预习篇 7.1 条件概率与全概率公式 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高二数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

7.1 条件概率与全概率公式 【题型1】 求条件概率 【基础知识】 1 定义 一般地，设为两个事件,且 ,称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率. 备注 (1) 求“事件已发生，事件发生的概率”，可理解：如图，事件已发生，则为样本空间，此时事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即 (通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，就是以为样本空间计算的概率) Eg: 某地7月份吹南风(事件)的概率是，下雨(事件)的概率是，即吹南风又下雨的概率是，那在吹南风的条件下下雨的概率是, 在下雨的条件下吹南风的的概率是. (2) 当时，当且仅当事件与相互独立时，有； 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·江苏扬州·期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加接力比赛．记事件A为“甲同学不跑第一棒”，事件为B“乙同学跑第二棒”，则的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二下·全国·课后作业）在某班学生考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占．已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是（    ） A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6 2（24-25高二下·全国·课后作业）从20以内的质数中不放回地依次取2个数，记事件A为“第一次取到的数是奇数”，事件B为“两次取出的数之和是奇数”，则（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二下·天津滨海新·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则（    ） A． B． C． D． 4（24-25高三上·全国·阶段练习）在一个不透明箱子中装有10个大小､质地完全相同的球，其中白球7个，黑球3个．现从中不放回地依次随机摸出两个球，已知第二次摸出的是黑球，则第一次摸出的是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型2】 概率的乘法公式 【基础知识】 概率的乘法公式 对任意两个事件与，若，则 设，则 (1)； (2) 如果和互斥，那么 ； (3) 设和互为对立事件，则. 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2】（21-22高二下·河南郑州·期末）已知随机事件A，B的概率分别为，且，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二下·全国·随堂练习）以，分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现停水的事件，据记载知，，，则两个区同时发生停水事件的概率为（    ） A．0.6 B．0.65 C．0.45 D．0.045 2（2019高三·全国·专题练习）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二下·全国·课后作业）已知，且相互独立，则（    ） A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解 4（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5（24-25高三上·福建·开学考试）已知，，则 A． B． C． D． 6（2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】 全概率公式的运用 【基础知识】 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 我们称它为全概率公式. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（20-21高二·全国·课后作业）某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占，“一般的”被保险人占，“冒失的”被保险人占，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（    ） A．0.155 B．0.175 C．0.016 D．0.096 2（2024高三·全国·专题练习）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是.最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是.他说谎的概率是（    ） A．0.1 B．0.9 C．0.05 D．0.14 3（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知一道解答题共有两小问，第一问5分，第二问8分，现每10个人有6个人能够解答出第一问，在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（    ） A．0.04 B．0.18 C．0.22 D．0.46 4（20-21高二·全国·课后作业）设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型4】 全贝叶斯公式的运用 【基础知识】 设 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他坐公交车去上班的概率为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2023·河北秦皇岛·二模）根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为 A． B． C． D． 2（2024·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 3（24-25高二下·全国·课后作业）已知甲袋中有6只红球和4只白球，乙袋中有8只红球和6只白球，随机取一袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为 A． B． C． D． 4（24-25高三·上海·课堂例题）在某一季节，疾病的发病率为2%，患者中40%表现出症状；疾病的发病率为5%，患者中18%表现出症状；疾病的发病率为0.5%，患者中60%表现出症状．则以下结论中错误的是（    ） A．任意一位患者有症状的概率为0.02 B．患者有症状时患疾病的概率为0.4 C．患者有症状时患疾病的概率为0.45 D．患者有症状时患疾病的概率为0.25 5（2024·江西南昌·一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ） A． B． C． D． 6（2024·广东广州·模拟预测）有个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【A组---基础题】 1（23-24高二下·辽宁鞍山·期中）有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为），记事件“第一次掷出的点数小于4”，事件“两次点数之和大于4”，则（    ） A． B． C． D． 3（2024·云南曲靖·模拟预测）已知，，则（   ） A．0.4 B．0.6 C．0.1 D．0.2 4（2024高三上·山东济南·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5（23-24高二下·河北承德·期末）投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（    ） A． B． C． D． 6（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）假设 是两个事件， 且 ， 则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）长时间看电脑可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天看电脑超过2小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（    ） A． B． C． D． 8（2024·湖南邵阳·三模）甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（   ） A． B． C． D． 9（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 10（多选）（2024高三·全国·专题练习）在信道内传输，，信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两种字母的信号的概率均为．输入五个相同的信号，，的概率均为．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，则（    ） A．若输入信号，则输出的信号只有三个的概率为 B． C． D． 11（24-25高二上·四川眉山·期中）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 【B组---提高题】 1（多选）（23-24高三下·浙江金华·开学考试）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球、一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球、一个3号球；3号盒子内装有三个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B．第二次抽到3号球的概率为 C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大 D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种 2（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）甲､乙口袋都有3个小球（1个黑球和2个白球）.现从甲､乙口袋中各随机取1个小球交换放入另外一个口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），重复次这样的操作后，记甲口袋中恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求； (2)求； (3)求. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1 条件概率与全概率公式 【题型1】 求条件概率 【基础知识】 1 定义 一般地，设为两个事件,且 ,称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率. 备注 (1) 求“事件已发生，事件发生的概率”，可理解：如图，事件已发生，则为样本空间，此时事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即 (通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，就是以为样本空间计算的概率) Eg: 某地7月份吹南风(事件)的概率是，下雨(事件)的概率是，即吹南风又下雨的概率是，那在吹南风的条件下下雨的概率是, 在下雨的条件下吹南风的的概率是. (2) 当时，当且仅当事件与相互独立时，有； 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·江苏扬州·期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加接力比赛．记事件A为“甲同学不跑第一棒”，事件为B“乙同学跑第二棒”，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求出和，由条件概率公式计算可得答案. 【详解】事件A为“甲同学不跑第一棒”，事件为B“乙同学跑第二棒”， 则，， 所以. 故选：D. 【巩固练习】 1（24-25高二下·全国·课后作业）在某班学生考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占．已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是（    ） A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6 【答案】A 【分析】直接由条件概率公式即可求解. 【详解】由题意设事件“一名学生数学不及格”，“该名学生两门都不及格”， 则所求为. 故选：A. 2（24-25高二下·全国·课后作业）从20以内的质数中不放回地依次取2个数，记事件A为“第一次取到的数是奇数”，事件B为“两次取出的数之和是奇数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确20以内的质数个数，接着求出和即可由条件概率公式得解. 【详解】20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个， 由题意得，， 所以. 故选：D. 3（23-24高二下·天津滨海新·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件概率公式、古典概型概率公式求解即可. 【详解】由条件概率公式、古典概型概率公式可知，所求为. 故选：B. 4（24-25高三上·全国·阶段练习）在一个不透明箱子中装有10个大小､质地完全相同的球，其中白球7个，黑球3个．现从中不放回地依次随机摸出两个球，已知第二次摸出的是黑球，则第一次摸出的是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件概率的计算公式，先求出条件事件的概率，由公式即可得出答案. 【详解】设第一次摸出白球为事件，第二次摸出黑球为事件，则第一次摸出黑球为事件． ∵， ∴． 故选:B． 【题型2】 概率的乘法公式 【基础知识】 概率的乘法公式 对任意两个事件与，若，则 设，则 (1)； (2) 如果和互斥，那么 ； (3) 设和互为对立事件，则. 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率公式进行计算. 【详解】设第一次取到白球为事件，则， 设第二次取到白球为事件，则， 所以 . 故选：B 【例2】（21-22高二下·河南郑州·期末）已知随机事件A，B的概率分别为，且，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件概率的公式对选项一一判断即可得出答案. 【详解】由条件概率知：，因为，所以，故A不正确； ，与不一定相等，所以不一定成立，故B不正确； ，所以，故C正确； ，故D不正确. 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高二下·全国·随堂练习）以，分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现停水的事件，据记载知，，，则两个区同时发生停水事件的概率为（    ） A．0.6 B．0.65 C．0.45 D．0.045 【答案】D 【分析】由可求两个区同时发生停止供水事件的概率. 【详解】由题意可得. 故选：D. 2（2019高三·全国·专题练习）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式进行求解. 【详解】设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件A，“从2号箱中取到红球”为事件B. 由题意，知，，所以， 所以两次都取到红球的概率为. 故选：C. 3（24-25高二下·全国·课后作业）已知，且相互独立，则（    ） A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的定义可得. 【详解】相互独立，， ． 故选：A. 4（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式计算，注意在时，． 【详解】因为， 所以，， ， ， ， ， 故选：C． 5（24-25高三上·福建·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率和对立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】，，且， 又，， . 故选：B. 6（2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 【题型3】 全概率公式的运用 【基础知识】 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 我们称它为全概率公式. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由全概率公式和条件概率公式计算即得. 【详解】设事件为“患有此病”，为“化验结果呈阳性”， 由题意，， 则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为. 由全概率公式，， 代入数值可得： 解得： 故选：C. 【巩固练习】 1（20-21高二·全国·课后作业）某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占，“一般的”被保险人占，“冒失的”被保险人占，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（    ） A．0.155 B．0.175 C．0.016 D．0.096 【答案】B 【分析】分别用事件，，表示“被保险人是‘谨慎的’，‘一般的’，‘冒失的’”， 事件表示“被保险人在一年内发生事故”，再利用条件概率求解. 【详解】设事件表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件表示“被保险人是‘一般的’”，事件表示“被保险人是‘冒失的’”，则，，.设事件表示“被保险人在一年内发生事故”，则，，.由全概率公式，得. 故选：B 2（2024高三·全国·专题练习）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是.最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是.他说谎的概率是（    ） A．0.1 B．0.9 C．0.05 D．0.14 【答案】D 【分析】利用全概率公式直接求得结果. 【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”， 则，，，， 所以， 故选：D 3（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知一道解答题共有两小问，第一问5分，第二问8分，现每10个人有6个人能够解答出第一问，在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（    ） A．0.04 B．0.18 C．0.22 D．0.46 【答案】C 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件求出所需事件的概率，依据全概率公式求解. 【详解】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以， ， 所以. 故选：C 4（20-21高二·全国·课后作业）设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全概率公式即可处理. 【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应） 则,且两两互斥. 由题意可得：, . 故选：A. 【题型4】 全贝叶斯公式的运用 【基础知识】 设 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他坐公交车去上班的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交”，事件表示“骑共享车”，事件表示“迟到”，利用全概率公式以及条件概率公式即可. 【详解】由题意，设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交”，事件表示“骑共享车”， 事件表示“迟到”， 则, , 所以, 小明迟到了，由贝叶斯公式得他坐公交车去上班的概率是 . 故选：A. 【巩固练习】 1（2023·河北秦皇岛·二模）根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出三个事件：失踪的飞机后来被找到、失踪的飞机后来未被找到、装有紧急定位传送器的概率，再用条件贝叶斯公式计算即可得出结论. 【详解】设“失踪的飞机后来被找到”，“失踪的飞机后来未被找到”，“安装有紧急定位传送器”， 则，， 安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为. 故选：C. 2（2024·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病，利用全概率公式求出的值，然后利用贝叶斯公式可求出的值，即为所求. 【详解】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病， 由题意可知，，，，， 所以，， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为， 故选：A. 3（24-25高二下·全国·课后作业）已知甲袋中有6只红球和4只白球，乙袋中有8只红球和6只白球，随机取一袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设相应事件，由全概率公式可得，进而求条件概率. 【详解】设取到甲袋为事件A，则， 设取到红球为事件B，则， 由全概率公式可得， 所以. 故选：D. 4（24-25高三·上海·课堂例题）在某一季节，疾病的发病率为2%，患者中40%表现出症状；疾病的发病率为5%，患者中18%表现出症状；疾病的发病率为0.5%，患者中60%表现出症状．则以下结论中错误的是（    ） A．任意一位患者有症状的概率为0.02 B．患者有症状时患疾病的概率为0.4 C．患者有症状时患疾病的概率为0.45 D．患者有症状时患疾病的概率为0.25 【答案】D 【分析】根据全概率公式、贝叶斯公式逐一判断即可. 【详解】由题意可知：，，， ，，.由全概率公式可知： ，因此选项A正确； 由贝叶斯公式可知： ，因此选项B正确； ，因此选项C正确； ，因此选项D不正确， 故选：D 5（2024·江西南昌·一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可 【详解】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为 故选：C 6（2024·广东广州·模拟预测）有个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】C 【分析】利用古典概型概率公式和全概率公式，求出和，由比值确定大小关系. 【详解】设事件为“最终中奖”，事件为“一开始选中的有奖”，则， 在组织方打开无奖的盲盒后，若一开始选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 更换后， 若一开始选中的无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换后， 故， 由于风吹掉为随机吹掉，故所有个盲盒中有个奖品，且所有盲盒中有奖品的概率相等，， 因此，故. 故选：C 【点睛】方法点睛：设事件为“最终中奖”，事件为“一开始选中的有奖”，则，，利用的值，判断和的大小关系. 【A组---基础题】 1（23-24高二下·辽宁鞍山·期中）有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件概率公式求解即可. 【详解】记灯泡寿命超过500小时为事件，灯泡寿命超过800小时为事件， 则，所以. 故选：A 2（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为），记事件“第一次掷出的点数小于4”，事件“两次点数之和大于4”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式即可求得的值. 【详解】由题意可知， 事件与事件同时发生， 有共12种可能， ，所以. 故选：B. 3（2024·云南曲靖·模拟预测）已知，，则（   ） A．0.4 B．0.6 C．0.1 D．0.2 【答案】D 【分析】利用条件概率公式的变式公式和对立事件的概率计算，就可以求出结果. 【详解】因为，由对立事件概率计算公式可得：， 则， 故选：D 4（2024高三上·山东济南·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 则，所以. 故选：A. 5（23-24高二下·河北承德·期末）投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出、，由条件概率公式计算可得答案. 【详解】因为每枚骰子朝上的点数有奇数1，3，5三个，偶数有2，4，6三个， 所以3枚骰子朝上的点数之和为奇数的情况有奇数+奇数+奇数，偶数+偶数+奇数， 共两种情况，可得， 恰有1枚骰子朝上的点数为奇数的情况有偶数+偶数+奇数， 可得， 则. 故选：B. 6（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）假设 是两个事件， 且 ， 则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即可. 【详解】对于A选项，由，， 可知，故A正确； 对于B选项，成立的条件为是两个独立事件，故B错误； 对于C选项，由，， 故当时才有，故C错误； 对于D选项，若要成立，需要， 即成立的条件为是两个独立事件，故D错误. 故选：A． 7（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）长时间看电脑可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天看电脑超过2小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】设“任意调查一名学生，他每天看电脑超过2小时”为事件，则，. 设“从该校任意调查一名学生，他是近视”为事件，则，. 所以： . 故选：B 8（2024·湖南邵阳·三模）甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由全概率公式算出“任取一个零件，取到的零件是次品”的概率，再由贝叶斯公式即可求解. 【详解】设事件“任取一个零件，取到的零件是次品”，“任取一个零件，来自甲工厂”，“任取一个零件，来自乙工厂”， 由题意得，，，． 因为， 所以． 故选：D． 9（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式及贝叶斯公式计算可得. 【详解】设从甲中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为， 从乙中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 所以 所以 ， 即已知从乙袋中取出的是个红球，则从甲袋中取出的也是个红球的概率为. 故选：C. 10（多选）（2024高三·全国·专题练习）在信道内传输，，信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两种字母的信号的概率均为．输入五个相同的信号，，的概率均为．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，则（    ） A．若输入信号，则输出的信号只有三个的概率为 B． C． D． 【答案】CD 【分析】由题意，根据相互独立事件的概率乘法，结合条件概率的定义，可得答案. 【详解】对于A，当输入时，收到的概率为，收到，的概率分别为， 故收到的信号字母变的概率为．又信号的传输相互独立， 从而当输入时，输出的信号只有三个的概率为，故A错误． 对于B，，故B错误． 对于C，，故C正确． 对于D， ， ， 所以，故D正确． 故选：CD． 11（24-25高二上·四川眉山·期中）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 【答案】(1) (2) (3) 【分析】记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，. （1）分别求出第一次摸出红、黄、绿球的概率，以及第二次从红、黄、绿盒子里摸出红球的条件概率，再由全概率公式得到第二次摸出红球的概率； （2）由条件概率和（1）中的结果计算得出答案； （3）列出所有可能得情况，分别求出发生的概率再求和. 【详解】（1）记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，， 则，， 又由条件概率知，，， 由全概率公式知， （2）如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为， （3）若小明获得4块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为， ②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为， ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为， 所以小明获得4块月饼的概率是. 【B组---提高题】 1（多选）（23-24高三下·浙江金华·开学考试）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球、一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球、一个3号球；3号盒子内装有三个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B．第二次抽到3号球的概率为 C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大 D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种 【答案】ABD 【分析】对于A，利用条件概率公式求解；对于B，利用全概率公式求解；对于C，利用贝叶斯公式求解；对于D，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解. 【详解】记第一次抽到第号球的事件分别为则有，， 对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内， 因此第二次抽到1号球的概率为，故A正确； 对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为， 而两两互斥，和为， 记第二次抽到3号球的事件为， 所以，故B正确； 对于C：记第二次在第号盒内抽到1号球的事件分别为， 而两两互斥，和为， 所以， 记第二次抽到1号球的事件为， ， 第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同， 所以， ， ， 即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的概率最大，故C错误； 对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种， 将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法， 由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，故D正确； 故选：ABD. 2（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）甲､乙口袋都有3个小球（1个黑球和2个白球）.现从甲､乙口袋中各随机取1个小球交换放入另外一个口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），重复次这样的操作后，记甲口袋中恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据古典概型概率及互斥事件的概率公式计算即可； （2）根据条件概率与全概率公式计算即可； （3）讨论第次换球后甲口袋中黑球的个数为1的情况下的三种情形，构造等比数列计算通项公式，再由等比数列求和公式结合指数函数的性质证明即可. 【详解】（1）第1次换球后甲口袋有2个黑球，即从甲口袋取出的球为白球且从乙口袋取出的球为黑球， 则. 第1次换球后甲口袋有1个黑球，即从甲､乙口袋取出的球同为白球或同为黑球， 则. （2）若第2次换球后甲口袋有2个黑球，则分2种情况： ①当第1次换球后甲口袋有1个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球； ②当第1次换球后甲口袋有2个黑球时，第2次甲､乙口袋同取白球. 所以. 若第2次换球后甲口袋有1个黑球，则分3种情况： ①当第1次换球后甲口袋有0个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球； ②当第1次换球后甲口袋有1个黑球时，第2次甲､乙口袋同取白球或同取黑球； ③当第1次换球后甲口袋有2个黑球时，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球. 所以. （3）第次换球后，甲口袋黑球的个数为1的情况： ①若第次换球后甲口袋有2个黑球，则第次甲口袋取黑球且乙口袋取白球； ②若第次换球后甲口袋有1个黑球，则第次甲､乙口袋同取黑球或同取白球； ③若第次换球后甲口袋有0个黑球，则第次甲口袋取白球且乙口袋取黑球. 所以 即. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$