山东省青岛第一中学2024-2025学年高三上学期阶段性练习（12月）数学试题

青岛一中2024-2025学年度阶段性练习 高三数学试题 2024.12 本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分满分150分，考试时间120分钟 第I卷客观题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知集合，，则的子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 3. 设，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 6. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角的对边分别是，已知，则线段长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分 9. 定义在上的函数的值域为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. “是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件 B. 若为第一象限角，则 C. 在中，若，则为锐角三角形 D. 已知，且，则 11. 在平面直角坐标系中，到定点距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，为该曲线的两个焦点.已知曲线：是一条伯努利双纽线，点是曲线上一点，则（ ） A. B. C. 当时， D. 上存在两个点，使得 第II卷主观题 二､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为__________. 13. 一段路上有100个路灯一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个，当第名行人经过时，他将所有下标为的倍数的路灯的开关状态改变.问当第100名行人经过后，有______个路灯处于开着的状态. 14. 如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为__________若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为. （1）求的值； （2）若的面积为，且，求的周长. 16. 如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 17. 已知函数，曲线在处的切线方程为. （1）求函数的极值； （2）若，，求实数的取值范围. 18. 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似. （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左､右顶点，的一点.过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值； 19. 已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列． （1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； （2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4； （3）若为连续可表数列，且，求证：． 青岛一中2024-2025学年度阶段性练习 高三数学试题 2024.12 本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分满分150分，考试时间120分钟 第I卷客观题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AC 第II卷主观题 二､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】10 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：如图所示，连接． 因为，分别是棱，的中点， 所以， 因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 则． 因为平面，平面， 所以平面． （2）． 【17题答案】 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明： 由相似比可知，，解得， 所以椭圆， 设，直线的方程为，则， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 又代入上式，整理得， 同理可得， 所以，为关于的方程的两根， 所以， 又点在椭圆上， 所以， 所以，为定值. 【19题答案】 【答案】（1）是连续可表数列；不是连续可表数列． （2）证明：若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾； 当时,数列，满足，，，，，，，， ． （3）证明：若数列为连续可表数列， 则，这不可能！因而满足题设的． 若，得整数数列中的连续若干项（至少一项，下同）的和， ； ， ； ； 最多能表示（下简称数列的连续项和表示）出21个两两互异的正整数， 且题设是能表示出这20个正整数． ①若数列的六项均是自然数，由题设， 可得数列的连续项和均小于20（没有表示出20），与题设矛盾！ 所以数列中有负项且负项的项数是1（若存在两个负项，则数列的连续项和表示中会少两个正整数，至多能表示个正整数，不满足题设）． 若数列的项中还有0，则数列的连续项和表示中会少两个正整数（负项与0），不满足题设，因而数列的项是一项负五项正（且这五个正项两两互异）． 还可得：数列的连续项和表示中除负项这个和外组成的集合是． 因为其中最大的是20，所以20的连续项和表示是最多的连续若干个正项之和（即对数列的连续正项全部求和）． ②因为＂若数列满足题设，则数列 满足题设＂， 所以可只考虑数列或或的情形． 若且数列的其余五项都是正项，则或．若，则由， 可得，得数列的连续项和表示中的均不是正整数；若， 则由，可得， 得数列的连续项和表示中的均不是正整数．均不满足题设． 同理，可证得也不满足题设．因而， 且． ③若两两互异的五个正整数中没有1，则． 因而． 再由数列的连续项和表示中最小的正数是1，可得． 若，则 得数列的连续项和表示中会少表示一个正整数，不满足题设， 因而． 而，所以． 再由，可得， ， 再得数列的连续项和表示中17的表示只可能是， 进而可得. 又由数列的连续项和表示中有14，可得， ，得数列是（但或但，均不可能，因而中有1． ④由数列的连续项和表示中有19及， 可得或（得或． 若，则，得数列的连续项和表示中会少表示一个正整数； 若，可得（否则，数列的连续项和表示中会少表示一个正整数）， 所以，得， 数列的连续项和表示中会少表示一个正整数．均不满足题设． 所以． ⑤由数列的连续项和表示中有18及和为19的两两互异的四个数均大于1及， 可得得或（得， 数列的连续项和表示中会少表示一个正整数）. 所以． ⑥由数列的连续项和表示中有16及和为19的两两互异的四个数均大于1， （且4：因为及， 可得（得）或得或， （得，与矛盾）或得，与矛盾）． （i）． 由数列的连续项和表示中有15（可证得15的表示中没有也没有），可得得， 这不可能）或（得，，这不可能）或（得，与矛盾）或得，再得，这不可能）． （ii）． 由数列的连续项和表示中有14，可得 得与或重复，这不可能）， 或（得， 这不可能）或（得，， 进而可得数列是，（此时，这不可能）或，3，2，1（此时，这不可能））或得， 再由数列的连续项和表示中有13， 可得数列是（但，这不可能）或（但，这不可能）） 或（得，这不可能）． 综上所述，可得欲证结论成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $