关系，易证为二面角的平面角，利用三角形全等可得，故为等边三角形，即可求解. 【详解】如图所示，以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角， 因为，为的中点， 所以，，， 所以折后，， 所以为二面角的平面角，所以， 连接，在和中，有， 所以，所以，又， 所以为等边三角形，所以. 故答案为：. 29. 在中，边，的长度是方程的两个根，若，则边的长度为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据边，的长度是方程的两个根借助韦达定理得到条件，进而由余弦定理求解即可. 【详解】在中，边，的长度是方程的两个根， 由根与系数的关系，得 又， 由余弦定理，得，. 故答案为：4 30. 已知，则实数_____. 【答案】9 【解析】 【分析】根据组合数的性质求解即可. 【详解】，，即. 故答案为：9. 三、解答题（本大题共7小题，共45分.要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 31. 已知集合，，且，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据一元二次不等式的解法求出集合，再由得出，再分别讨论，和三种情况即可. 【详解】集合， ，且，， 当时，，满足，可取， 当时，，， ，解得， 当时，，， ，解得. 综上所述，，故实数的取值范围是. 32. 已知等腰梯形是一块铁板，两底角，上底米，下底米，现将梯形截成一个如图所示的矩形，问当矩形的长和宽各为多少米时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据题意写出函数关系式即可求出矩形的最大面积. 【详解】根据题意，矩形的其中一条边落在底边上，，，， 设米，矩形面积为平方米， 梯形中，， ， 则矩形的另一条边米， 矩形的面积， 又等腰梯形的上底为4米，下底为40米， 梯形的高为米， 满足条件，解得， 当米，即矩形的宽为10米，长为20米时，矩形的面积最大，最大面积为200平方米. 33. 已知函数. （1）将已知函数化为的形式； （2）求该函数的最小正周期及单调递增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用三角函数诱导公式及其倍角公式即可求解. （2）通过求三角函数的最小正周期公式及其单调性的求法即可求解. 【小问1详解】 函数 . 【小问2详解】 最小正周期， 当，时， 即，， 函数的单调递增区间为. 34. 在等比数列中，，且，. （1）求此数列的通项公式及前项和； （2）若，求证：是等差数列. 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合等比中项的性质，求出首项和公比，继而求得数列的通项公式及前项和； （2）根据题意，先化简求出数列的通项公式，结合等差数列的概念，求为常数即可证明. 【小问1详解】 在等比数列中，，且，， 解得 所以，， ；. 【小问2详解】 ， ， ， 为等差数列. 35. 已知双曲线的焦距为，直线过点，交双曲线于，两点，且为线段的中点.求： （1）双曲线的标准方程； （2）直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据双曲线的焦距求出的值，从而确定双曲线方程. （2）通过设交点坐标，代入双曲线方程，利用中点坐标公式求出直线的斜率，进而得到直线方程. 【小问1详解】 由双曲线的方程，得双曲线的焦点在轴上，，， 又焦距为，，故，解得， 双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，设直线与双曲线的交点为，， 则，两式相减， 得， 即， 是，的中点，，， ， 利用点斜式，得直线的方程为，整理，得. 36. 在等腰直角三角形中，为斜边的中点，为所在平面外一点，且. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理求解即可. （2）利用等腰三角形的性质和勾股定理求出相关线段的长度，再根据线面角的定义找出线面角并求解. 【小问1详解】 为等腰直角三角形斜边的中点，， 又，， 平面，平面，，平面 【小问2详解】 为等腰直角三角形，为中点，故， 在，和中，， ，，， 又，平面，， 平面，为在平面中的射影， 故为与平面所成的角， 设，则，， ，为等边三角形， ， ，即， 故与平面所成的角为. 37. 某袋中有4个红球和2个黑球，从中任取3个球.求： （1）取到不同颜色球的概率； （2）有放回地取3次，取到黑球个数的概率分布列. 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）由古典概型的求法即可求解. （2）由古典概型的求法即可求黑球个数的概率分布列. 【小问1详解】 设事件{从袋中的4个红球和2个黑球中任取的3个球颜色不同}， 则. 【小问2详解】 有放回地取3次，取到黑球个数的可能取值为0，1，2，3， 取一次取到黑球的概率为， ，， ，， 满足的概率分布列见下表. 0 1 2 3 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年河北省职教高考研究联合体第一次联合考试 数学试题 2023-11 说明： 一、本试卷共4页，包括三道大题37个小题，共120分.考试时间120分钟.其中第一道大题（15个小题）为选择题. 二、答题前请仔细阅读答题纸上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.在答题纸上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题纸非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题纸上做任何标记. 三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案. 四、考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回. 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 已知集合，若，则满足条件的集合的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若，为实数，且，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“，，成等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，在定义域内是奇函数的是（ ） A B. C. D. 5. 在中，若则形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 6. 函数满足（ ） A. 在定义域上增函数 B. 在上是减函数 C. 在上是增函数 D. 在上是减函数 7. 若等差数列的前项和，则等于（ ） A. 36 B. 48 C. 13 D. 24 8. 如图所示是函数在一个周期内的图像（其中，），则，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 已知向量，，且，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线经过点且与垂直，则该直线的方程为（ ） A. B. C. D. 11. 从这6个数中任取3个不重复的数字作为二次函数的系数，则可以组成开口向上的二次函数的个数是（ ） A. 60 B. 100 C. 40 D. 20 12. 设是双曲线上的一点，若点到双曲线的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 或 13. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 14. 下列说法中，正确的是（ ） A. 平行于同一直线的两个平面必平行 B. 垂直于同一平面的两个平面互相平行 C. 垂直于同一条直线的两个平面互相平行 D. 如果两个平面平行，则分别在这两个平面内的两条直线也平行 15. 已知二项式，若，则实数等于（ ） A. 3 B. 1 C. D. 2 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 16. 设，则_____. 17. 函数的定义域是_____.（用区间表示） 18. 计算：_____. 19. 计算：_________ 20. 已知函数指数函数，则__________． 21. 在等比数列中，，，则_____. 22. 已知，，，则_____. 23. 若，，，则，，由小到大的顺序是_____. 24. 若函数是定义在上的偶函数，则_____. 25. 如果不等式的解集为，则_____. 26. 焦点为且离心率为的椭圆的标准方程为_____. 27. 某班从甲、乙、丙三人中任选两人参加校运动会，则甲被选中的概率为_____. 28. 以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则_____. 29. 在中，边，的长度是方程的两个根，若，则边的长度为_____. 30. 已知，则实数_____. 三、解答题（本大题共7小题，共45分.要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 31. 已知集合，，且，求实数的取值范围. 32. 已知等腰梯形是一块铁板，两底角，上底米，下底米，现将梯形截成一个如图所示的矩形，问当矩形的长和宽各为多少米时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 33. 已知函数. （1）将已知函数化为的形式； （2）求该函数的最小正周期及单调递增区间. 34. 在等比数列中，，且，. （1）求此数列的通项公式及前项和； （2）若，求证：是等差数列. 35. 已知双曲线的焦距为，直线过点，交双曲线于，两点，且为线段的中点.求： （1）双曲线的标准方程； （2）直线的方程. 36. 在等腰直角三角形中，为斜边的中点，为所在平面外一点，且. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小. 37. 某袋中有4个红球和2个黑球，从中任取3个球.求： （1）取到不同颜色球的概率； （2）有放回地取3次，取到黑球个数概率分布列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$