精品解析：江苏省阜宁中等专业学校等校际联考2023-2024学年高二下学期第二次考试数学试题

校际联考2024年春学期第二次考试 22级数学试卷 考试时间：120分钟 分值150分 命题学校：阜宁中专 命题人：顾敏祥 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分） 1. 由这5个数字组成没有重复数字的三位奇数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 若的展开式中，第五项是常数项，则 （ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 3. 将十进制数化为二进制数为（ ） A. B. C. D. 4. 化简逻辑式（ ） A. B. C. D. 1 5. “两个事件对立”是“这两个事件互斥”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若某人射击每次命中目标的概率均为，则经过3次射击，此人恰好命中2次目标的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 某项工程的网络图如下（单位：天），若完成该工程的最短总工期为8天，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 8. 若一组数据的方差是5，则数据的方差为（ ） A. 5 B. C. D. 9. 已知随机变量 ，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知回归直线斜率的估计值是，样本点（即均值对应点）的中心为，则该回归直线方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 执行如图程序框图，则输出的的值为 ______________ . 12. 长为20m的铁丝围成一个长方形场地，则能围成的长方形场地的最大面积为____m2 13. 设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从中任取3件，以X表示取出3件中的不合格品的件数，则___________. 14. 从1个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取1个球，记X为取得红球的次数，则__________. 15. 已知随机变量服从正态分布，且，则_________. 三、解答题（要写出必要解题过程，共90分） 16. 已知随机变量X的取值为，若，，求. 17. 甲、乙两人投篮的命中率分别为，每人只投掷一次，投中一次得3分，不中得0分，求两人得分和X的概率分布列和数学期望. 18. 一不透明容器中装有仅颜色不同的4个绿球和2个红球，从中每次取1个球，共取2次，试分别求下列事件的概率： （1）在有放回抽取情况下，取到两球颜色相同； （2）在无放回抽取情况下，取到两球第二次为红球； 19. 某校高二上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如下图所示： （1）求分数在和学生中各有多少人？ （2）若采用随机简单抽样方法，从分数在和学生中抽取3人，求3人中至少1人成绩在的概率. 20. 实数满足约束条件，求： （1）的最大值； （2）的最小值. 21. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求证：数列是等比数列； （2）若，求数列的前项和; （3）在（2）条件下，若，求数列的前项和为; 22. 某单位租用车辆送180名员工去单位上班，若租车公司有6辆中巴车和8辆大巴车，每辆中巴车能载15人、大巴车能载30人，租用一辆车的费用为中巴车300元、大巴车500元，且租用的大巴车不多于中巴车3辆，则该单位应租用中巴车、大巴车各多少辆时，租车总费用最小？并求租车总费用的最小值． 23. 已知抛物线的焦点与椭圆右焦点重合. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆C交于A、B两点，求面积的最大值（O为坐标原点）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 校际联考2024年春学期第二次考试 22级数学试卷 考试时间：120分钟 分值150分 命题学校：阜宁中专 命题人：顾敏祥 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分） 1. 由这5个数字组成没有重复数字的三位奇数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】运用位置限制法，首先考虑个位，再运用排列数计算即可. 【详解】这5个数字有3个奇数， 则个位数字有中选法，其余两位数有种排法， 所以由这5个数字组成没有重复数字的三位奇数有个. 故选：C. 2. 若的展开式中，第五项是常数项，则 （ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式的通项即可求解. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 因为第五项是常数项，即， 所以，解得. 故选：C. 3. 将十进制数化为二进制数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据进制转换即可求解. 【详解】因为， 所以十进制数化为二进制数为. 故选：B. 4. 化简逻辑式（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据逻辑运算律，化简逻辑式子即可得解. 【详解】. 故选：D. 5. “两个事件对立”是“这两个事件互斥”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件、互斥事件、充分条件以及必要条件的概念，即可求解. 【详解】对立事件指事件中必定而且只有一个发生， 互斥事件指事件与事件在任何一次试验中不会同时发生， 故对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件， 所以“两个事件对立”是“这两个事件互斥”充分不必要条件. 故选：A. 6. 若某人射击每次命中目标的概率均为，则经过3次射击，此人恰好命中2次目标的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由独立重复实验的概率求法可解. 【详解】命中目标的概率均为，所以未命中目标的概率为， 则恰好命中2次目标的概率为. 故选：D. 7. 某项工程的网络图如下（单位：天），若完成该工程的最短总工期为8天，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据找出所有方案得出关键路径根据最短总工期即可确定的值. 【详解】第一种方案：，共天， 第二种方案：，共天， 第三种方案：，共天， 第四种方案：，共天， 因为完成该工程的最短总工期为8天，且， 所以为关键路径， 即， 故选：A. 8. 若一组数据的方差是5，则数据的方差为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用方差的性质即可得解. 【详解】因为数据的方差是5， 所以数据的方差为. 故选：D. 9. 已知随机变量 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立重复试验概率公式计算，再由即可得出结果. 【详解】已知随机变量 ， 则， 所以， 故选：A. 10. 已知回归直线斜率的估计值是，样本点（即均值对应点）的中心为，则该回归直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意设回归直线方程是，将点代入所设方程中计算求出b的值便可得到回归直线的方程. 【详解】因为回归直线斜率的估计值是， 所以回归直线方程是， 又样本点（即均值对应点）的中心为， 所以，解得， 所以该回归直线方程为. 故选：C. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 执行如图程序框图，则输出的的值为 ______________ . 【答案】0 【解析】 【分析】根据程序框图的循环结构计算即可. 【详解】第一次循环：时，，， 第二次循环：时，，， 第三次循环：时，，， 第四次循环：时，，， 第五次循环：时，，，输出S，程序结束. 所以输出的的值为. 故答案为：0. 12. 长为20m的铁丝围成一个长方形场地，则能围成的长方形场地的最大面积为____m2 【答案】25 【解析】 【分析】设长方形场地的长为x，面积为y，则即可求解. 【详解】设长方形场地的长为x，面积为y，则宽为， 所以长方形面积为：， 所以当时，长方形场地的面积最大为. 故答案为：. 13. 设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从中任取3件，以X表示取出3件中的不合格品的件数，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据随机变量XX服从超几何分布，然后根据超几何分布公式即可求解. 【详解】由题意知随机变量X服从超几何分布， 则. 故答案为：. 14. 从1个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取1个球，记X为取得红球的次数，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出从袋子中取出一个红球的概率，进而得到，利用二项分布的方差公式进行求解. 【详解】从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球， 是红球的概率为，因为是有放回地取球5次， 所以，所以， 故答案为：. 15. 已知随机变量服从正态分布，且，则_________. 【答案】0.14## 【解析】 【分析】根据已知条件，结合正态分布的性质，即可求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以正态曲线关于对称， ， 则. 故答案为：. 三、解答题（要写出必要解题过程，共90分） 16. 已知随机变量X的取值为，若，，求. 【答案】 【解析】 【分析】设，然后根据已知条件列方程组求出，从而可求出. 【详解】设， 已知随机变量X的取值为，且， 则，解得， 所以. 17. 甲、乙两人投篮的命中率分别为，每人只投掷一次，投中一次得3分，不中得0分，求两人得分和X的概率分布列和数学期望. 【答案】分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】根据甲乙是否投中球的得分求解的取值，再分别求解的取值的概率，写出分布列并由期望公式代入求解即可. 【详解】因为投中一次得3分，不中得0分， 所以的取值分别为， 因为甲、乙两人投篮的命中率分别为， 所以， ， ，分布列如下， X 0 3 6 P . 18. 一不透明容器中装有仅颜色不同的4个绿球和2个红球，从中每次取1个球，共取2次，试分别求下列事件的概率： （1）在有放回抽取情况下，取到两球颜色相同； （2）在无放回抽取情况下，取到两球第二次为红球； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取得两个同颜色的球”是由“取得两个红球”与“取得两个绿球”的和事件，利用独立事件的概率公式和概率加法公式即可求解. （2）取到两球第二次为红球是由“第一次取得绿球，第二次取得红球”与“第一次取得红球，第二次取得红球”的和事件，利用独立事件的概率公式和概率加法公式即可求解. 【小问1详解】 由题可知：从4个绿球和2个红球中抽取一个绿球的概率为，抽取一个红球的概率为， 对事件A：共取2次有放回抽取情况下，取到颜色相同包括：取到的两球都为红球或都为绿球， 取到两球都为红球的概率为，取到两球都为绿球的概率为， 所以. 【小问2详解】 对事件B：共取2次在无放回抽取情况下，取到两球第二次为红球包括： 第一次取得绿球，第二次取得红球或第一次取得红球，第二次取得红球， 则第一次取得绿球，第二次取得红球的概率为， 第一次取得红球，第二次取得红球的概率为， 所以. 19. 某校高二上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如下图所示： （1）求分数在和学生中各有多少人？ （2）若采用随机简单抽样方法，从分数在和学生中抽取3人，求3人中至少1人成绩在的概率. 【答案】（1）6人，3人 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图直接列式计算作答. （2）根据对立事件的定义和概率公式即可求解. 【小问1详解】 由图可知：分数在学生中有人， 分数在学生中有人. 【小问2详解】 由（1）可知，分数在有6人，分数在有3人， 若从中随机抽取3人，则有种可能， 3人分数都在中有种可能， 因为3人中至少1人成绩在的对立事件为3人的分数都在中， 所以3人中至少1人成绩在的概率为. 20. 实数满足约束条件，求： （1）的最大值； （2）的最小值. 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）根据约束条件作出可行域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值． （2）由表示可行域内点到点的距离的平方，由图可得点到可行域内点的最小距离为点到直线的距离，由此即可解答. 【小问1详解】 实数满足约束条件， 如图，画出可行域， 由得，， 平移直线，由图可知， 当直线过点时，直线的截距最大， 由，可得点， 此时取最大值，最大值为. 【小问2详解】 因为表示可行域内点到点的距离的平方， 由图可得点到可行域内点的最小距离为点到直线的距离, 因为，所以. 21. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求证：数列是等比数列； （2）若，求数列的前项和; （3）在（2）条件下，若，求数列的前项和为; 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的关系及等比数列的定义，即可求解； （2）根据条件，求得数列的通项，得到是等差数列，利用等差数列的前n项和公式，即可求解前项和； （3）根据条件，求得数列的通项，利用裂项相消法，即可求解前项和. 【小问1详解】 由题，数列的前项和为，且满足，则， 两式相减得，即，可得， 时，，即，则， 故数列是首项为1，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可得，， ，且， 可知数列是等差数列，首项为0，公差为1， 则数列的前项和. 【小问3详解】 由（2）可得，， 所以， 则数列的前项和为， 化简可得. 22. 某单位租用车辆送180名员工去单位上班，若租车公司有6辆中巴车和8辆大巴车，每辆中巴车能载15人、大巴车能载30人，租用一辆车的费用为中巴车300元、大巴车500元，且租用的大巴车不多于中巴车3辆，则该单位应租用中巴车、大巴车各多少辆时，租车总费用最小？并求租车总费用的最小值． 【答案】该单位租用中巴车辆、大巴车辆时，租车费用最小，租车费用最小为. 详解见解析. 【解析】 【分析】由题可设用辆中巴车，辆大巴车，总费用为元，根据题意写出相关不等式，即可求解. 【详解】解：由题可设用辆中巴车，辆大巴车，总费用为元， 其中， ，即有，故可知， 由题可知，租车费用为， 即， 即当时，最小为元， 故该单位租用中巴车辆、大巴车辆时，租车费用最小，租车费用最小为. 23. 已知抛物线的焦点与椭圆右焦点重合. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆C交于A、B两点，求面积的最大值（O为坐标原点）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出抛物线与双曲线的焦点坐标，结合椭圆方程即可得到的值. （2）将直线方程与椭圆方程联立组成方程组，然后求得弦的值，并通过求解得到点到直线的距离d，即可得到含有m的表达式，进而求解得出最大值. 【小问1详解】 由抛物线方程可知焦点为， 由题可知椭圆的右焦点为， 则，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 根据题意，设点， 联立直线与椭圆方程可得， 消去y得：， 所以，解得， 即得， 则由相交弦长公式可得， 又由点到直线距离公式可得，点到直线的距离即为， 所以， 当且仅当，即时，面积取得最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $