预习篇 7.2 离散型随机变量及其分布列【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高二数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

7.2 离散型随机变量及其分布列 【题型1】 离散型随机变量的分布列性质 【基础知识】 1 随机变量 ① 概念 一般地，对于随机试验样本空间中每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量. ②分类 随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量. Eg:投掷一个骰子，得到的点数为，它是离散型随机变量，能够一一列举出来； 一人一天摄取的卡路里，它是连续型随机变量. 2 分布列 ① 概念 一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率，则称以下表格 为随机变量的概率分布列，简称的分布列. ② 性质 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）设随机变量的概率分布列是，，其中C为常数，则＝（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 2（23-24高二下·北京顺义·期中）已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 3（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知随机变量的分布列如表： 0 2 其中成等差数列，则的值是（    ） A． B． C． D． 4（22-23高三上·山东济南·期末）已知等差数列的公差为，随机变量满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2】 离散型随机变量的数字特征 【基础知识】 1 离散随机变量的均值（数学期望） 概念 一般地，随机变量的概率分布列为 则称 为的数学期望或均值，简称为期望. 它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平. 若 ，其中为常数，则也是变量 则 ，即(利用期望的概念可以证明) 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么 即若服从两点分布，则 2 离散型随机变量取值的方差和标准差 （1）一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为 则称 为随机变量的方差，有时候也记为，并称为随机变量的标准差，记为。 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散. 一般地，.(可用方差的概念证明) 证明 【经典例题】 【例1】（22-23高二下·江苏镇江·期中）设离散型随机变量的分布列为 若离散型随机变量满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高二下·山东青岛·期中）已知随机变量的分布列如下所示，且，则（    ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·浙江·开学考试）已知随机变量的分布列如下表所示，则 1 2 3 A． B． C． D． 3（24-25高三上·广东·阶段练习）已知随机变量的分布列如下表所示： 若，且，则（   ） A． B． C． D． 4（23-24高二下·福建福州·期中）随机变量的分布列如下，且，则（） 0 1 2 A． B． C． D． 5（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知随机变量的分布列如下， 若，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 6（多选）（23-24高三上·安徽·阶段练习）投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示． 关于两种股票，下列结论正确的是（    ） A． B． C．投资股票甲的期望收益较大 D．投资股票甲比投资股票乙风险高 【题型3】 求离散型随机变量的分布列 【经典例题】 【例1】（2024·河南郑州·模拟预测）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额． (1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率； (2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 【例2】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为.假设学生甲每次投进与否互不影响. (1)求学生甲被录取的概率； (2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列及期望与方差. 【巩固练习】 1（21-22高二下·江苏·阶段练习）某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（19-20高三下·浙江湖州·阶段练习）已知甲、乙两个盒子中分别装有两种大小相同的动物玩具，甲盒中有2只熊猫，1只狗；乙盒中有1只熊猫，2只狗.现从甲乙两个盒中各取走一个动物玩具，再从甲乙两个盒子中各取走一个动物玩具.此时记甲盒中的熊猫只数为，乙盒中的熊猫只数为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3（24-25高二下·全国·课后作业）为了锻炼学生身体，丰富高中生活，减轻高三毕业生的压力，某体育老师在课上带领同学们做了一组投篮活动：选出4人进行定点投篮，4人都投篮一次为一轮活动，已知选出的4位同学中有两位同学进球的概率为，另外两位同学进球的概率为． (1)记一轮活动结束后，进球个数为，求的分布列与方差； (2)若随机变量，其中，求． 4（2024·甘肃张掖·三模）春节期间电影院上映5部影片：贺岁片有《第20条》，《飞驰人生》和《热辣滚烫》，往期电影《满江红》，《流浪地球2》.妈妈有4张电影票给了姐姐和弟弟每人2张，让他们自己选择看哪2部电影. (1)求姐姐恰好看了2部贺岁片的概率； (2)求姐弟两人观看贺岁片的部数的分布列和数学期望. 【A组---基础题】 1（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）随机变量的分布列如下（为常数）： 0 1 2 0.3 则（   ） A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2 2（23-24高二下·山东枣庄·期中）随机变量的概率分布为 1 2 4 0.4 0.3 则等于（    ） A．5 B．15 C．45 D．与有关 3（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4（22-23高二下·贵州遵义·期中）一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 5（20-21高三上·浙江杭州·期中）将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 6（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知随机变量的分布列是 0 2 P 随机变量的分布列是 3 5 7 P 下列选项中正确的是（    ） A． B．当p增大时，递减 C． D．当p增大时，递增 7（多选）（23-24高二下·安徽合肥·期末）设离散型随机变量 X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y 满足，则（   ） A． B． C． D． 8（2024高三·全国·专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望． 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为． (1)请写出方案一的分布列，并求方差； (2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由． 9（22-23高二下·浙江金华·阶段练习）新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第两题的难度较大，第题正确选项为，第题正确选项为.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的. (1)若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为分的概率； (2)若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求. 【B组---提高题】 1（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，，则下列说法正确的是（    ） A．存在， B．对任意， C．存在， D．对任意， 2（多选）（23-24高二下·江苏宿迁·期末）甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为、，方差为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2 离散型随机变量及其分布列 【题型1】 离散型随机变量的分布列性质 【基础知识】 1 随机变量 ① 概念 一般地，对于随机试验样本空间中每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量. ②分类 随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量. Eg:投掷一个骰子，得到的点数为，它是离散型随机变量，能够一一列举出来； 一人一天摄取的卡路里，它是连续型随机变量. 2 分布列 ① 概念 一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率，则称以下表格 为随机变量的概率分布列，简称的分布列. ② 性质 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）设随机变量的概率分布列是，，其中C为常数，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分布列中各个变量的概率之和等于1，求出C的值，由，代入求值即可． 【详解】随机变量的概率分布列是，＝1，2，3，4，5，6， ，解得， ∴． 故选：B． 【巩固练习】 1（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【分析】根据题意，由分布列的性质可得的值，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可得，解得． 由，可得或4， 则（或）． 故选：B 2（23-24高二下·北京顺义·期中）已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【分析】根据分布列概率和为1求得a,再根据互斥事件的概率和公式计算即可. 【详解】根据分布列概率和为1，可得, . 故选：B. 3（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知随机变量的分布列如表： 0 2 其中成等差数列，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用成等差数列、随机变量分布列的性质可得答案. 【详解】因为成等差数列，所以， 根据随机变量分布列的性质：， 所以， 所以. 故选：A. 4（22-23高三上·山东济南·期末）已知等差数列的公差为，随机变量满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项公式和随机变量分布列的概率之和等于1即可求解. 【详解】因为随机变量满足 ， 所以， 也即，又因为是公差为的等差数列， 所以，则有，，， 所以，则， ，， 因为，所以，解得， 故选：. 【题型2】 离散型随机变量的数字特征 【基础知识】 1 离散随机变量的均值（数学期望） 概念 一般地，随机变量的概率分布列为 则称 为的数学期望或均值，简称为期望. 它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平. 若 ，其中为常数，则也是变量 则 ，即(利用期望的概念可以证明) 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么 即若服从两点分布，则 2 离散型随机变量取值的方差和标准差 （1）一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为 则称 为随机变量的方差，有时候也记为，并称为随机变量的标准差，记为。 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散. 一般地，.(可用方差的概念证明) 证明 【经典例题】 【例1】（22-23高二下·江苏镇江·期中）设离散型随机变量的分布列为 若离散型随机变量满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质可判断A，根据数学期望公式可判断B，根据方差的性质可判断C，根据期望公式可判断D. 【详解】由，得，故A错误； ，故B错误； ， 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D. 【巩固练习】 1（23-24高二下·山东青岛·期中）已知随机变量的分布列如下所示，且，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分布列的性质及期望公式即可求解. 【详解】由分布列的性质可得，，所以， 又因为， 所以，即， 联立方程，解得， 所以. 故选：B. 2（24-25高三上·浙江·开学考试）已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质可得，进而可得，再根据期望的性质分析求解. 【详解】由分布列可得，解得， 则， 所以. 故选：C． 3（24-25高三上·广东·阶段练习）已知随机变量的分布列如下表所示： 若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质结合给定概率求出，再求出，进而利用方差的性质计算即得. 【详解】由，得，， 则，， 由，得，所以. 故选：C 4（23-24高二下·福建福州·期中）随机变量的分布列如下，且，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质和期望可求，，从而可求方差. 【详解】根据题意可得解得 ． 故选:C． 5（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知随机变量的分布列如下， 若，则下列结论正确的是（       ） -2 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质和期望公式，列出方程组，求得，再利用方差的公式和方差的性质，即可求解. 【详解】由随机变量的分布列，且， 可得，解得， 所以， 所以. 故选：D. 6（多选）（23-24高三上·安徽·阶段练习）投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示． 表1        股票甲收益的分布列 收益X（元） 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2        股票乙收益的分布列 收益Y（元） 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 关于两种股票，下列结论正确的是（    ） A． B． C．投资股票甲的期望收益较大 D．投资股票甲比投资股票乙风险高 【答案】ACD 【分析】计算期望以及方差，从而由期望和方差的意义判断CD，由方差和期望的性质判断AB. 【详解】，， ， ， 则投资股票甲的期望收益较大，投资股票甲比投资股票乙风险高. ， ． 故选：ACD 【题型3】 求离散型随机变量的分布列 【经典例题】 【例1】（2024·河南郑州·模拟预测）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额． (1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率； (2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 【答案】(1) (2)期望为；方差为 【分析】（1）记事件：员工所获得的红包数额不低于90元，事件：取到面值为60元的球，根据条件先求，再利用条件概率公式，即可求解； （2）由题知可能取值为，再求出对应的概率，利用期望和方差的计算公式，即可求解. 【详解】（1）记事件：员工所获得的红包数额不低于90元，事件：取到面值为60元的球， 因为球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元，且 ，，，所以， 又，所以． （2）设X为员工取得的红包数额，则可能取值为，     所以，， ，，     所以，     ． 【例2】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为.假设学生甲每次投进与否互不影响. (1)求学生甲被录取的概率； (2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列及期望与方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【分析】（1）根据甲被录取按投球次数分类，独立事件概率的乘法公式及互斥事件和的概率公式求解；. （2）由的可能取值，分别求出对应的概率即可得到分布列，公式法求期望与方差. 【详解】（1）记事件，表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进”.                                                                       则，， 设事件表示“学生甲被录取”，则， 所以， 所以学生甲被录取的概率为. （2）由题分析知，的可能取值为2，3，4. ， ， ， 所以的分布列为 2 3 4 . 【巩固练习】 1（21-22高二下·江苏·阶段练习）某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到X的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X的数学期望，得到不等式后求解即可. 【详解】X的所有可能取值为1,2,3， ，，， 由， 解得或， 又因为，所以. 故选：A. 2（19-20高三下·浙江湖州·阶段练习）已知甲、乙两个盒子中分别装有两种大小相同的动物玩具，甲盒中有2只熊猫，1只狗；乙盒中有1只熊猫，2只狗.现从甲乙两个盒中各取走一个动物玩具，再从甲乙两个盒子中各取走一个动物玩具.此时记甲盒中的熊猫只数为，乙盒中的熊猫只数为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】根据题意可得，，再分别求出，的分布列，分别求出，的期望和方差，从而得到答案. 【详解】根据题意可得， , 所以的分布列为： 0 1 , 所以的分布列为： 0 1 则 , 所以， 故选：B 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望、方差，属于中档题. 3（24-25高二下·全国·课后作业）为了锻炼学生身体，丰富高中生活，减轻高三毕业生的压力，某体育老师在课上带领同学们做了一组投篮活动：选出4人进行定点投篮，4人都投篮一次为一轮活动，已知选出的4位同学中有两位同学进球的概率为，另外两位同学进球的概率为． (1)记一轮活动结束后，进球个数为，求的分布列与方差； (2)若随机变量，其中，求． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由题意可知：进球个数的可能取值为，求分布列，进而可得方差； （2）由（1）可知：，，根据期望和方差的性质列式求解即可. 【详解】（1）由题意可知：进球个数的可能取值为，则有： ， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以． ． （2）由（1）可知：，， 若随机变量，且， 可得，解得. 4（2024·甘肃张掖·三模）春节期间电影院上映5部影片：贺岁片有《第20条》，《飞驰人生》和《热辣滚烫》，往期电影《满江红》，《流浪地球2》.妈妈有4张电影票给了姐姐和弟弟每人2张，让他们自己选择看哪2部电影. (1)求姐姐恰好看了2部贺岁片的概率； (2)求姐弟两人观看贺岁片的部数的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为2.4. 【分析】（1）根据超几何分布模型计算概率即可； （2）利用超几何分布得到，再根据独立事件的乘法公式写出对应概率，最后计算期望即可. 【详解】（1）设事件:姐姐恰好看了2部贺岁片. 则， 所以姐姐恰好看了2部贺岁片的概率为. （2）设表示姐姐看了部贺岁片. 表示弟弟看了部贺岁片. 则知. 知. ， . 随机变量表示姐弟二人观看贺岁片的总数的取值有0，1，2，3，4. ， ， ， ， . 从而随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 所以的数学期望. 即姐弟2人观看贺岁片的部数的数学期望为2.4. 【A组---基础题】 1（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）随机变量的分布列如下（为常数）： 0 1 2 0.3 则（   ） A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2 【答案】C 【分析】根据给定分布列求出，再利用互斥事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：C 2（23-24高二下·山东枣庄·期中）随机变量的概率分布为 1 2 4 0.4 0.3 则等于（    ） A．5 B．15 C．45 D．与有关 【答案】B 【分析】根据概率分步图求得，再根据期望运算可求得,再根据期望运算法则可求得. 【详解】根据题意知，， ， ， 故选：B 3（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件利用期望和方差的性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 故选：B 4（22-23高二下·贵州遵义·期中）一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，令表示前k个球为白球，第个球为红球，此时，再进行计算即可求解． 【详解】令表示前k个球为白球，第个球为红球， 此时， 则． 故选：A． 5（20-21高三上·浙江杭州·期中）将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】B 【解析】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可求得，利用数学期望的性质可求得. 【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 所以，， 因此，. 故选：B. 6（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知随机变量的分布列是 0 2 P 随机变量的分布列是 3 5 7 P 下列选项中正确的是（    ） A． B．当p增大时，递减 C． D．当p增大时，递增 【答案】D 【分析】利用随机变量的期望公式、方差公式结合函数的性质一一判定选项即可. 【详解】由离散型随机变量的期望公式可知， ，显然A，B错误； 由离散型随机变量的方差公式可知：， ， 即，故C错误； 由，由二次函数的单调性可知D正确. 故选：D 7（多选）（23-24高二下·安徽合肥·期末）设离散型随机变量 X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y 满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据分布列的性质求得参数，结合分布列求得，再结合期望和方差的性质，即可判断和选择. 【详解】对于选项A：因为，解得，故A正确； 对于选项B：可得， ，故B正确； 对于选项CD：因为，则有： ，故C错误； ，故D错误. 故选：AB. 8（2024高三·全国·专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望． 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为． (1)请写出方案一的分布列，并求方差； (2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由． 【答案】(1)分布列见解析，方差为180 (2)答案见解析，理由见解析 【分析】（1）设出的概率，依题列出方程组求解即得的分布列，算出方差； （2）依题列出Y的分布列，算出期望与方差，再与的期望与方差比较即得. 【详解】（1）设，， 依题意得①，又②， 由①②解得：，． ∴X的分布列为 X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 则． （2）由题得Y的分布列为 Y 10 20 30 P 0.3 0.4 0.3 则， ． 由可知采用平台广告投放期望收益较大，又，说明平台广告投放的风险较高． 综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告． 9（22-23高二下·浙江金华·阶段练习）新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第两题的难度较大，第题正确选项为，第题正确选项为.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的. (1)若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为分的概率； (2)若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式进行求解即可； （2）根据相互独立事件的概率公式，分别求出和的分布列，再结合数学期望和方差公式进行求解即可. 【详解】（1）因为甲同学两题得分合计为分，且甲同学每题均随机选取项， 所以题可能的选择有、共种，题可能的选择有：共种， 所以甲同学两题得分合计为分. （2）甲同学的两题得分可能的取值为：， ， ， ， 所以的分布列为： 所以， ， 乙同学第题得分可能的取值为：， ，， 乙同学第题得分可能的取值为：， ，， 乙同学的两题得分可能的取值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. 【B组---提高题】 1（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，，则下列说法正确的是（    ） A．存在， B．对任意， C．存在， D．对任意， 【答案】D 【分析】对A、B：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对C：先求，利用作差法比较大小；对D：换元令，结合二次函数求的取值范围. 【详解】由题意可得：，且，即， 对A、B：由题意可得：， ∵开口向下，对称轴，， 则，故，即， 不存在，，A错误； 例如，则，即存在，，，B错误； 对C：， 则， 故对任意，，则，C错误； 对D：令， 则图象开口向下，对称轴，且， 故，即， 对任意，，D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据题意得到，，从而得解. 2（多选）（23-24高二下·江苏宿迁·期末）甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为、，方差为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知，利用期望值和方差性质可得A，D正确，C错误；易知随机变量的所有可能取值为，写出对应的概率并得出分布列，可得，，可得B正确. 【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为， 不管如何交换红球个数始终只有5个，易知， 对于A，由期望值性质可得，即，所以A正确； 对于B，易知随机变量的所有可能取值为； 当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得 ， 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得 ； 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得 ； 当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得 ； 当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得 ， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 所以期望值， 可得，即，可得B正确； 对于C，D，由方差性质可得，即可得，所以C错误，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足，利用期望值和方差性质可判断出AD选项，再求出随机变量的分布列可得结论. 3（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 【答案】(1) (2)分布列见解析；， (3)；2 【分析】（1）根据对立事件的概率求法，即可求得答案； （2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，可得分布列，继而求得期望和方差； （3）确定与的关系式，从而构造数列求出的表达式，结合题意可得需满足，讨论n的奇偶性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为； （2）由题意知X的可能取值为， 则，， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故； . （3）由题意得， 则， 则，即得， 又，故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即， 即，即， 当n为偶数时，上式显然不成立， 故当n为奇数时，有， 当时，成立； 当时，成立； 当时，，即不成立； 又随n的增大而减小，故时，均不成立； 则只有在第1天和第3天时有， 故在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为2. 【点睛】关键点睛：本题综合考查了概率知识和数列的应用问题，有一定难度，解答的关键在于第三问，解答时要能确定，进而根据数列知识求得的表达式，即可求解. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$