精品解析：2024届湖南省怀化市高三第一次联考对口数学试卷

湖南省怀化市2024届高三第一次联考对口数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目． 2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效．考生在答题卡上按如下要求答题； （1）选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； （2）非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； （3）请勿折叠答题卡．保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 3.本试题卷共4页．如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负． 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 祝你考试顺利! 本试题卷包括选择题、填空题、解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由含绝对值的不等式求出集合，再根据交集的概念运算即可. 【详解】集合， 所以， 故选：B. 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念结合一元二次不等式的解法分析即可. 【详解】已知，解得或， 所以若“”，则“”成立， 即“”能推出“” 若“”，则或， 即“”不能推出“” 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的定义易得答案. 【详解】因为不等式， 题目已知不等式， 所以不等式的解集是. 故选：B. 4. 已知是上的偶函数，在上为增，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的对称性可得在为减函数，再运用函数单调性解不等式即可. 【详解】已知是上的偶函数，在上为增， 则在为减函数，且 则当时， 若，即，解得， 当时，若，即，解得， 且是上的偶函数，所以，即， 所以的解集为. 故选：C. 5. 已知向量，且，则（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两向量平行的坐标公式易得答案. 【详解】因为向量，且， 所以. 故选：A. 6. 展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式表示出，再使的指数为，求出的值，代回通项即可得出结果. 【详解】已知， 则， 令，解得， 则， 所以展开式中含项的系数为. 故选：C. 7. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】通过比较圆心到直线的距离与圆半径的大小来求解即可. 【详解】对于圆 ，其圆心坐标为，半径。 可得圆心 到直线的距离为 ，即. 所以直线与圆相交. 故选：A. 8. 对于直线和直线，以及平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面关系的判定和性质定理，结合题意即可判断求解. 【详解】若，则或，故选项A错误； 若，根据线面垂直的性质定理，则一定成立，故选项B正确； 若，则相交或或，不一定有，故选项C错误； 若，则或异面或相交，故选项D错误； 故选：B. 9. 数列的前项和，则（ ） A. 13 B. 11 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列中之间的关系，结合题意，即可代入求解. 【详解】因为数列的前项和， 所以. 故选：B. 10. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的平方性质将转化为，再利用换元法，令，最后用端点值代入求得最大值. 【详解】因为函数， 所以. 令，则， 所以. 因为当时，， 当时，， 所以函数的最大值为3. 故选：D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 某校有高一高二高三三个年级，学生一共有4000人，其中高一年级1800人，高二年级1200人，现采用分层抽样抽取容量为200的样本，则高三年级应抽取______人 【答案】50 【解析】 【分析】根据分层抽样的方法，结合题意，先求出高三年级的人数，根据抽样比即可列式求解. 【详解】根据题意，高三年级学生数为人， 所以高三年级应抽取人. 故答案为：50. 12. 2个男生和3个女生站成一排，2个男生必须排在一起的排法有______种（用数字表示结果） 【答案】48 【解析】 【分析】运用捆绑法进行排列即可求解. 【详解】先将2个男生捆绑在一起看做一个复合元素， 这2个男生有种排法. 这个复合元素再和另外3个女生形成全排列， 有种排法. 共有种排法. 故答案为：48. 13. 若是抛物线上一动点，则到直线的最短距离是______. 【答案】0 【解析】 【分析】设点，由点到直线的距离公式表示出到直线的距离，再进行配方，根据即可确定最短距离. 【详解】已知是抛物线上一动点， 设点，则到直线的距离为， 因为，所以， 则，所以， 即到直线的最短距离是0， 故答案为：0. 14. 一中职学生练习普测考试，每次通过的概率都是，则他连续练习3次，恰好有2次通过的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据独立重复试验概率公式即可求解. 【详解】根据独立重复试验概率公式可得，恰好有两次通过的概率为 . 故答案为：. 15. 若一圆锥的高为3，体积为，则它的母线与底面所成夹角的正切值为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据圆锥的体积公式求出圆锥底面圆的半径，再由母线与底面所成夹角的正切值为，由此即可得出结果. 【详解】已知圆锥的高为3，体积为， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得， 所以它的母线与底面所成夹角的正切值为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，其中21，22小题为选做题，满分60分.解答应写出文字说明或演算步骤） 16. 已知函数且的图像经过点 （1）求的值，并指出函数的定义域； （2）求函数的图像与轴相交时交点的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数过点的坐标求出，再根据对数函数的定义域求法解指数不等式易得答案； （2）根据函数的图像与轴相交时交点的坐标即当解方程易得答案. 【小问1详解】 因为函数且的图像经过点 所以， 所以， 当， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 因为，当函数的图像与轴相交时，即当， 所以， 解得， 所以函数的图像与轴相交时交点的坐标为. 17. 设等差数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及前n项和的公式求解即可. （2）根据（1）得到的表达式，再根据裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，首项为. 则. 则，. 所以，数列的通项公式. 【小问2详解】 因为. 所以, 所以. 18. 设袋中装有3个白球，2个红球，从中取出一个白球得1分，取出一个红球得2分 （1）现从袋中任取2个球，记为取出的2个球的得分之和，求的分布列； （2）求取出的球中白球数不少于红球数的概率． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）确定随机变量的所有可能取值，并计算每个取值对应的概率，从而列出分布列. （2）根据（1）问的分布列求解即可. 【小问1详解】 从3个白球，2个红球中任取2个球，所有可能的情况有： 两个都是白球，有种取法，此时分. 一个白球一个红球，有种取法，此时分. 两个都是红球，有种取法，此时分. 总共有种取法. ； ； ． 所以的分布列为 【小问2详解】 白球数不少于红球数包括两种情况：两个都是白球和一个白球一个红球. 两个都是白球的概率为； 一个白球一个红球的概率为. 所以白球数不少于红球数的概率为. 19. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面分别是PB，PC的中点. （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定方法以及面面垂直的判定方法证明即可. （2）根据三棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 因为平面平面，所以， 又因为底面是矩形，所以. 平面平面， 所以平面，又平面，可得， 因为是的中点，所以. 平面平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 已知，由勾股定理可得，则. 因为平面，所以是三棱锥的高， 所以. 根据三棱锥体积公式，可得三棱锥的体积: . 20. 已知椭圆的离心率为，右焦点为 （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标求参数的值，从而得解； （2）将直线与椭圆方程联立，得到点坐标，进而得到点的坐标，再根据题意得到. 【小问1详解】 离心率为， 右焦点为，所以， 根据， 所以椭圆的标准方程. 【小问2详解】 将直线代入椭圆方程，得到：， 化简可得， 则，即， 设，，根据韦达定理，， 则， 所以线段的中点的坐标， 因为点在圆上， 所以，解得. 注意：第21题，22题为选做题，请考生选择其中一题作答 21. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，该三角形的面积为. （1）求中最大的边的长度； （2）若（为虚数单位），求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据余弦定理得到角的三角函数值，再根据三角形的面积公式得到a，b，c，进而求的最大的边的长度. （2）由（1）得到a，c，再根据复数的运算法则求解即可. 【小问1详解】 因为，根据正弦定理，所以. 所以，三角形为等腰三角形， 因为，所以. 根据余弦定理， ， . 因为，所以， ， 所以， 中最大的边的长度为. 【小问2详解】 由（1）知，，所以. . . . . 22. 某企业生产甲、乙两种产品，需要用A，B两种原料，每生产一吨的产品需要消耗的原料、原料总量及每种产品的利润如下表：问该公司如何安排甲、乙两种产品的产量可获最大利润，并求最大利润是多少？ 原料 甲消耗原料（／吨） 乙消耗原料（／吨） 原料拥有量（吨） A（吨） 3 1 9 B（吨） 2 3 13 利润（万元） 4 5 【答案】23 【解析】 【分析】根据题意列约束条件，根据约束条件画可行域，在可行域内求目标函数的最优解即可. 【详解】设生产甲产品吨，生产乙产品吨，总利润为万元. 根据题目所给信息，可得： 由题意可得， 表示的可行域为： 联立，解得. 由图知，最优解为， 所以最大利润（万元）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省怀化市2024届高三第一次联考对口数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目． 2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效．考生在答题卡上按如下要求答题； （1）选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； （2）非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； （3）请勿折叠答题卡．保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 3.本试题卷共4页．如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负． 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 祝你考试顺利! 本试题卷包括选择题、填空题、解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是上的偶函数，在上为增，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，且，则（ ） A. 1 B. 4 C. D. 6. 展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 7. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 8. 对于直线和直线，以及平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 数列的前项和，则（ ） A. 13 B. 11 C. 7 D. 9 10. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 某校有高一高二高三三个年级，学生一共有4000人，其中高一年级1800人，高二年级1200人，现采用分层抽样抽取容量为200的样本，则高三年级应抽取______人 12. 2个男生和3个女生站成一排，2个男生必须排在一起的排法有______种（用数字表示结果） 13. 若是抛物线上一动点，则到直线的最短距离是______. 14. 一中职学生练习普测考试，每次通过的概率都是，则他连续练习3次，恰好有2次通过的概率是______. 15. 若一圆锥的高为3，体积为，则它的母线与底面所成夹角的正切值为______. 三、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，其中21，22小题为选做题，满分60分.解答应写出文字说明或演算步骤） 16. 已知函数且的图像经过点 （1）求的值，并指出函数的定义域； （2）求函数的图像与轴相交时交点的坐标． 17. 设等差数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 18. 设袋中装有3个白球，2个红球，从中取出一个白球得1分，取出一个红球得2分 （1）现从袋中任取2个球，记为取出的2个球的得分之和，求的分布列； （2）求取出的球中白球数不少于红球数的概率． 19. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面分别是PB，PC的中点. （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积． 20. 已知椭圆的离心率为，右焦点为 （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求的值． 注意：第21题，22题为选做题，请考生选择其中一题作答 21. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，该三角形的面积为. （1）求中最大的边的长度； （2）若（为虚数单位），求的值． 22. 某企业生产甲、乙两种产品，需要用A，B两种原料，每生产一吨的产品需要消耗的原料、原料总量及每种产品的利润如下表：问该公司如何安排甲、乙两种产品的产量可获最大利润，并求最大利润是多少？ 原料 甲消耗原料（／吨） 乙消耗原料（／吨） 原料拥有量（吨） A（吨） 3 1 9 B（吨） 2 3 13 利润（万元） 4 5 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $