预习篇 7.4 正态分布【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高二数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

7.4 正态分布 【题型1】 正态分布的概念与性质 【基础知识】 1 正态分布的概念 若连续型随机变量的概率密度函数为 其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为. 的图象称为正态曲线. 2 正态分布的期望与方差 若，则 3 正态曲线的性质 ① 曲线在轴的上方，与轴不相交； ② 曲线关于直线对称； ③ 曲线在时达到峰值； ④ 曲线与轴之间的面积为； ⑤ 当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近； ⑥ 曲线的形状由确定， 越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·湖北武汉·期中）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题中不正确的是（    ） A．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 B．该市这次考试的数学平均成绩为80分 C．该市这次考试的数学成绩的标准差为10 D．可以简记为：数学成绩服从正态分布 【答案】D 【分析】由可得该正态分布为，然后逐一判断即可. 【详解】由可得该正态分布为 所以分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同， 该市这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10 故选项D错误 故选：D 【点睛】本题考查的是正态分布的相关知识，较简单. 【例2】（21-22高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【详解】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C 【巩固练习】 1（23-24高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合正态分布密度函数的解析式，即可求解. 【详解】由正态分布密度函数，可得. 故选：C. 2（23-24高二下·江苏常州·期中）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 【答案】A 【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定. 【详解】由题意，得，，， 因为当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且， 所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③. 故选：A. 3（23-24高二下·宁夏银川·期末）正态分布，，（其中，，均大于0）所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是（    ） A．最大，最大 B．最大，最大 C．最大，最大 D．最大，最大 【答案】D 【分析】根据正态分布的均值和方差对图形的影响判断即可. 【详解】由正态分布，可知是均值，是正态密度曲线的对称轴，可知最大， 表示方差，越小越“瘦高”，越大越“矮胖”，所以最大. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了正态分布曲线比较均值和方差，属于基础题. 4（23-24高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 【题型2】 正态分布的概率计算问题 【基础知识】 若，取值不超过的概率为区域的面积，而为区域的面积. 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·福建福州·期末）已知随机变量，随机变量，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 结合对称性得出，再由对称性得出. 【详解】因为 ，所以， 因为，所以， 又 ，所以A正确； 故选：A 【例2】（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分布，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一，求出，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案. 【详解】解法一：依题意，得， 故； 解法二：数学成绩在80分至95分的有人， 由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人， 故. 故选：B. 【巩固练习】 1（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【分析】根据正态分布的性质求解即可， 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以，所以. 故选：C. 2（24-25高三·上海·课堂例题）若随机变量，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态密度曲线的对称性，即可求解. 【详解】随机变量，且，， 由正态密度曲线的对称性可知，， 所以. 故选：B 3（2024·云南·模拟预测）已知，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【答案】B 【分析】由正态曲线的对称性可求出，即可求出. 【详解】根据正态曲线的对称性，由，得， 再由总体密度曲线，数形结合知：. 故选：B． 4（23-24高二下·陕西西安·期末）某市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为四个等级.若某同学考试成绩的等级为，则该同学的考试成绩可能为（    ）（参考数据：） A．120 B．90 C．80 D．60 【答案】B 【分析】根据题意分析可知，结合正态分布的对称性分析求解即可. 【详解】数学测试成绩服从正态分布，则，， 由于等级的概率之和为， 所以， 又因为， 即， 故为A等级，为等级，为等级，为等级， 结合选项可知：该同学的考试成绩可能为90. 故选：B. 5（22-23高二下·上海崇明·期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 【答案】A 【分析】根据题意，由正态分布的性质可得，即可得到结果. 【详解】因为数学考试成绩服从正态分布，又， 所以， 则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为. 故选：A 6（21-22高二下·广东广州·期末）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（    ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 【答案】B 【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】因为，， 将化为标准正态分布，则， 因为，所以，故A错误； 又，，故B正确； 因为，所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C错误； 因为，所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D错误. 故选：B． 【题型3】 原则 【基础知识】 假设，对于给到的,是一个只与有关的定值，特别地， 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量只取之间的值，并简称之为 原则. 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·四川眉山·期末）某种生态鱼在某个池塘一年的生长量X（单位：克）服从正态分布，则概率为（    ） 参考数据：①；②；③ A．0.8186 B．0.84 C．0.8785 D．0.9759 【答案】B 【分析】分析可知：，根据原则结合对称性分析求解. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：B. 【例2】（多选）（24-25高三上·重庆·开学考试）在实际生产中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则，若在外，可以认为生产线是不正常的，已知.某生产线上生产的零件长度服从正态分布（单位：厘米），则（    ） A． B． C．若抽检的10个样本的长度均在内，可以认为生产线正常 D．若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修 【答案】BCD 【分析】由题意可得，根据正态分布的特征逐一判断即可. 【详解】解：由题意可得， 对于A，因为正态分布求得是随机变量在某一区域内的概率（在某一处的概率约为0）， 所以接近于0，或或，故A错误； 对于B，因为服从正态分布，所以关于对称， 所以，故B正确； 对于C，因为，即零件长度在内的是正常的，否则就为不是正常零件，所以C正确； 对于D，由C的分析，可知，所以需要对生产线进行检修，所以D正确. 故选：BCD. 【巩固练习】 1（23-24高二下·四川德阳·期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（    ） 参考数据：若，则，，． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意， 所以测试成绩不小于90的学生所占的百分比为. 故选：A. 2（24-25高三上·甘肃白银·期中）某餐饮店在网络平台推出一些团购活动后，每天团购券的核销量（单位：张），则200天中团购券的核销量在84到132张的天数大约是（    ） （若随机变量，则，，） A．191 B．137 C．159 D．164 【答案】D 【分析】根据正态分布，求在指定区间概率即可得解. 【详解】由题可知，， . 故200天内团购券的核销量在84到132张的天数大约是. 故选：D 3（24-25高二下·全国·课后作业）一批电阻的阻值（单位：）服从正态分布，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 【答案】C 【分析】根据定义结合正态分布的概率得出结论. 【详解】依题意，所以， 所以， ，， 因为， 所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂． 故选：C. 4（2024·重庆渝中·模拟预测）统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：），某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用原则列出不等式，求解即得. 【详解】按照原则可知，，解得， 所以的最大值为4. 故选：B. 5（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知某工厂生产零件的尺寸指标，单位为．该厂每天生产的零件尺寸在(43.8,48.6)的数量为84000，则可以估计该厂每天生产的零件尺寸在42.6以下的数量为（    ）参考数据：若，则 ． A．1587 B．2275 C．2700 D．1350 【答案】B 【分析】由题意知，根据原则求出和，即可求解. 【详解】由已知， ， 零件尺寸在42.6以下的概率为， 设零件尺寸在42.6以下的零件数为，则，解得． 故选：B 6（20-21高二下·福建福州·期中）江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（    ） 参考数据：若，则，， A．若出门，则开私家车不会迟到 B．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 【答案】D 【分析】对于A，由即可判断；对于BC，分别计算开私家车及乘坐地铁不迟到的概率即可判断；对于D，计算即可判断 【详解】对于A，当满足时， 江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故A错误； 对于，若出门， ①江先生开私家车， 当满足时， 此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁， 当满足时， 此时江先生乘坐地铁不会迟到； 此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故B错误； 对于C，若出门， ①江先生开私家车， 当满足时， 此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁， 当满足时，此时江先生乘坐地铁不会迟到； 此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故C错误； 对于D，若出门， 江先生乘坐地铁上班， 当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分别分析得江先生使用不同交通工具在路上所花时间，结合正态分布的对称性求得其对应的概率，从而得解. 7（多选）（24-25高三上·全国·阶段练习）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 【答案】BC 【分析】由题设可知：随机变量，即可判断AB；根据题中数据结合正态分布的性质求，，即可得判断CD. 【详解】由题设可知：，则随机变量， 所以随机变量的标准差为，故A错误， B正确； 因为 ，故C正确； 因为，故D错误. 故选：BC. 【题型4】 正态分布的实际应用 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·江苏·假期作业）某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼． (1)为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率； (2)经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为，标准差记为，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？ 附：若随机变量，则，，． 【答案】(1)． (2)该校高二年级学生体能检测成绩合格． 【分析】（1）利用条件概率计算公式即可求得甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率； （2）利用正态分布的性质即可求得全年级不合格人数总人数的百分比，与比较后即可得到该年级体能检测是否达标． 【详解】（1）设“甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜”为事件， “甲以或或获胜”分别记为事件，，， “甲前3局比赛均获胜”为事件． 则， ， ， ． ， ， 所以甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下， 前3局比赛均获胜的概率． （2）设该校高二年级学生体能检测的成绩为，则． ， 所以， 所以高二年级学生体能检测不合格的人数约为人， 而，所以该校高二年级学生体能检测成绩合格． 【巩固练习】 1（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【答案】(1) (2)分 (3)甲能获得高薪，理由见解析 【分析】（1）依题意，令，得到，根据及所给条件求出； （2）由（1）可得，设最录取分数为，根据，求得，即可得到答案； （3）考生甲的成绩为 ，得到甲能被录取概率为，从而推导出分以上的人数，即可得解. 【详解】（1）依题意，令，则， 所以可得，， ， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得， 设最录取分数为，则， ，，所以， 即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分， 所以甲能被录取概率为， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有， 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 2（24-25高三上·海南·阶段练习）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率. (2)高一学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加. （i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频； 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明. 参考数据：则，. 【答案】(1) (2)（i），（ii）方案2 【分析】（1）由古典概率公式结合对立事件的概率求解即可； （2）（i）由平均数的计算公式求出，再由原则求解即可；（ii）对于方案2，设每位学生所获赠学习视频的小时数为X，求出X的所有可能取值及其概率，再求出，与方案一比较即可得出答案.. 【详解】（1）因为抽样比， 所以抽取人，抽取人， 抽取人. 设事件：这4人中至少有2人来自前2组， . （2）， 所以，，，. 所以 . 对于方案2：设每位学生所获增学习视频小时数为，则. ， ， . ， 所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. 【A组---基础题】 1（23-24高二·全国·课后作业）设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图像，且，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（    ）． A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 【答案】B 【分析】化简函数为，得到，即可求解. 【详解】因为，所以， 即正态总体的平均数与标准差分别为与. 故选：B． 2（2022·黑龙江哈尔滨·三模）某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】C 【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解. 【详解】由随机变量均服从正态分布，，， 结合正态概率密度函数的图象，可得，， 即甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值， 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性. 故选：C. 3（2024·广东·模拟预测）已知随机变量服从正态分布服从二项分布，则（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】根据正态分布以及二项分布的期望和方差公式即可求解AB，根据二项分布的概率公式即可求解C，根据正态分布的对称性质即可求解D. 【详解】，故AB错误； ，故C错误； 根据正态分布的对称性可得，故D正确. 故选:D. 4（22-23高三上·广东佛山·阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 5（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知随机变量ξ服从正态分布，则（    ） A．0.26 B．0.24 C．0.48 D．0.52 【答案】B 【解析】根据随机变量服从正态分布，且，得到，利用正态分布的对称性可得，由即可得出结果. 【详解】解：因为随机变量服从正态分布，且， 则，即正态分布曲线的对称轴为， 正态分布的密度曲线的示意图如下， 所以，并且， 则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查正态分布曲线在具体区间内的概率，考查正态分布曲线的特点及的几何意义，应用正态分布的对称性是解题的关键. 6（23-24高二下·广东江门·期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（    ） （附：，，） A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】数学测试成绩服从正态分布，则，， 由于等级的概率之和为， 所以 ，而即 故为A等级，为B等级，为C等级， 为D等级， 故105分为A等级． 故选：A. 7（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ） 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 【答案】ACD 【分析】根据正态分布的性质结合给定区间上的概率值可判断A；根据随机变量x的概率分布密度函数可判断B，C；根据正态分布的“”原则可判断D. 【详解】对于A，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X，则， 其中，则，A正确； 对于B，随机变量x的概率分布密度函数，有，，因此生产线乙的食盐质量，B错误； 对于C，因为，当且仅当时取等号， 因此当时，，C正确； 对于D，， 说明生产线甲上抽到质量大于食盐的可能性很低， 则随机抽取两包其质量均大于，说明判断出该生产线出现异常是合理的，D正确. 故选:ACD. 8（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 【答案】(1) (2)2048 【分析】（1）由题意可知，进而根据参考数据求事件的概率； （2）根据正态分布性质求事件的概率，结合频数频率关系求结论. 【详解】（1）∵， ∴. ∵， . 且， ∴. （2）∵， ， 且， ∴， ∴考试成绩位于区间内的考生人数为（人）. 9（2024·安徽合肥·二模）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表： 性别 参加考试人数 平均成绩 标准差 男 30 100 16 女 20 90 19 在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为． (1)证明：； (2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； (3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值．如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）． 附：． 【答案】(1)证明见解析； (2)平均数为96分，标准差为18分； (3)将定为等级，定为等级，定为等级，定为等级． 【分析】（1）利用平均数及方差公式即可求解； （2）利用平均数及方差公式，结合标准差公式即可求解； （3）根据（2）的结论及正态分布的特点即可求解. 【详解】（1） ， 同理． 所以. （2）将该班参加考试学生成绩的平均数记为，方差记为， 则， 所以 又，所以． 即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分． （3）由（2）知，所以全年级学生的考试成绩服从正态分布， 所以． ． 故可将定为等级，定为等级，定为等级，定为等级． 【B组---提高题】 1（22-23高二下·福建福州·期末）某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克）分为4级：的为A级，的为B级，的为C级，的为D级，的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为P（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，n的最大值为（    ）附： A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】依题意可得，设，利用错位相减法求出，即可得到，从而得到，再根据指数函数的性质及所给数据判断即可. 【详解】因为蓝莓果重量服从正态分布，其中， ， 设第次抽到优等果的概率（）， 恰好抽取次的概率，所以， 设，则， 两式相减得： ， 所以， 由，即， 又 所以的最大值为． 故选：A． 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设，利用错位相减法求出，进而求出，利用指数函数的单调性解不等式即可. 2（多选）（23-24高二下·贵州黔西·期末）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（    ） （参考数据：若，则） A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 【答案】ACD 【分析】直接利用题意判断A；利用条件概率、全概率公式等进行转化判断B；利用正态分布的性质判断C；设，由函数的单调性判断D. 【详解】对于A，依题意，经智能检测系统筛选合格的条件下，通过人工抽检合格的概率 大于直接进入人工抽检合格的概率，即，A正确； 对于B，由，得， 又， 于是，即， 因此，即，则，B错误； 对于C， ，C正确； 对于D，， 设，， 解得，，由， 解得，即， 所以取得最大值时，的估计值为53，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法： ①熟记，，的值; ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 3（2024·浙江·模拟预测）某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差. (1)经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率； (2)为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数） 参考数据：若随机变量，则，，. 【答案】(1) (2)200 【分析】（1）根据正态分布的区间的概率，以及对称性，即可求解； （2）首先分析得是等比数列，再利用累加法求，由此估计获得一等奖的人数. 【详解】（1）由题意可知，， ， 所以这一天该款手机的销量恰好在之间的概率为； （2）每一次摸到红球和白球的概率都是， 设积分为， ， ， ， 依次类推， ， 且，，， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， ， ， ， 则人， 所以估计获得一等奖的顾客人数为200人. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是判断数列是等比数列，从而利用累加法求和. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.4 正态分布 【题型1】 正态分布的概念与性质 【基础知识】 1 正态分布的概念 若连续型随机变量的概率密度函数为 其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为. 的图象称为正态曲线. 2 正态分布的期望与方差 若，则 3 正态曲线的性质 ① 曲线在轴的上方，与轴不相交； ② 曲线关于直线对称； ③ 曲线在时达到峰值； ④ 曲线与轴之间的面积为； ⑤ 当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近； ⑥ 曲线的形状由确定， 越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·湖北武汉·期中）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题中不正确的是（    ） A．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 B．该市这次考试的数学平均成绩为80分 C．该市这次考试的数学成绩的标准差为10 D．可以简记为：数学成绩服从正态分布 【例2】（21-22高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习】 1（23-24高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二下·江苏常州·期中）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 3（23-24高二下·宁夏银川·期末）正态分布，，（其中，，均大于0）所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是（    ） A．最大，最大 B．最大，最大 C．最大，最大 D．最大，最大 4（23-24高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【题型2】 正态分布的概率计算问题 【基础知识】 若，取值不超过的概率为区域的面积，而为区域的面积. 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·福建福州·期末）已知随机变量，随机变量，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分布，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2（24-25高三·上海·课堂例题）若随机变量，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 3（2024·云南·模拟预测）已知，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 4（23-24高二下·陕西西安·期末）某市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为四个等级.若某同学考试成绩的等级为，则该同学的考试成绩可能为（    ）（参考数据：） A．120 B．90 C．80 D．60 5（22-23高二下·上海崇明·期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 6（21-22高二下·广东广州·期末）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（    ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 【题型3】 原则 【基础知识】 假设，对于给到的,是一个只与有关的定值，特别地， 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量只取之间的值，并简称之为 原则. 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·四川眉山·期末）某种生态鱼在某个池塘一年的生长量X（单位：克）服从正态分布，则概率为（    ） 参考数据：①；②；③ A．0.8186 B．0.84 C．0.8785 D．0.9759 【例2】（多选）（24-25高三上·重庆·开学考试）在实际生产中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则，若在外，可以认为生产线是不正常的，已知.某生产线上生产的零件长度服从正态分布（单位：厘米），则（    ） A． B． C．若抽检的10个样本的长度均在内，可以认为生产线正常 D．若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修 【巩固练习】 1（23-24高二下·四川德阳·期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（    ） 参考数据：若，则，，． A． B． C． D． 2（24-25高三上·甘肃白银·期中）某餐饮店在网络平台推出一些团购活动后，每天团购券的核销量（单位：张），则200天中团购券的核销量在84到132张的天数大约是（    ） （若随机变量，则，，） A．191 B．137 C．159 D．164 3（24-25高二下·全国·课后作业）一批电阻的阻值（单位：）服从正态分布，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 4（2024·重庆渝中·模拟预测）统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：），某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知某工厂生产零件的尺寸指标，单位为．该厂每天生产的零件尺寸在(43.8,48.6)的数量为84000，则可以估计该厂每天生产的零件尺寸在42.6以下的数量为（    ）参考数据：若，则 ． A．1587 B．2275 C．2700 D．1350 6（20-21高二下·福建福州·期中）江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（    ） 参考数据：若，则，， A．若出门，则开私家车不会迟到 B．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 7（多选）（24-25高三上·全国·阶段练习）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 【题型4】 正态分布的实际应用 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·江苏·假期作业）某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼． (1)为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率； (2)经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为，标准差记为，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？ 附：若随机变量，则，，． 【巩固练习】 1（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 2（24-25高三上·海南·阶段练习）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率. (2)高一学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加. （i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频； 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明. 参考数据：则，. 【A组---基础题】 1（23-24高二·全国·课后作业）设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图像，且，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（    ）． A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 2（2022·黑龙江哈尔滨·三模）某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 3（2024·广东·模拟预测）已知随机变量服从正态分布服从二项分布，则（    ） A． B． C．， D． 4（22-23高三上·广东佛山·阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知随机变量ξ服从正态分布，则（    ） A．0.26 B．0.24 C．0.48 D．0.52 6（23-24高二下·广东江门·期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（    ） （附：，，） A．A B．B C．C D．D 7（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ） 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 8（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 9（2024·安徽合肥·二模）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表： 性别 参加考试人数 平均成绩 标准差 男 30 100 16 女 20 90 19 在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为． (1)证明：； (2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； (3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值．如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）． 附：． 【B组---提高题】 1（22-23高二下·福建福州·期末）某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克）分为4级：的为A级，的为B级，的为C级，的为D级，的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为P（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，n的最大值为（    ）附： A．4 B．5 C．6 D．7 2（多选）（23-24高二下·贵州黔西·期末）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（    ） （参考数据：若，则） A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 3（2024·浙江·模拟预测）某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差. (1)经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率； (2)为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数） 参考数据：若随机变量，则，，. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$