预习篇 7.3 二项分布与超几何分布 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高二数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

7.3 二项分布与超几何分布 【题型1】 二项分布的理解 【基础知识】 1 重伯努利试验 （1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验,比如产品的合格或不合格,医学检验结果的阳性或阴性； （2）将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验, （3）重伯努利试验具有如下共同特征 第一：同一个伯努利试验重复做次； 第二：各次试验的结果相互独立； 2 二项分布 (1) 概念 一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数,则 此时称随机变量服从二项分布,记作 并称为成功概率. 随机变量的分布列如下 (其中) 由二项定理,可得 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·四川绵阳·期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用二项分布知识求解即可 【详解】赞成栽种乙树木的人数设为X，则. 根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为. 故选：D. 【巩固练习】 1（24-25高三·上海·随堂练习）以下分布中是伯努利分布的是（    ）． A．掷一枚硬币正面次数的分布 B．掷两枚硬币正面次数的分布 C．抛一颗骰子点数的分布 D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布 【答案】A 【分析】根据伯努利分布的概念即可判断. 【详解】只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布． 则选项A符合，选项BCD不符合. 故选：A. 2（23-24高二下·天津西青·期末）某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布计算公式可求得结果为. 【详解】记“至少有两次击中目标”为事件，连续射击三次击中目标的次数为， 由每次射击击中目标的概率均为，则未击中目标的概率均为； 则. 故选：D 3（23-24高二下·河南安阳·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A．39 B．50 C．63 D．68 【答案】C 【分析】先利用二项分布的概率公式求出的值，再利用排列数公式和组合数公式求解． 【详解】随机变量服从二项分布，且， ， ， ， ． 故选：C． 4（23-24高二下·广西·期中）已知，记使取最大值时的的值为．把这9个数字排成一列，则的左、右两侧都有数字，且与相邻的数字都比大的排列种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的概率公式得到，即可求出取最大值时的值即，再计算排列数即可. 【详解】因为，则（且）， 所以， 当时，，当时，， 所以时，最大，所以， 首先将排到中间个位置中的一个位置， 再从、、、、、六个数字中选两个数字排在的左右， 其余数字全排列即可，所以符合条件的排列种数为． 故选：C． 【题型2】 二项分布的期望与方差 【基础知识】 一般地,如果那么. 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·河北沧州·期末）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望及方差公式计算求参，再根据二项分布概率公式计算即可. 【详解】 . 故选:C 【例2】（23-24高二下·北京海淀·期末）小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意随机变量投中次数服从二项分布，再由变量间的函数关系与二项分布的期望、方差公式可求. 【详解】设小明投中次数为，则由题意可知， 则，， 因为投中一次得2分，没投中得0分，所以， 则，. 故选：B. 【巩固练习】 1（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据期望的性质可得，结合二项分布的期望和方差公式运算求解即可. 【详解】因为，即， 又因为随机变量，且， 则，解得. 故选：D. 2（2024高三上·山东济南·专题练习）农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】每个坑不发芽的概率为，设每组不发芽的坑数为，根据题意得出，利用二项分布进而求解即可. 【详解】由题意知，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的概率为， 设每组不发芽的坑数为，则， 所以每组没有发芽的坑数的平均数为， 解得，所以每个种子的发芽率为. 故选：C. 3（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在备战巴黎奥运会期间，教练组举办羽毛球训练比赛，派出甲、乙两名单打主力，为了提高两名主力的能力，教练安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与陪练打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关．已知甲、乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立．记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为    （    ） A．32 B．31 C．28 D．27 【答案】D 【分析】表示出每一轮过关的概率后结合基本不等式可得该概率的最大值，再结合二项分布期望公式计算即可得解. 【详解】由题可知每一轮过关的概率: ， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 故．因为，所以，则. 故选：D. 4（23-24高二下·浙江湖州·期末）已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为，可判断A；因为可求出，由方差和标准差的性质，可判断B、C、D. 【详解】因为随机变量，满足，且，所以 对于A，，所以A不正确； 对于B，，， ，所以B不正确； 对于C，，， ，所以C不正确； 根据 , 由, 则，， 故选：D. 5（多选）（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某中学组织了足球射门比赛．规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得8分，没踢进得分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立．记X为小明的得分总和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】AB选项，由二项分布知识即可判断选项正误；分析可知，由题可得对应概率即可判断C；根据期望的性质分析判断D. 【详解】AB选项，由题可得. 则，，故AB正确； CD选项，因为， 则，故C错误； 则，故D正确. 故选：ABD. 【题型3】建立二项分布模型解决实际问题 【经典例题】 【例1】（21-22高二下·江苏南京·期中）近两年肆虐全球的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎､严重急性呼吸综合征､肾衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，若有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现有4例疑似病例，分别对其取样､检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：四个样本混合在一起化验； 方案三：平均分成两组，分别混合在一起化验. 在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”. (1)若按方案一，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率； (2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一､二､三中哪个最“优”？并说明理由. 【答案】(1) (2)选择方案一最“优”，理由见解析 【分析】（1）根据二项分布求解即可. （2）根据题意得到方案一检验次数为4，方案二平均检测次数为，方案三平均检测次数为，即可得到答案. 【详解】（1）（1）用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则 由题意可知，. （2）方案一：逐个检验，检验次数为4； 方案二：混合在一起检测，记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5，， 所以随机变量的分布列为 1 5 所以 方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1次，其概率为； 若呈阳性则检测次数为3次，其概率为. 设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为， 所以随机变量的分布列为 2 4 6 所以. 由上可知， 故选择方案一最“优”. 【巩固练习】 1（2023·安徽芜湖·模拟预测）一地区某疾病的发病率为0.0004．现有一种化验方法，对真正患病的人，其化验结果99％呈阳性，对未患病者，化验结果99.9％呈阴性． (1)若在该地区普查，求某人化验结果呈阳性的概率；并求化验结果呈阳性，某人没有患病的概率； (2)根据该疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为20％．为试验一种新药，在有关部门 批准后，某医院把此药给4个病人服用，试验方案为：若这4人中至少有2人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效． （i）如果新药有效，把治愈率提高到了80％，求经试验认定该药无效的概率； （ii）根据的值的大小解释试验方案是否合理． 参考数据：， 【答案】(1) (2)（i）;（ii）合理 【分析】（1）利用全概率公式及概率的乘法公式，结合条件概率公式即可求解； （2）（i）利用二项分布，先分析新药无效的情况：4人中0人或1人痊愈，由此求解出无效的概率； （ii）结合（i）该药无效的概率分析试验方案的合理性得解. 【详解】（1）设“检查结果呈阳性”，“被检查确实患病”， 由题意可知，,, 所以 由条件概率公式，得 ， 所以某人没有患病的概率约为. （2）设通过试验痊愈的人数为变量,则, 所以经试验认定该药无效的概率为： . （ii）由题意，新药是有效的，由（1）得经试验认定该药无效的概率为，概率很小是小概率事件，故试验方案合理. 【题型4】 超几何分布的理解 【基础知识】 1 概念 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为： 其中. 如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布. 2 案例(超几何分布可以用下例理解下) 个产品中有个优品个次品,从个产品中抽出个恰好有个次品的概率是 . 解：利用古典概型的公式 那所求概率事件中“”为(个产品抽个,不管有多少个次品),而“个恰好有个次品”意味着“事件的样本点个数”为(3个优品从个优品抽个次品从个次品抽),所以. 这题是超几何分布,“抽个产品有个次品”的潜台词可理解是“一次性拿个产品,不放回抽样”的. 3 二项分布与超几何分布的关联 (1) 已知个产品中有个次品,分别采取放回和不放回的方式随机抽取的4件产品,次品数为求随机变量的分布列, 若采取放回的方式,则每次抽到次品的概率为且各次抽样的结果相互独立,则服从二项分布,即； 若采取不放回的方式,虽然每次抽到次品的概率为但每次抽取不是同一个试验,各次抽取的结果也不独立,不符合重伯努利试验的特征,因此不服从二项分布,服从超几何分布. (2) 二项分布和超几何分布都是可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律,并且两者的均值相同,对于不放回抽样,当远远小于时,每抽取一次后,对的影响很小,此时超几何分布可以用二项分布近似. 【经典例题】 【例1】（2024·海南·模拟预测）甲、乙两位跑步爱好者坚持每天晨跑，上周的7天中，他们各有5天晨跑路程超过. (1)从上周任选3天，设这3天中甲晨跑路程超过的天数为，求的分布列和数学期望. (2)用上周7天甲、乙晨跑路程的频率分布估计他们各自每天晨跑路程的概率分布，且他们每天晨跑的路程互不影响.设“下个月的某3天中，甲晨跑路程超过的天数比乙晨跑路程超过的天数恰好多2”为事件，求. 参考数据：. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）确定的可能取值，再由即可求解； （2）由题意确定，均服从二项分布.即可求解. 【详解】（1）(1)由题意知的所有可能取值为1，2，3， 且，. 所以的分布列为 1 2 3 . （2）设下个月的某3天中，甲晨跑路程超过的天数为，乙晨跑路程超过的天数为， 则，均服从二项分布. 则 . 【巩固练习】 1（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【答案】B 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可． 【详解】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 2（23-24高二下·山东青岛·期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布的概率公式计算即可. 【详解】由题意知抽取3道题该同学不及格的情况只有：只对一道题一种情况， 则只答对一道题的概率为，所以该同学及格的概率为. 故选：A 3（2023·海南海口·一模）某商场对，两类商品实行线上销售（以下称“渠道”）和线下销售（以下称“渠道”）两种销售模式．类商品成本价为120元件，总量中有40%将按照原价200元/件的价格走渠道销售，有50%将按照原价8.5折的价格走渠道销售；类商品成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格走渠道销售，有40%将按照原价7.5折的价格走渠道销售．这两种商品剩余部分促销时按照原价6折的价格销售，并能全部售完． (1)通过计算比较这两类商品中哪类商品单件收益的均值更高（收益＝售价－成本）； (2)某商场举行让利大用卖活动，全场，两类商品走渠道销售，假设每位线上购买，商品的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买商品的顾客中购买类商品的概率为．已知该商场当天这两类商品共售出5件，设为该商场当天所售类商品的件数，为当天销售这两类商品带来的总收益，求的期望，以及当（）时，可取的最大值． 【答案】(1)类商品单件收益的均值更高 (2)；可取的最大值为4 【分析】（1）结合期望公式由单件总盈利减去成本即可得出结果； （2）类商品的销售件数符合二项分布，先列出这5件衣服总收益关于的关系式，得，结合化简即可求解；再求出对应的概率值，可确定可取的最大值， 【详解】（1）设类，类商品单件收益分别为元，元， 则元， 元， ，故类商品单件收益的均值更高. （2）由题意可知，，元， 又元， 所以元， ，， ，， ，， ， ， 所以当（）时，可取的最大值为4． 4（2023·安徽安庆·模拟预测）体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有3次投篮机会，若投中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮20次．已知甲同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立． (1)求甲同学通过测试的概率； (2)若乙同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立．设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和为X，求X的分布列与均值； (3)为提高甲同学通过测试的概率，体育老师要求甲同学可以找一个“最佳搭档”，该搭档有2次投篮机会，规定甲同学与其搭档投中次数不少于3次，则甲同学通过测试．若甲同学所找的搭档每次投中的概率为且每次是否投中相互独立，问：当p满足什么条件时可以提高甲同学通过测试的概率？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】(1)甲同学投中2次或3次通过测试分别求出概率即可； (2)分别求出甲、乙通过测试和没有通过测试的概率，分析出，20，40，进而可以列出分布列求出结果； (3)分别算出甲投中1次，其搭档投中2次的概率，甲投中2次，其搭档至少投中1次的概率，甲投中3次的概率，进而求出甲同学通过测试的概率，从而求出结果. 【详解】（1）由条件知甲同学通过测试的概率为． （2）由（1）可知甲同学没有通过测试的概率为， 根据题意乙同学通过测试的概率为， 所以乙同学没有通过测试的概率为， 则，20，40， 因， ， ， 于是X的分布列为： X 0 20 40 P 所以． （3）由题意知甲投中1次，其搭档投中2次的概率为； 甲投中2次，其搭档至少投中1次的概率为： ； 甲投中3次的概率为， 所以甲同学通过测试的概率为， 根据题意可知，则， 又， 所以当时，可以提高甲同学通过测试的概率. 5（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:) 【答案】(1)分布列见解析， (2)N至少为145 【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望； （2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解. 【详解】（1）由题意，当时，男性员工有4人，女性员工有6人， 服从超几何分布，， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望为. （2）由题意，男性员工有人，女性员工有人， 则， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是. 由于函数在上单调递增，且， 从而在时单调递增， 又，. 因此当时，符合题意， 而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍， 则N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 【题型4】 超几何分布的期望 【基础知识】 设随机变量服从超几何分布,则. 证明 令有 因为所以 【经典例题】 【例1】（2022·浙江·模拟预测）已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为(    ) A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】服从超几何分布，求出的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可． 【详解】方法一：可能取0，1，2，其对应的概率为， ∴． 方法二：由题可知，服从超几何分布，故． 故选：D． 【巩固练习】 1（23-24高二下·河南信阳·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布概率公式，分别求出，再求. 【详解】依题意，的可能取值有0，1，2. 则，，， 则. 故选:A. 2（22-23高二下·江苏南京·期中）口袋中有6个球（除颜色外其他属性都相同），其中3个黑球，2个红球，1个白球，表示有放回的摸球3次，每次摸一个，取出红球的数目，表示不放回的摸球3次，每次摸一个，取出黑球的数目，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】 分别求得与的值，进而得到二者间的关系. 【详解】表示有放回的摸球3次，每次摸一个，取出红球的数目， 的可能取值为0，1，2 ，则，则； 表示不放回的摸球3次，每次摸一个，取出黑球的数目， 的可能取值为0，1，2 ，3，满足超几何分布， 则，则 故选：A 3（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】随机变量服从超几何分布, 随机变量服从二项分布，根据超几何分布和二项分布的均值、方差公式计算即可. 【详解】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布， 根据超几何分布的均值方差公式得： ，即， . 根据超二项分布的均值方差公式得： ，即 ， 所以，. 故选：A. 4（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（   ） A． B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D． 【答案】CD 【分析】根据二项分布和超几何分布的概念判断BC，由超几何分布的概率公式计算各概率，再由期望公式计算出期望，从而判断AD． 【详解】由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确； X的取值分别为0，1，2，3，4，则，，，，， ∴，故A错误，D正确． 故选：CD． 【A组---基础题】 1（23-24高二下·浙江·期末）甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意只需前5场甲赢3场，再利用独立事件的乘法公式求解． 【详解】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜， 则甲以4比2获胜的概率为． 故选：D． 2（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知：随机抽出3道题有2题答对，1题打错，结合组合数运算求解. 【详解】由题意可知：表示答对2题，即随机抽出3道题有2题答对，1题打错， 所以. 故选：D. 3（23-24高二下·山东潍坊·期中）某人寿保险公司规定，投保人没活过岁时，保险公司要赔偿100万元.活过岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过岁的概率都是，随机抽取3个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元.则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，又，则，利用二项分布的概率公式计算可得. 【详解】依题意，因为个投保人中，活过岁的人数为，所以没活过岁的人数为， 因此，即， 所以. 故选：A 4（2024·广东·模拟预测）已知随机变量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的期望、方差公式列方程，从而求得. 【详解】依题意满足二项分布，且， 即， 即，解得，（舍去）. 故选：D 5（23-24高二下·河北邢台·期末）已知随机变量服从二项分布，且，，则（    ） A．7 B．3 C．6 D．2 【答案】B 【分析】根据方差的性质求出，再由二项分布的方差公式得到方程，求出，再检验，即可求出，再由期望的性质计算可得. 【详解】由题意得，所以， 又，则，解得或． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 所以，所以，所以． 故选：B 6（多选）（2024高三·全国·专题练习）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（   ） A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布 C． D． 【答案】ABD 【分析】由二项分布的定义判断A，由超几何分布的定义判断B，根据二项分布与超几何分布的均值公式求得均值判断D，利用概率与均值的关系可通过D来反证说明C． 【详解】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确； 对于D选项，该批产品有M件，员工A有放回地抽取一件产品为次品的概率为，抽取3件产品，次品数，则， 员工B无放回地随机抽取3件，因此次品数服从超几何分布，，（）， ，因此D正确； 对于C选项，假若C正确可得，则D错误，矛盾！故C错误． 故选：ABD. 7（24-25高三上·江苏南京·期中）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%． (1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望； (2)设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2) 【分析】（1）由题知X的所有取值为1，2，3，4，求出对应的概率，可得其分布列与数学期望； （2）利用全概率公式表示出回答被采纳的概率，结合条件代入可得关于的方程，解方程即可. 【详解】（1）由题可知X的所有取值为1，2，3，4， ， ， ， ， 故X的分布列为： X 1 2 3 4 P 则． （2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采纳”为事件C， 由已知得，，，，，， 所以由全概率公式得， 解得． 8（22-23高二下·河南商丘·期末）某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛．每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响、每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束．已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章． (1)记甲同学在一轮比赛中答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若甲同学进行了4轮答题，求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，利用期望公式求； （2）先求甲同学每一轮获得纪念章的概率，进而可得，结合独立重复试验概率公式求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率. 【详解】（1）由题意，X可取0，1，2，3，4． ， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 ． （2）每一轮获得纪念章的概率为， 设4轮答题获得纪念章的数量为，则， ， 即甲同学则获得2枚纪念章的概率是． 【B组---提高题】 1（23-24高二下·重庆·期末）某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的概率公式结合不等式组法求解即可. 【详解】设有个学生选择前往北京或上海研学， 由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率， 则， 设有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大， 则， 即， 即， 解得， 又，所以， 所以有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，表达出，是解决本题的关键. 2（2024·全国·模拟预测）2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团获得40金27银24铜．某校为让学生了解更多有关奥运会的知识，举行了答题闯关活动，第一关有10道题，且每一题都要作答，每道题答对得5分，否则得0分；第二关有道题，依次作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题，每道题答对得10分，否则得0分．小军第一关每题答对的概率均为，第二关每题答对的概率均为，设小军第一关答题的总得分为，第二关答题的总得分为． (1)求的数学期望； (2)求的数学期望； (3)若小军第二关的总得分的数学期望高于第一关的总得分的数学期望，求的最小值．（，） 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）根据二项分布的概念得到小军第一关答对题数服从二项分布，再得出小军第一关答题的总得分与的关系结合数学期望的性质计算； （2）先求的所有可能取值及取每个值时相应的概率，再利用错位相减法求的数学期望； （3）根据已知列式，化简得出，应用指对数转化结合已知对数值化简即可求出的最小值. 【详解】（1）设小军第一关答对题数为，则， 由题意可知服从二项分布，即，故， 故． （2）由题意知的所有可能取值为0，10，20，…，， 且，， ，， 以此类推，，， 所以， ， 两式相减得 ， 所以 （3）由题意得，即， 化简得， 两边同时取自然对数，得， 即， 由于为整数，故， 因此小军第二关的总得分的数学期望高于第一关的总得分的数学期望时，的最小值为7． 【点睛】方法点睛：求数学期望是等差数列乘以等比数列求和，应用错位相减法即可求出数学期望. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3 二项分布与超几何分布 【题型1】 二项分布的理解 【基础知识】 1 重伯努利试验 （1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验,比如产品的合格或不合格,医学检验结果的阳性或阴性； （2）将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验, （3）重伯努利试验具有如下共同特征 第一：同一个伯努利试验重复做次； 第二：各次试验的结果相互独立； 2 二项分布 (1) 概念 一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数,则 此时称随机变量服从二项分布,记作 并称为成功概率. 随机变量的分布列如下 (其中) 由二项定理,可得 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·四川绵阳·期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高三·上海·随堂练习）以下分布中是伯努利分布的是（    ）． A．掷一枚硬币正面次数的分布 B．掷两枚硬币正面次数的分布 C．抛一颗骰子点数的分布 D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布 2（23-24高二下·天津西青·期末）某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二下·河南安阳·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A．39 B．50 C．63 D．68 4（23-24高二下·广西·期中）已知，记使取最大值时的的值为．把这9个数字排成一列，则的左、右两侧都有数字，且与相邻的数字都比大的排列种数为（    ） A． B． C． D． 【题型2】 二项分布的期望与方差 【基础知识】 一般地,如果那么. 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·河北沧州·期末）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二下·北京海淀·期末）小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 2（2024高三上·山东济南·专题练习）农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率（    ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在备战巴黎奥运会期间，教练组举办羽毛球训练比赛，派出甲、乙两名单打主力，为了提高两名主力的能力，教练安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与陪练打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关．已知甲、乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立．记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为    （    ） A．32 B．31 C．28 D．27 4（23-24高二下·浙江湖州·期末）已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5（多选）（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某中学组织了足球射门比赛．规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得8分，没踢进得分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立．记X为小明的得分总和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型3】建立二项分布模型解决实际问题 【经典例题】 【例1】（21-22高二下·江苏南京·期中）近两年肆虐全球的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎､严重急性呼吸综合征､肾衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，若有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现有4例疑似病例，分别对其取样､检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：四个样本混合在一起化验； 方案三：平均分成两组，分别混合在一起化验. 在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”. (1)若按方案一，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率； (2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一､二､三中哪个最“优”？并说明理由. 【巩固练习】 1（2023·安徽芜湖·模拟预测）一地区某疾病的发病率为0.0004．现有一种化验方法，对真正患病的人，其化验结果99％呈阳性，对未患病者，化验结果99.9％呈阴性． (1)若在该地区普查，求某人化验结果呈阳性的概率；并求化验结果呈阳性，某人没有患病的概率； (2)根据该疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为20％．为试验一种新药，在有关部门 批准后，某医院把此药给4个病人服用，试验方案为：若这4人中至少有2人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效． （i）如果新药有效，把治愈率提高到了80％，求经试验认定该药无效的概率； （ii）根据的值的大小解释试验方案是否合理． 参考数据：， 【题型4】 超几何分布的理解 【基础知识】 1 概念 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为： 其中. 如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布. 2 案例(超几何分布可以用下例理解下) 个产品中有个优品个次品,从个产品中抽出个恰好有个次品的概率是 . 解：利用古典概型的公式 那所求概率事件中“”为(个产品抽个,不管有多少个次品),而“个恰好有个次品”意味着“事件的样本点个数”为(3个优品从个优品抽个次品从个次品抽),所以. 这题是超几何分布,“抽个产品有个次品”的潜台词可理解是“一次性拿个产品,不放回抽样”的. 3 二项分布与超几何分布的关联 (1) 已知个产品中有个次品,分别采取放回和不放回的方式随机抽取的4件产品,次品数为求随机变量的分布列, 若采取放回的方式,则每次抽到次品的概率为且各次抽样的结果相互独立,则服从二项分布,即； 若采取不放回的方式,虽然每次抽到次品的概率为但每次抽取不是同一个试验,各次抽取的结果也不独立,不符合重伯努利试验的特征,因此不服从二项分布,服从超几何分布. (2) 二项分布和超几何分布都是可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律,并且两者的均值相同,对于不放回抽样,当远远小于时,每抽取一次后,对的影响很小,此时超几何分布可以用二项分布近似. 【经典例题】 【例1】（2024·海南·模拟预测）甲、乙两位跑步爱好者坚持每天晨跑，上周的7天中，他们各有5天晨跑路程超过. (1)从上周任选3天，设这3天中甲晨跑路程超过的天数为，求的分布列和数学期望. (2)用上周7天甲、乙晨跑路程的频率分布估计他们各自每天晨跑路程的概率分布，且他们每天晨跑的路程互不影响.设“下个月的某3天中，甲晨跑路程超过的天数比乙晨跑路程超过的天数恰好多2”为事件，求. 参考数据：. 【巩固练习】 1（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 2（23-24高二下·山东青岛·期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（    ） A． B． C． D． 3（2023·海南海口·一模）某商场对，两类商品实行线上销售（以下称“渠道”）和线下销售（以下称“渠道”）两种销售模式．类商品成本价为120元件，总量中有40%将按照原价200元/件的价格走渠道销售，有50%将按照原价8.5折的价格走渠道销售；类商品成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格走渠道销售，有40%将按照原价7.5折的价格走渠道销售．这两种商品剩余部分促销时按照原价6折的价格销售，并能全部售完． (1)通过计算比较这两类商品中哪类商品单件收益的均值更高（收益＝售价－成本）； (2)某商场举行让利大用卖活动，全场，两类商品走渠道销售，假设每位线上购买，商品的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买商品的顾客中购买类商品的概率为．已知该商场当天这两类商品共售出5件，设为该商场当天所售类商品的件数，为当天销售这两类商品带来的总收益，求的期望，以及当（）时，可取的最大值． 4（2023·安徽安庆·模拟预测）体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有3次投篮机会，若投中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮20次．已知甲同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立． (1)求甲同学通过测试的概率； (2)若乙同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立．设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和为X，求X的分布列与均值； (3)为提高甲同学通过测试的概率，体育老师要求甲同学可以找一个“最佳搭档”，该搭档有2次投篮机会，规定甲同学与其搭档投中次数不少于3次，则甲同学通过测试．若甲同学所找的搭档每次投中的概率为且每次是否投中相互独立，问：当p满足什么条件时可以提高甲同学通过测试的概率？ 5（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:) 【题型4】 超几何分布的期望 【基础知识】 设随机变量服从超几何分布,则. 证明 令有 因为所以 【经典例题】 【例1】（2022·浙江·模拟预测）已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为(    ) A． B． C．1 D． 【巩固练习】 1（23-24高二下·河南信阳·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 2（22-23高二下·江苏南京·期中）口袋中有6个球（除颜色外其他属性都相同），其中3个黑球，2个红球，1个白球，表示有放回的摸球3次，每次摸一个，取出红球的数目，表示不放回的摸球3次，每次摸一个，取出黑球的数目，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D．无法判断 3（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 4（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（   ） A． B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D． 【A组---基础题】 1（23-24高二下·浙江·期末）甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二下·山东潍坊·期中）某人寿保险公司规定，投保人没活过岁时，保险公司要赔偿100万元.活过岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过岁的概率都是，随机抽取3个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元.则（    ） A． B． C． D． 4（2024·广东·模拟预测）已知随机变量，若，则（ ） A． B． C． D． 5（23-24高二下·河北邢台·期末）已知随机变量服从二项分布，且，，则（    ） A．7 B．3 C．6 D．2 6（多选）（2024高三·全国·专题练习）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（   ） A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布 C． D． 7（24-25高三上·江苏南京·期中）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%． (1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望； (2)设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值． 8（22-23高二下·河南商丘·期末）某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛．每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响、每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束．已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章． (1)记甲同学在一轮比赛中答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若甲同学进行了4轮答题，求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率． 【B组---提高题】 1（23-24高二下·重庆·期末）某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 2（2024·全国·模拟预测）2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团获得40金27银24铜．某校为让学生了解更多有关奥运会的知识，举行了答题闯关活动，第一关有10道题，且每一题都要作答，每道题答对得5分，否则得0分；第二关有道题，依次作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题，每道题答对得10分，否则得0分．小军第一关每题答对的概率均为，第二关每题答对的概率均为，设小军第一关答题的总得分为，第二关答题的总得分为． (1)求的数学期望； (2)求的数学期望； (3)若小军第二关的总得分的数学期望高于第一关的总得分的数学期望，求的最小值．（，） 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$