精品解析：浙江省温州市永嘉县职业教育中心2023-2024学年高三上学期9月开学考试数学试题

2023年9月开学考试数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平.答题时，请注意以下几点： 1.全卷共4页，有三大题，24小题.全卷满分100分.考试时间90分钟. 2.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效. 3.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题. 祝你成功！ 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 的绝对值等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的定义即可求解. 【详解】， 故选：D. 2. 如图是由七个相同的小立方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体形状以及主视图的概念，即可解得. 【详解】因为主视图是指从物体的前面向后面投射所得的视图， 根据几何体图像可判断选项B即为几何体主视图. 故选：B 3. 据国家卫健委表示，截至年1月日，全国累计报告新冠病毒疫苗完成全程接种的人数约为人，其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题中数据用科学记数法表示即可解得. 【详解】由题，用科学记数法可表示为：. 故选：C. 4. 某校调查学生最喜爱的运动项目的统计图如图所示．若最喜欢足球的有人，则最喜欢排球的有（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形图计算出总人数，再由对应比例计算即可解得. 【详解】由题，喜欢足球的有人， 则总人数共有人， 喜欢排球的人数为人. 故选：C 5. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数幂的运算即可解得. 【详解】选项A：，错误. 选项B：，错误. 选项C：，正确. 选项D：，错误. 故选：C. 6. 如图，与相切于点B，若的半径为2，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据圆的性质结合勾股定值求值即可. 【详解】如图所示，连接，则有， 且，， 所以， 故选：C. 7. 九年1班组织毕业晚会内部抽奖活动，共准备了张奖券，设一等奖5个，二等奖个，三等奖个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则抽一张奖券中一等奖的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知共准备了张奖券， 其中一等奖5个， 所以抽一张奖券中一等奖的概率为， 故选：D. 8. 如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为，米，则树高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义运算即可. 【详解】已知，， 在中，， 所以， 故选：C 9. 若点，，均在抛物线上，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的图象性质，结合对称轴即可解得. 【详解】由题，抛物线， 其对称轴为，函数图像开口向上， 故在函数图像上距离对称轴越远函数值越大， 而，故. 故选：A. 10. 现有边长为的正方形制作一副如图1所示的七巧板，将这幅七巧板在矩形内拼成如图所示的“老虎”造型，则矩形与“老虎”的面积之比为（ ） A 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】“老虎”的面积为正方形的面积，根据七巧板的特征求出矩形长和宽，将两矩形面积作比即可解得. 【详解】由题，“老虎”由七巧板拼成，正方形边长为，则“老虎”面积为， 正方形边长为，则其对角线长度为， 可知其中棕色小正方形边长为， 大直角三角形直角边长为，蓝色平行四边形上的高为， 则可知矩形长为，宽为， 则矩形面积为，故矩形面积与“老虎”面积比值为. 故选：D 卷Ⅱ 二、填空题（本题有8题，每小题3分，共24分） 11. 分解因式：______. 【答案】 【解析】 【分析】运用提公因式法因式分解即可. 【详解】， 故答案为：. 12. 一组数据4, 7, 3, x, 5的众数是5，则该组数据的平均数是________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据众数求出参数值，再计算平均数即可解得. 【详解】由题可知，这组数据的众数为， 则，平均数为. 故答案为：. 13. 某校学生“数学速算”大赛成绩的频数分布直方图每一组含前一个边界值，不含后一个边界值如图所示，其中成绩在分及以上的学生有______ 人 【答案】 【解析】 【分析】根据频数分布直方图进行计算即可解得. 【详解】根据频数分布直方图可知，成绩在分及以上的学生有人. 故答案为： 14. 计算：__________. 【答案】2 【解析】 【分析】将其合并化简即可得出答案. 【详解】. 故答案为：2. 15. 已知圆的半径为，扇形的圆心角为，则扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可解得. 【详解】由题，扇形面积. 故答案为： 16. 不等式组的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解法求解即可. 【详解】已知不等式组， 则，即， 解得， 所以不等式组的解集为， 故答案为：. 17. 如图，点是双曲线上的点，分别经过两点向x轴、y轴作垂线段，若，则_________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像性质得两个矩形的面积都是，即可求解. 【详解】已知点是双曲线上的点， 根据反比例函数的性质，，即经过两点向x轴、y轴作垂线段得到的矩形面积都是， 故， 所以， 则， 故答案为：4. 18. 如图1是伸缩式雨棚的实物图，由骨架与伞面两部分组成，可抽象成矩形（如图2），其中实线部分表示雨棚的骨架，矩形为雨棚的伞面，固定不动，当横杆自由伸缩时，骨架与伞面也跟着伸缩，当点，，在一条直线上时，雨棚伞面面积最大，伸缩过程中伞面始终是矩形.若测得，，，. （1）当时，雨棚伞面的面积等于______； （2）当时，雨棚伞面的面积等于______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）作辅助线构造直角三角形，根据勾股定理进行计算即可解得. （2）根据已知三角函数值，在直角三角形中找到对应比例关系，结合勾股定理即可解得. 【详解】（1）连接如下图所示： 由题可知，，， 则，又知， 则，同时可知， 则雨棚伞面的面积为. （2）过点作交于点，交于点，如下图所示： 故，， 则，解得，故， ，， ，， ，， 此时雨棚伞面面积. 故答案为：（1）（2）15 三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. （1）计算：. （2）化简： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算即可. （2）运用平方差公式化简即可. 【详解】 . （2） . 20. 如图，在中，，点，分别在边，上，且，，交于点. （1）求证：. （2）若，求的度数. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知边角关系证明三角形全等，即可证得两边相等. （2）根据已知三角形全等，证明等腰三角形和已知角度即可解得. 【小问1详解】 ， ， . 【小问2详解】 ，， ，， ，， . 21. 如图，在的方格纸中，已知线段（均在格点上），请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）． （1）在图1中画一个以为边的四边形，使其为轴对称图形． （2）在图2中画一个以为对角线的平行四边形，使其为面积为3． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据要求画图即可. （2）根据要求画图即可. 【小问1详解】 如图所示， 【小问2详解】 如图所示， 22. 如图，在平行四边形中，过作，垂足为，过点作，交边于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）连结和，若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知证明平行四边形，再由存在互相的垂直直线证明矩形即可解得. （2）根据已知角度和边的关系结合勾股定理即可解得. 【小问1详解】 四边形平行四边形， ，又， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形是矩形. 【小问2详解】 ，， ，， ，， 由（1）可知四边形是矩形，， ， ， . 23. 根据以下素材，探索完成任务 如何设计购买方案？ 素材1 某校名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需元．C场馆门票为每张元． 素材2 由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】任务1：根据已知列出方程组联立求解即可解得. 任务2：根据表中信息列出函数表达式，再由自变量范围即可解得. 【详解】任务1：由题，设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元， ，解得， 即馆门票元，馆门票元. 任务2：设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票张， 依题意得，即且为整数， 设此次购买门票所需总金额为元， ， 因为且为整数， ∴时，最小值为，即此次购买门票所需总金额的最小值为1210元． 24. 如图，在中，为直角，点O在上，以为半径的圆与相切于点E，与相交于点D，已知，，点分别在上（不与端点重合），且满足．设，． （1）求圆O的半径． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，过点Q作于点R，连接．当为直角三角形时，求x的值． 【答案】（1）3 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）首先证明，再由相似比即可求值. （2）根据，再由即可得出结果. （3）分别讨论当时，当时两种情况. 小问1详解】 连接，设圆的半径为r， 因为与圆相切， 所以，且为直角，， 所以， 因为，， 所以， 则，∴，解得. 【小问2详解】 由（1）可得，，，， 又，， 且，， 得， 整理得. 【小问3详解】 ①显然，当时， 且，又，所以， 得，， 所以，， 因为，所以为矩形， 则，即，解得：， 当时， 且，得，， 则，， ∴，是等腰直角三角形， ∵，∴， 过点作，则， ，即 得，解得：， 所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年9月开学考试数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平.答题时，请注意以下几点： 1.全卷共4页，有三大题，24小题.全卷满分100分.考试时间90分钟. 2.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效. 3.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题. 祝你成功！ 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 的绝对值等于（ ） A. B. C. D. 2 2. 如图是由七个相同的小立方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 据国家卫健委表示，截至年1月日，全国累计报告新冠病毒疫苗完成全程接种的人数约为人，其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某校调查学生最喜爱的运动项目的统计图如图所示．若最喜欢足球的有人，则最喜欢排球的有（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 5. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与相切于点B，若的半径为2，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 4 7. 九年1班组织毕业晚会内部抽奖活动，共准备了张奖券，设一等奖5个，二等奖个，三等奖个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则抽一张奖券中一等奖的概率为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为，米，则树高为（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 若点，，均在抛物线上，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 现有边长为的正方形制作一副如图1所示的七巧板，将这幅七巧板在矩形内拼成如图所示的“老虎”造型，则矩形与“老虎”的面积之比为（ ） A. 2 B. C. D. 卷Ⅱ 二、填空题（本题有8题，每小题3分，共24分） 11. 分解因式：______. 12. 一组数据4, 7, 3, x, 5的众数是5，则该组数据的平均数是________. 13. 某校学生“数学速算”大赛成绩的频数分布直方图每一组含前一个边界值，不含后一个边界值如图所示，其中成绩在分及以上的学生有______ 人 14 计算：__________. 15. 已知圆的半径为，扇形的圆心角为，则扇形的面积为______． 16. 不等式组的解集为______. 17. 如图，点是双曲线上的点，分别经过两点向x轴、y轴作垂线段，若，则_________. 18. 如图1是伸缩式雨棚实物图，由骨架与伞面两部分组成，可抽象成矩形（如图2），其中实线部分表示雨棚的骨架，矩形为雨棚的伞面，固定不动，当横杆自由伸缩时，骨架与伞面也跟着伸缩，当点，，在一条直线上时，雨棚伞面面积最大，伸缩过程中伞面始终是矩形.若测得，，，. （1）当时，雨棚伞面的面积等于______； （2）当时，雨棚伞面的面积等于______. 三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. （1）计算：. （2）化简： 20. 如图，在中，，点，分别在边，上，且，，交于点. （1）求证：. （2）若，求的度数. 21. 如图，在方格纸中，已知线段（均在格点上），请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）． （1）在图1中画一个以为边的四边形，使其为轴对称图形． （2）在图2中画一个以为对角线的平行四边形，使其为面积为3． 22. 如图，在平行四边形中，过作，垂足为，过点作，交边于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）连结和，若，，，求的长． 23. 根据以下素材，探索完成任务 如何设计购买方案？ 素材1 某校名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需元．C场馆门票为每张元． 素材2 由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 24. 如图，在中，为直角，点O在上，以为半径的圆与相切于点E，与相交于点D，已知，，点分别在上（不与端点重合），且满足．设，． （1）求圆O的半径． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，过点Q作于点R，连接．当为直角三角形时，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$