预习篇 6.4.1—6.4.2 平面向量的应用 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

6.4.1—6.4.2 平面向量的应用 【题型1】 向量在几何中的应用 【基础知识】 平面几何中的向量方法 ① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决. ② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲” 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 把运算结果“翻译”成几何关系. Eg 点不在同一直线上 证明直线平行或共线： 证明直线垂直： 求线段比值：且 证明线段相等： 【经典例题】 情况1 用向量证明线段垂直 【例1】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 【巩固练习】 1（22-23高一·全国·随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】先得到，，从而利用数量积公式求出，得到垂直关系. 【详解】由题意得，，      故， 因为，所以， 故. 2（2023高三·全国·专题练习）如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.    【答案】证明见解析 【分析】根据平面向量的运算性质设，，转化求解，结合平面向量的数量积运算即可证明结论. 【详解】证明：如图，    设，， 则，，，， ∴， ∴，∴. 3（23-24高二上·浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 情况2 用向量解决线段长度问题 【例1】（24-25高三上·天津河北·期中）已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 . 【答案】 【分析】根据重心和外心性质，通过转化法利用数量积可得，再由三角形法则计算可求出的长为. 【详解】延长交于点，连接，作于点，则分别为的中点，如下图所示： 易知， 同理可得， 由重心性质可知； 所以； 又，即，可得； 所以，可得； 因此，即. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于要充分利用重心和外心的性质，将数量积通过转化得出三角形边长之间的关系，再由即可得出结果. 【巩固练习】 1（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由，可得，即可判断的形状. 【详解】因为，即，即， 所以，所以是等腰三角形. 故选：A. 2（22-23高一·全国·随堂练习）用向量的方法证明：梯形的中位线等于两底和的一半． 【答案】证明见解析 【分析】利用向量加法法则，结合梯形的特征用两底边所表示向量表示出中位线所表示向量，即可证结论. 【详解】如下图，梯形ABCD中，且为中位线，则，， 又，所以， 又同向，所以 所以梯形的中位线等于两底和的一半.    3（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数定义即可求得的长；利用向量法即可求得的长度； （2）利用向量夹角的余弦公式即可求得的值. 【详解】（1）是高，，在Rt中，， 所以. 是中线，， ， （2）， . 另解：过D作交于， 是的中点，是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， . 情况3 其他应用 【例1】（23-24高一·上海·课堂例题）用向量方法证明：把一个平行四边形的一个顶点和两条不过此顶点的边的中点分别连线，则这两条连线三等分此平行四边形的一条对角线． 【答案】证明见解析 【分析】可作平行四边形，分别是的中点，分别交于点，然后设，根据三点共线得出，同理可得，即可证明． 【详解】已知：平行四边形，分别是的中点，分别交于点；求证：是的三等分点． 证明：如图，设，， 因为三点共线， 所以，即， 所以，同理可得， 所以是的三等分点． 【巩固练习】 1（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【答案】证明见解析. 【分析】由题知，，进而根据题意得，再根据向量共线即可证明. 【详解】由四边形是平行四边形，得，， 因为，， 因此，显然点不在直线上，则，且， 所以四边形是平行四边形. 2（23-24高一·上海·课堂例题）证明：三角形的三条中线相交于一点． 【答案】证明见解析 【分析】设的中线与交于点M，根据M在，上，利用共线向量定理得到，，再结合求解即可. 【详解】如图， 设的中线与交于点M. 则由M在，上，可知必存在实数p，q， 使得，， 因为， 所以，又， 所以， 所以，解得，即，， 设边上的中线与交于点N， 根据对称性，可知中线与的交点N也必满足上述性质， 同理可证，故M，N重合，故三角形的三条中线相交于一点. 【题型2】向量在物理中的应用 【基础知识】 1 速度、力是向量，都可以转化为向量问题； 2 力的合成与分解符合平行四边形法则. 【经典例题】 【例1】（多选）（23-24高一下·江苏泰州·期中）长江某处的南北两岸平行，江面宽度为，一艘船从江南岸边的处出发到江北岸.已知如图，船在静水中的速度的大小为，水流方向自西向东，且速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则（    ） A．当船的航行距离最短时， B．当船的航行时间最短时， C．当时，船航行到达北岸的位置在的左侧 D．当时，船的航行距离为. 【答案】BD 【分析】对A，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可验算；对B，，只要最大即可判断；对C，当时，游船水平方向的速度大小为然后确定方向即可；对D，由题意，根据向量模的运算公式以及数量积的运算律即可验算. 【详解】对于A，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，从而，故A错误； 对于B，船的航行时间为（），若要船的航行时间最短时，则最大， 也就是说当且仅当时，船的航行时间最短时，故B正确； 对于C，当时，游船水平方向的速度大小为，方向水平向右， 故最终到达北岸时游船在点的右侧，故C错误； 对于D，由题意设位移分量为，位移为， 则，其中， 所以（km/h），故D正确. 故选：BD. 【例2】 （23-24高一·全国·课后作业）如图，重为的匀质球，半径，放在墙与均匀木板之间，A端固定在墙上，B端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小．    【答案】 【分析】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，根据力矩平衡可得出，再由，可求得的值，即可得解． 【详解】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，令球心为，与球的切点为， 则，， 依题意，，由处于平衡状态，以为杠杆支点，有， 又，，（）， 所以绳的拉力为.    【巩固练习】 1（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【答案】C 【分析】根据平衡状态得，结合向量的数量积求解即可． 【详解】由题意得，， 所以， 故选：C． 2（23-24高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则对冰球所做的功为（    ）    A． B． C．17 D．10 【答案】C 【分析】由平面向量数量积的定义即可得出答案. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 3（23-24高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据题意，由向量的平行四边形法则可得，由此分析选项，即可得答案． 【详解】根据题意，由于，又由， 则有向量，为邻边的四边形为菱形， 则有，, 对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，由于，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当时，，D错误． 故选：C. 4（23-24高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸，利用勾股定理求出合速度，从而可求出航行时间. 【详解】设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度，水流速度， 要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸， 如图指：， 所以. 故选：A. 5（24-25高二·上海·随堂练习）如图，为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同． (1)当求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N）． (2)若每根绳子可承受的最大拉力为2牛，则当时，此降落伞能否安全使用？ 【答案】(1)约1.41N (2)不能 【分析】（1）根据降落伞匀速下落可知根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，则绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量与礼物的重力是一对相反向量，由此可构造方程求得结果； （2）设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小，由题意知，代入数据即可求得结果. 【详解】（1）如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，因为，所以在上的投影向量为，所以8根绳子拉力的合力． 又因为降落伞匀速下落，所以，所以， 所以． （2）设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小， 则，故，当时，， 解得：． 因为超过最大承受拉力，有安全隐患，故此降落伞不能安全使用． 【A组---基础题】 1（23-24高一下·江西·期末）在中，点O为的外心，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设D，E分别是，的中点，根据外心性质可得到，同理可得，解得，根据向量乘法可求得，代入到可求得. 【详解】设D，E分别是，的中点，根据外心性质可得到 ， 同理可得， 又因，可得， 可解得， ，所以， 则. 故选：A 2（23-24高一下·安徽宿州·期中）若同一平面内的三个力作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知，且与的夹角为，则力的大小为（    ） A．37 B． C．13 D． 【答案】D 【分析】利用物体处于平衡状态得到，同时结合力和向量的关系求出即可. 【详解】由题意可知，所以 所以 故，则力的大小为. 故选：D. 3（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量加法的几何意义、数量积的运算性质可得，然后再求出即可 【详解】设与所成的角为， 由题意得，， 则 . 故选:A 4（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 【答案】AC 【分析】设水的阻力为，绳的拉力为，绳与水平方向的夹角为，则，根据变化即可判断. 【详解】设水的阻力为，绳的拉力为， 绳与水平方向的夹角为， 则， . 增大，减小， 增大， 增大， 船的浮力减小. 故选：AC. 5（24-25高三上·北京·开学考试）设D为内一点，且，则与的面积比为 . 【答案】 【分析】先由已知求得，接着以为邻边作平行四边形，连接交于点，于是有，从而推出，再结合和三角形同高即可得解. 【详解】由题得， 所以， 所以即，    如图所示，以为邻边作平行四边形，连接交于点， 则， 所以即，又和高相等， 所以. 故答案为：. 6（2024高一·全国·专题练习）如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：    【答案】证明见解析 【分析】利用平面向量的线性运算，选择用表示，结合向量的共线定理证明即可. 【详解】分别为中点，，， ； ，可设， ，又，， . 7（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又 ， ， 所以， 因为， 所以. 8（23-24高一下·山东德州·阶段练习）如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是线段的中点 【分析】（1）记，利用向量的线性运算将表示为的关系式，再利用向量的数量积运算即可得解； （2）将表示为的关系式，从而利用向量的数量积运算计算即可得证； （3）利用向量的中点性质与共线定理即可得解. 【详解】（1）依题意，记， 因为，所以，， 因为， 所以， 则， 故. （2）因为，所以， 所以， 则，即. （3）因为，所以是的中点，故， 因为，所以，即， 所以是线段的中点. 9（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 【答案】（1）处受力的大小为，处受力的大小为；（2）位移，功 【分析】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则，以点为、的始点，作平行四边形，使为对角线，再由锐角三角函数计算可得； （2）建立平面直角坐标系，利用坐标表示出、、，再求出其合力，则位移，所做的功为. 【详解】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则. 以重力作用点为、的始点，作平行四边形，使为对角线， 则，，，则，， ∴，∴四边形为矩形. ∴，. ∴处受力的大小为，处受力的大小为. （2）如图，以物体初始位置为原点，以正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系， 依题意可得，，， 设合力为，所以， 则， 则， 所以位移， 所做的功为. 【B组---提高题】 1（23-24高三上·山西·期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且 ，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【答案】C 【分析】由中位线定理可得四边形为平行四边形，结合已知以及，化简整理得，即，进一步即可得解. 【详解】    由题意结合中位线定理可得，， 所以，即四边形为平行四边形. ， ， ， ， ，即，即， 所以，又，所以， 同理由中位线定理可得，所以， 故四边形为矩形. 故选：C. 2（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知点分别是三角形的外心、重心和垂心．求证：、、三点共线．（此直线称为欧拉线） 【答案】证明见解析 【分析】法一：作的外接圆，连接，并延长交外接圆于点，作中线，连接，设交于点，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质可得为的重心，即与重合，即可证明；法二：由平面向量线性运算及三角形重心的性质证明即可． 【详解】方法一： 证明：作的外接圆，连接，并延长交外接圆于点，作中线，连接，设交于点，如图所示， 因为为直径， 所以，则， 又因为点为的垂心， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为是中点，是中点， 所以，， 所以，， 所以，则， 又为的中线， 所以点是的重心，即点和点重合， 所以、、三点共线． 方法二： 由法一得，四边形为平行四边形， 所以， 所以， 因为点为的重心， 所以， 所以，即， 由，，得， 所以、、三点共线． 3（2022高三·全国·专题练习）如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地．A地在观测站正北方向，且距离观测站2公里处，B地在观测站北偏东方向，且距离观测站5公里．观测站派出一辆观测车（记为点M）沿着公路向正东方向行驶进行观测，记∠AMB为观测角． (1)当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角∠AMB的大小；（精确到0.1°） (2)为了确保观测质量，要求观测角∠AMB不小于45°，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长．（精确到0.1公里） 【答案】(1) (2)5.4公里 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，利用数量积计算夹角的大小； （2）设点M，利用坐标表示向量和直线的斜率，求出∠AMB的正切值，从而求出对应的结果． 【详解】（1）根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示： 则， 则，， 所以， 所以观测角． （2）设， i.时，，所以， ii.时，直线MA的斜率为，直线MB的斜率为， 因为，，所以， 所以∠AMB为锐角，设， 则函数，当时，符合上式， 又，且，所以， 整理得，解得，且， 所以观测车行进过程中满足要求的路程长度约为5.4公里． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.1—6.4.2 平面向量的应用 【题型1】 向量在几何中的应用 【基础知识】 平面几何中的向量方法 ① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决. ② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲” 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 把运算结果“翻译”成几何关系. Eg 点不在同一直线上 证明直线平行或共线： 证明直线垂直： 求线段比值：且 证明线段相等： 【经典例题】 情况1 用向量证明线段垂直 【例1】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【巩固练习】 1（22-23高一·全国·随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 2（2023高三·全国·专题练习）如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.    3（23-24高二上·浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 情况2 用向量解决线段长度问题 【例1】（24-25高三上·天津河北·期中）已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 . 【巩固练习】 1（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2（22-23高一·全国·随堂练习）用向量的方法证明：梯形的中位线等于两底和的一半． 3（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 情况3 其他应用 【例1】（23-24高一·上海·课堂例题）用向量方法证明：把一个平行四边形的一个顶点和两条不过此顶点的边的中点分别连线，则这两条连线三等分此平行四边形的一条对角线． 【巩固练习】 1（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形. 2（23-24高一·上海·课堂例题）证明：三角形的三条中线相交于一点． 【题型2】向量在物理中的应用 【基础知识】 1 速度、力是向量，都可以转化为向量问题； 2 力的合成与分解符合平行四边形法则. 【经典例题】 【例1】（多选）（23-24高一下·江苏泰州·期中）长江某处的南北两岸平行，江面宽度为，一艘船从江南岸边的处出发到江北岸.已知如图，船在静水中的速度的大小为，水流方向自西向东，且速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则（    ） A．当船的航行距离最短时， B．当船的航行时间最短时， C．当时，船航行到达北岸的位置在的左侧 D．当时，船的航行距离为. 【例2】 （23-24高一·全国·课后作业）如图，重为的匀质球，半径，放在墙与均匀木板之间，A端固定在墙上，B端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小．    【巩固练习】 1（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 2（23-24高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则对冰球所做的功为（    ）    A． B． C．17 D．10 3（23-24高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 4（23-24高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 5（24-25高二·上海·随堂练习）如图，为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同． (1)当求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N）． (2)若每根绳子可承受的最大拉力为2牛，则当时，此降落伞能否安全使用？ 【A组---基础题】 1（23-24高一下·江西·期末）在中，点O为的外心，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一下·安徽宿州·期中）若同一平面内的三个力作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知，且与的夹角为，则力的大小为（    ） A．37 B． C．13 D． 3（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（   ） A． B． C． D． 4（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 5（24-25高三上·北京·开学考试）设D为内一点，且，则与的面积比为 . 6（2024高一·全国·专题练习）如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：    7（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度；(2)求∠MPB的正弦值. 8（23-24高一下·山东德州·阶段练习）如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 9（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 【B组---提高题】 1（23-24高三上·山西·期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且 ，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 2（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知点分别是三角形的外心、重心和垂心．求证：、、三点共线．（此直线称为欧拉线） 3（2022高三·全国·专题练习）如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地．A地在观测站正北方向，且距离观测站2公里处，B地在观测站北偏东方向，且距离观测站5公里．观测站派出一辆观测车（记为点M）沿着公路向正东方向行驶进行观测，记∠AMB为观测角． (1)当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角∠AMB的大小；（精确到0.1°） (2)为了确保观测质量，要求观测角∠AMB不小于45°，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长．（精确到0.1公里） 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$