预习专题02 向量的加法运算4题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题02 向量的加法运算4题型分类 一、向量加法的定义及其运算法则 1．向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．向量求和的法则 ①三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a． ②平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． ③位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型. 二、向量加法的运算律 交换律：a＋b＝b＋a． 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． （一） 向量加法法则 1．向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．向量求和的法则：三角形法则，平行四边形法则． 3.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系： 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系： 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 题型1：向量的加法 1．（24-25高一下·全国·课前预习）飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图），这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.从物理学的角度来看，上面实例中位移说明了什么？体现了向量的什么运算？    【答案】位移可以相加，体现了向量的加法运算 【详解】位移可以相加，体现了向量的加法运算. 2．（24-25高一下·全国·课前预习）请大家回顾我们物理中学过的力的合成的平行四边形法则，请你画出如图力和的合力．    【答案】答案见解析 【分析】根据向量加法的平行四边形法则作图即可. 【详解】如图所示．    3．（2024高一·全国·课前预习）如图，已知，求作. (1)； (2) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据向量加法的三角形法则即可求解. 【详解】（1）在平面内任取一点，如图所示 作则. （2）在平面内任取一点，如图所示 作则. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【答案】答案见解析 【分析】根据向量加法的平行四边形法则及共线向量的加法法则即可得解. 【详解】（1）作法：在平面内任意取一点，作，，则，如图所示． （2）在平面内任意取一点，作，，，则，如图所示． 5．（2024高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的三角形法则可得结果. 【详解】根据向量加法的三角形法则,得到. 故选：C. 6．（2024高二下·云南·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加法运算法则分析求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 7．（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示， （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 【分析】运用向量加法的三角形法则可解. 【详解】由图知道，，，，. 故答案为：，，，. 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解. 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）如图，即为所求. （3）如图，即为所求. （4）如图，即为所求. 题型2：向量的加法的几何应用 9．（2024高一下·湖南邵阳·期中）在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量加法法则及运算律计算可得. 【详解】因为，故D正确. 显然，，，故A、B、C均错误. . 故选：D 10．（2024高一下·全国·课前预习）在四边形ABCD中，，则（　 　） A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形 C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形 【答案】D 【分析】运用同起点的向量加法的平行四边形法则易得. 【详解】对于同起点的向量的和一般通过作平行四边形得到，由可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形. 故选：D. 11．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知在中，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】 （1）利用向量的加法法则作图即可； （2）利用向量的加法法则作图即可. 【详解】（1） 延长，在延长线上截取，则向量即为所求. （2）在上取点，使，则向量即为所求. （二） 向量加法运算律的应用 向量加法的运算律：交换律：a＋b＝b＋a．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 题型3：向量加法运算律的应用 12．（2024高一下·河南郑州·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据向量的运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】由向量的运算法则，可得. 故选：D. 13．（24-25高一下·全国·课堂例题）设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据向量线性运算的法则化简求解即可. 【详解】（1）． （2）． （3）． 14．（2024高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． 【答案】(1). (2). 【分析】 （1）（2）直接利用向量的加法运算律即可求解. 【详解】（1）. （2）. 15．（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】B 【分析】根据向量加法的运算律判断即可. 【详解】对于①，，正确； 对于②，，错误； 对于③，，正确. 故选：B 16．（2024高一下·新疆·期末）化简下列各式: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）应用向量加法运算律化简即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 17．（2024高一·全国·课后作业）向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的加法运算即可得到结果. 【详解】 故选:C 18．（2024高一·全国·课后作业）设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则① ；②；③中成立的序号为 ． 【答案】② 【分析】利用向量的三角形法则及其几何意义求解. 【详解】如图， 因为四边形为平行四边形， 所以连接对角线交于点，则为的中点， 根据向量的加法运算法则可得， 在中，, 在中，, 所以, 故答案为:②. （三） 向量加法的实际应用 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 题型4：向量加法的实际应用 19．（2024高一·上海·课堂例题）设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)向东走4 km (2)向东南走km (3)向东北走km (4)向南走3 km 【分析】由向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，根据向量的加法法则即可求解各小问. 【详解】（1） 由题意，因为向量表示“向东走2 km”， 则表示“向东走4 km”； （2）因为向量表示“向东走2 km”， 向量表示“向南走2 km”， 所以表示“向东南走km”； （3）因为向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向东北走km”； （4）因为向量表示“向南走2 km”，向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向南走3 km”. 20．（2024高一·全国·课堂例题）如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.      【答案】分析答案见解析，OA受力最大 【分析】根据题意利用向量加法的平行四边形法则，画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系得出拉力最大的是OA． 【详解】设OA，OB，OC三根绳子所受的力分别为，，，则. 因为，的合力为，所以. 如图在平行四边形中，      因为，， 所以，，即，. 故细绳OA受力最大. 21．（2024高一·全国·课前预习）一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置. 【答案】直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处 【分析】根据向量加法的三角形法则及勾股定理即可求解. 【详解】如图所示， 设，分别是直升飞机的位移，则表示两次位移的合位移，即. 在中，. 在中，，， 即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处. 22．（2024高一·全国·课前预习）在静水中船的速度为，水流的速度为，若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角). 【答案】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则及正切函数的定义即可求解. 【详解】如图所示， 表示船速，表示水速，以、为邻边作，则表示船实际航行的方向. 所以 在中，. 所以船实际行进的方向的正切值为. 一、单选题 1．（2024高一下·全国·课后作业）在平行四边形中，，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的平行四边形法则求解. 【详解】平行四边形中，. 故选：A 2．（2024高二下·贵州·学业考试）如图，在平行四边形ABCD中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由平面向量加法的平行四边形法则求解即可. 【详解】由题意得，. 故选：B. 3．（2024高一下·新疆·期末）在矩形中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法的几何关系及矩形性质判断各项的结果，即可得答案. 【详解】由题设，，，，，故A、B、C错，D对.    故选：D 4．（2024高一下·全国·课后作业）向量化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法运算即可得到结果. 【详解】 故选：D 5．（2024高一下·广东梅州·期中）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得； 【详解】解： 故选：B 6．（2024高一下·天津红桥·期末）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量加法的三角形法则可知. 【详解】. 故选：C. 7．（2024高三·河北·学业考试）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的加法法则，即可得答案. 【详解】在中，，，则, 故选：A 8．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）如图，在矩形中，为中点，那么向量=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法法则和矩形的性质求解 【详解】因为在矩形中，为中点， 所以， 所以， 故选：A 9．（2024高二下·天津·学业考试）如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法的平行四边形法则判断即可. 【详解】在平行四边形中. 故选：B 10．（2024高三·新疆·学业考试）在平行四边形ABCD中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据向量的运算可得答案. 【详解】. 故选：A. 11．（2024高一下·河南安阳·期末）如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的概念及加法的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由平面向量的运算法则，可得. 故选：A. 12．（2024高二下·北京·学业考试）如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量相等的概念及向量的加法法则判断选项即可. 【详解】因为四边形是菱形， 所以根据向量加法的平行四边形法则知，， ，故C对D错； 因为向量方向不同，所以，，故AB错误. 故选：C 13．（2024高一下·陕西宝鸡·期中）向量化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】由, 故选：A 二、多选题 14．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量的加法法则可逐一判断． 【详解】对于A，由平面向量加法的平行四边形法则得，A正确； 对于B项，，B错误； 对于C项，，C正确； 对于D项，，D正确． 故选：ACD 15．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算，求得，结合零向量的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，向量，且是一个非零向量，所以A正确； 由，所以B不正确，C正确； 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 16．（2024高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，O是和的交点. （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 【分析】根据向量加法法则计算． 【详解】（1）由平行四边形法则，； （2）由向量加法的三角形法则，； （3）由向量加法法则得，； （4）由向量加法法则得，． 故答案为：；；；． 17．（2024高一·全国·单元测试）如图，在中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，，连接CD，那么 ； . 【答案】 【分析】根据四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则求解. 【详解】因为， 所以四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知： ； . 故答案为：；. 18．（第六章6.1.2向量的加法）化简： . 【答案】 【分析】根据向量加法的运算法则即可化简求解. 【详解】解: 故答案为： 【点睛】本题主要考查向量加法的运算法则，向量的加法满足交换律.属于基础题 19．（2024高一下·上海·课后作业）若、、、是共面的四点，则 . 【答案】 【分析】利用向量的加法运算的交换律，和加法运算的几何意义可以得到答案. 【详解】, 故答案为： 20．（2024高一·全国·课后作业）已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是 .(填序号) 【答案】①④/④① 【分析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为. 【详解】①; ②; ③; ④. 故答案为：①④. 四、解答题 21．（24-25高二·上海·假期作业）作出如图中两向量的和向量. 【答案】答案见解析 【分析】由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则求解即可. 【详解】解法一（三角形法则）如图（b），作，则， 解法二（平行四边形法则）如图（c），作， 以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则. 向量加法的平行四边形法则的特点是和向量与向量是共始点向量. 22．（2024高一·上海·课堂例题）已知A、B、C、D、E是平面上任意五个点，求证：．这个结果可以推广到更多点的情况吗？ 【答案】证明见解析；可以推广 【分析】根据向量加法法则分析证明，并推广至任意个点. 【详解】由题意可得：； 可以推广，推广可得：对于平面上任意个点， 均有. 证明如下： . 23．（2024高一·全国·课堂例题）设是等边三角形的中心，求． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，设，将逆时针旋转120°，结合向量加法交换律以及零向量的性质即可求解. 【详解】设．如图所示：    将等边三角形绕点逆时针旋转120°，使顶点A，B，C分别转到点B，C，A的位置， 则跟着旋转120°，变成了． 由向量加法的交换律可知，向量旋转120°之后仍是其自身． 由于只有才有可能使旋转120°后仍是， 于是． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题02 向量的加法运算4题型分类 一、向量加法的定义及其运算法则 1．向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．向量求和的法则 ①三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a． ②平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． ③位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型. 二、向量加法的运算律 交换律：a＋b＝b＋a． 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． （一） 向量加法法则 1．向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．向量求和的法则：三角形法则，平行四边形法则． 3.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系： 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系： 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 题型1：向量的加法 1．（24-25高一下·全国·课前预习）飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图），这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.从物理学的角度来看，上面实例中位移说明了什么？体现了向量的什么运算？    2．（24-25高一下·全国·课前预习）请大家回顾我们物理中学过的力的合成的平行四边形法则，请你画出如图力和的合力．    3．（2024高一·全国·课前预习）如图，已知，求作. (1)； (2) 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 5．（2024高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 6．（2024高二下·云南·学业考试）（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示， （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 题型2：向量的加法的几何应用 9．（2024高一下·湖南邵阳·期中）在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一下·全国·课前预习）在四边形ABCD中，，则（　 　） A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形 C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形 11．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知在中，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作： (1)； (2). （二） 向量加法运算律的应用 向量加法的运算律：交换律：a＋b＝b＋a．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 题型3：向量加法运算律的应用 12．（2024高一下·河南郑州·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·全国·课堂例题）设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 14．（2024高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． 15．（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 16．（2024高一下·新疆·期末）化简下列各式: (1) (2) 17．（2024高一·全国·课后作业）向量（    ） A． B． C． D． 18．（2024高一·全国·课后作业）设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则① ；②；③中成立的序号为 ． （三） 向量加法的实际应用 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 题型4：向量加法的实际应用 19．（2024高一·上海·课堂例题）设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（2024高一·全国·课堂例题）如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.      21．（2024高一·全国·课前预习）一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置. 22．（2024高一·全国·课前预习）在静水中船的速度为，水流的速度为，若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角). 一、单选题 1．（2024高一下·全国·课后作业）在平行四边形中，，，则=（ ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·贵州·学业考试）如图，在平行四边形ABCD中，（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·新疆·期末）在矩形中，等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一下·全国·课后作业）向量化简后等于（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一下·广东梅州·期中）等于（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一下·天津红桥·期末）化简：（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·河北·学业考试）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）如图，在矩形中，为中点，那么向量=（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二下·天津·学业考试）如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 10．（2024高三·新疆·学业考试）在平行四边形ABCD中，（   ） A． B． C． D． 11．（2024高一下·河南安阳·期末）如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024高二下·北京·学业考试）如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 13．（2024高一下·陕西宝鸡·期中）向量化简后等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 16．（2024高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，O是和的交点. （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 17．（2024高一·全国·单元测试）如图，在中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，，连接CD，那么 ； . 18．（第六章6.1.2向量的加法）化简： . 19．（2024高一下·上海·课后作业）若、、、是共面的四点，则 . 20．（2024高一·全国·课后作业）已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是 .(填序号) 四、解答题 21．（24-25高二·上海·假期作业）作出如图中两向量的和向量. 22．（2024高一·上海·课堂例题）已知A、B、C、D、E是平面上任意五个点，求证：．这个结果可以推广到更多点的情况吗？ 23．（2024高一·全国·课堂例题）设是等边三角形的中心，求． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$