福建省厦门外国语学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

厦门外国语学校2024—2025学年高二上12月月考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在数列中，，，且，则的值是（ ） A. B. 10 C. 50 D. 70 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 数列中的最大项为 7. 已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论不正确的是（ ） A. B. F为的中点 C. D. 8. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、.过向一条渐近线作垂线，垂足为.若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为1 C. 为递减数列 D. 为递增数列 10. 已知曲线.点，，则以下说法正确的是（ ） A. 曲线不关于原点对称 B. 曲线存在点，使得 C. 直线与曲线没有交点 D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向作垂线，垂足分别为，，则 11. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为和.过的直线交双曲线的右支于、两点，其中点在第一象限.的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（ ） A. 若双曲线渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为2或 B. 若，且，则双曲线的离心率为 C. 若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为 D. 若，，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等差数列，的前项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为_________. 13. 抛物线具备有趣的光学性质：由焦点射出的光线经过抛物线反射后，会沿着平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为F，AB为抛物线的过点F的一条弦，若从点F发出的光线分别在点A和点B反射后得到的两条平行直线之间的距离为5，则______． 14. 对于任意给定的一个正整数，将分母小于或等于的既约（最简）真分数按照自左至右递增排列，并在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，该数列称为阶Farey数列，记为，其项数记为，各项的和记为.如下，给出，，…，，在中，有，， 已知，则________，_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知动点与两个定点和满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为6的等边三角形，，，，分别是线段，的中点，平面平面． （1）求证：平面； （2）若点为线段上的中点，求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知数列的前项和为，，. （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知抛物线的焦点为，为上一点，且. （1）求的方程； （2）过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. 19. 《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（）．设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”． （1）若，求曲线H的方程； （2）若“齐备直线”：与曲线H相交于A，B两点，点M为曲线H上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为，，试判断是否存在λ，使得取得最小值？说明理由； （3）若，与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且N为线段ST的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点． 厦门外国语学校2024—2025学年高二上12月月考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. 23 ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）或 【16题答案】 【答案】（1） 连接，四边形是菱形，则，又，分别为，的中点 所以，故， 又为等边三角形，为的中点，则 平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，故 又，，，平面，可得平面. （2）. 【17题答案】 【答案】（1） 由得，又， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， ∴，即 ∴当时，， 又不满足上式，所以. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【19题答案】 【答案】（1） （2）存在使得取得最小值4，理由如下： 因为动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（）， 所以，整理得， 即，即为曲线的方程. 设，则， ， 得， 当且仅当即时，等号成立， 所以存在使得取得最小值4. （3）证明：由（2）知，当时，曲线：，双曲线的渐近线方程为：， 如图： AI 设，则，解得， 即，所以， 代入双曲线方程，得， 整理得，即， 解得或. 当时，，若，则， ，消去得，方程有唯一的解， 同理，若，得，方程有唯一的解， 故直线与曲线H有且仅有一个公共点； 当时，，消去得， ，方程有唯一的解， 故直线与曲线H有且仅有一个公共点. 综上，直线与曲线H有且仅有一个公共点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $