4.4数学归纳法 讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.4数学归纳法 知识点1 数学归纳法的概念 ① 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当时命题成立； （2）（归纳递推）以“当n=k(k∈时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法。用框图可表示： ② 两个步骤之间的关系 记P(n)是一个关于正整数n的命题。我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：为真；（2）若 ,k≥,为真，则P(k+1)也为真。 结论：P(n)为真。 在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当时结论成立，即命题为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k+1)也为真。 完成这两步，就有真，真······P(k)真，P(k+1)真······。从而完成证明。 概念辨析 （1）数学归纳法的两个步骤分别是数学归纳法的两个必要条件，二者缺一不可。步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证，这两个步骤缺一不可。如果缺少步骤（2），无法对当n取以后的数时的结论是否正确作出判断；如果缺少步骤（1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）就没有意义了。 （2）步骤（2）中，证明“当n=k+1时命题成立”的过程中，必须利用归纳假设，即必须用上“假设当时命题成立”这一条件。 （3）在步骤（2）的证明中，“当时命题成立”这一假设起着已知条件的作用，“当n=k+1时命题也成立”则是求证的目标，在这一步中，首先要凑出假设里给出的形式，再进一步凑出当n=k+1时的结论。 （4）用数学归纳法可证明有关正整数n的问题，但并不是所有的有关正整数n的问题都可以用数学归纳法来证明。例如用数学归纳法证明的单调性就难以实现。 例1-1（2022·辽宁高二期中）用数学归纳法证明 n>1)时，第一步应验证不等式（ ）。 A. B D. 解：由题意知，当n=2时，不等式为。故选B。 例1-2（2022·东北师范附中模拟预测）用数学归纳法证明(a≠1)时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是（ ）。 解：将n=1代入等式，观察左边最后一项为则第一步归纳奠基时，要验证的等式即为1+故选D。 例1-3（2022·河南南阳高二阶段练习）用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（ ）。 A.2 B.3 C.4 D.5 解：显然当n=1时，，而当n=2时，，A不是；当n=3时，B不是；当n=4时，，C不是；当n=5时，，符合要求，D是。故选D。 例1-4（2022·华东师大一附中高二期末）用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)⋅⋅，从k 到k+1左端需要增乘的代数式为（ ）。 A.2k+1 B.2(2k+1) C D. 解：当n=k时，左边等于(k+1)(k+2)⋅⋯⋅(k+k)；当n=k+1时，左边等于[(k+1)+1]·[(k+1)+2]⋅⋯⋅[(k+1)+(k-1)]+[(k+1)+k]+[(k+1)+(k+1)]，即左边等于（(k+2)(k+3)⋅⋯⋅(k+k)(2k+1)(2k+2，所以左边增乘的项为2(2k+1)，故选B。 知识点2 数学归纳法的基本思想 ① 基本思想 先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当 ）时，命题成立（这时命题是否成立不是确定的）。根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，命题都成立。 ② 注意三个要点 用数学归纳法证明关键在于“两个步骤要做到，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。因此必须注意以下三点： （1）验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数，这个就是我们要证明的命题对象的最小正整数，这个正整数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题。 （2）递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程，必须把归纳假设“”作为条件来导出“n=k+1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次。 （3）正确寻求递推关系 我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的，如何寻求递推关系呢？ ①在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的。 ②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置。 ③在书写f(k+1)时，一定要把包含f（k）的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项。除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚。 例2（2022·山西师大附中高二月考）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k+1成立时，总有f(k+1)≥k+2成立。则下列命题总成立的是（ ）。 A.若f(1)<2成立，则f(10)<11成立 B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k+1成立 C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k+1成立 解：选项A，C与已知条件不等号方向不同，故A，C错误；选项B中，若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，故B错误；根据题意，若f(4)≥5成立，则1)成立，即f(k)≥k+1(k≥5)成立，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k+1成立。故选D。 知识点3 归纳、猜想与证明 ① 归纳法的分类 归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法，其特征是“特殊→一般”。 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法。 （1）不完全归纳法：考查某类对象中的一部分，由这一部分具有或不具有某种特征而得出该类对象中的全体具有或不具有这种特征的结论的方法为不完全归纳法。由不完全归纳法得出的结论不一定都是正确的，其正确性还需进一步证明。 （2）完全归纳法：考查某一类对象中的所有对象而得出了该类对象全体具有或不具有某种特征的结论的方法为完全归纳法。由完全归纳法得到的结论一定是正确的。数学归纳法是一种完全归纳法。 ②归纳、猜想与证明 从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法做出一般命题的猜想，然后从理论上证明（或否定）这种猜想，这个过程就是“归纳-猜想-证明”。 这类问题涉及的知识面很广，可以涵盖代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等，解题一般分三步进行：①验证p(1),p(2),p（3），p（4），···；②提出猜想；③用数学归纳法证明。 例3（2022·河南南阳高二期末）设正项数列的首项为4，满足。 （1）求，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想。 解：（1）由可得 又，则3=10, 猜想 （2）由（1）得, ①当n=1时，猜想显然成立； ②假设当时，猜想成立，即, 当n=k+1时， (3k+1)+3=3k+4=3(k+1)+1，猜想成立。 由①②知猜想恒成立，即 点评，归纳、猜想与证明的方法在数列中应用较多，当一个数列的通项公式不易求时，往往先求出前n项，再猜想出通项公式，并予以证明。 分层练习 基础达标 1．（知识点1）用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值应取（ ）。 A.2 B.3 C.5 D.6 2．（2022·陕西西安高二期末·知识点1）用数学归纳法证明等式1 ，要验证当n=1时等式成立， 其左边的式子应为（ ）。 A.-1 B.-1+3 C.-1+3-5 D.-1+3-5+7 3．（2022·安徽合肥八中检测·知识点2）一个关于自然数n的命题，如果证得当n=1时命题成立，并在假设当n=k(k≥1且时命题成立的基础上，证明了当n=k+2时命题成立，那么综合上述，对于（ ）。 A.一切正整数命题成立 B.一切正奇数命题成立 C.一切正偶数命题成立 D.以上都不对 4．（2022·上海七宝中学高二期中·知识点2）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n=1时，，不等式成立。（2）假设当n=k 时，不等式成立，即，则当n=k+1时，，所以n=k+1时，不等式成立。则上述证法（ ）。 A.过程全部正确 B.n=1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 5．（2022·广西河池高二阶段练习）用数学归纳法证明：为正整数）。 高考提升 6．（2022·甘肃庆阳高二期末·知识点1）用数学归纳法证明不等式的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边增加了（ ）。 A C. D. 7．（2022·江苏高二课时练习·知识点3）图4-4-2①是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图4-4-2②），其中，它可以形成近似的等角螺线。记的长度所组成的数列为。则数列的通项公式为 。 8．（2022·浙江绍兴期末·知识点1,2·能力点1）用数学归纳法证明“”，第一步应验证的等式是 ，从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的代数式是 。 9．已知n为正偶数，用数学归纳法证明“”时，第一步的验证为 ；若已假设n=k(k≥2且k为偶数）时等式成立， 则还需要用归纳假设证n= 时等式成立。 10．（2022·安徽亳州质检）用数学归纳法证明： 11．（2022·四川乐山教育科学研究所三模）从①② ③中任选一个填入下面的横线上（只填序号），并完成该题。 已知是数列的前n项和， 。 （1）求的通项公式； （2）证明：对一切能被3整除。 答案解析 基础达标 1.C【解析】n=4时，时，，故。故选C。 2.C【解析】由题意，当n=1时，左边=-1+，故选C。 3.B【解析】本题证明了当n=1,3,5,7,⋯时，命题成立，即命题对一切正奇数成立。故选B。 4.D【解析】在n=k+1时，没有应用n=k时的归纳假设。故选D。 5．①当n=1时，左边，右边 2×3=2，等式成立。 ②假设当时，等式成立，即 2），那么当n=k+1时， 1) 1))[(k+1)+1][(k+1)+2]。故当n=k+1时，等式也成立。 综上可知等式对任意正整数n都成立。 高考提升 6.D 【解析】当n=k时，左端，那么当n=k+1时，左端，故由k到k+1时不等式左端的变化是增加这两项，同时减少了这一项，即增加，故选D。 7.【解析】由题设， =。用数学归纳法证明，当n=1时，1，等式成立；假设当时，等式成立，即，则当n=k+1时，，即当n=k+1时，等式也成立。所以的通项公式为且。 8. 9．当n=2时，左边，右等式成立 k+2 【解析】对在n 为正偶数时，等式成立，用数学归纳法证明。归纳奠基：因为n为正偶数，则当n=2时，左边右边，等式成立；归纳假设：当n=k(k≥2且k为偶数）时，成立，由于n取所有正偶数，因此归纳推广的下一个数为n=k+2时，等式成立。 10．（1）当n=2时，左边右边因为，所以不等式成立。 （2）假设当时，不等式成立，即 则当n=k+1时，，所以当n=k+1时，不等式也成立。 根据（1）和（2）知，对任意n≥2,n∈N ，不等式均成立。 11．（1）若选①：因为，所以，两式相减得4，所以是隔项等差数列，公差为d=4。当n=1时，且，所以，所以为奇数），为偶数），所以 若选②：，所以，两式相减得，所以，所以。 当n=1时，，也成立，所以 若选③：因为所以,所以,即化简得因为，所以，所以2=0，所以又,所以，所以，所以, 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以 所以的通项公式0 （2）当n=1时，，能被3整除；假设当时，能被3整除，则有，所以3m+2，则当n=k+1时，，所以当n=k+1时，能被3整除。综上所述，对一切能被3整除。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4数学归纳法 知识点1 数学归纳法的概念 ① 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当时命题成立； （2）（归纳递推）以“当n=k(k∈时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法。用框图可表示： ② 两个步骤之间的关系 记P(n)是一个关于正整数n的命题。我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：为真；（2）若 ,k≥,为真，则P(k+1)也为真。 结论：P(n)为真。 在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当时结论成立，即命题为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k+1)也为真。 完成这两步，就有真，真······P(k)真，P(k+1)真······。从而完成证明。 概念辨析 （1）数学归纳法的两个步骤分别是数学归纳法的两个必要条件，二者缺一不可。步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证，这两个步骤缺一不可。如果缺少步骤（2），无法对当n取以后的数时的结论是否正确作出判断；如果缺少步骤（1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）就没有意义了。 （2）步骤（2）中，证明“当n=k+1时命题成立”的过程中，必须利用归纳假设，即必须用上“假设当时命题成立”这一条件。 （3）在步骤（2）的证明中，“当时命题成立”这一假设起着已知条件的作用，“当n=k+1时命题也成立”则是求证的目标，在这一步中，首先要凑出假设里给出的形式，再进一步凑出当n=k+1时的结论。 （4）用数学归纳法可证明有关正整数n的问题，但并不是所有的有关正整数n的问题都可以用数学归纳法来证明。例如用数学归纳法证明的单调性就难以实现。 例1-1（2022·辽宁高二期中）用数学归纳法证明 n>1)时，第一步应验证不等式（ ）。 A. B D. 例1-2（2022·东北师范附中模拟预测）用数学归纳法证明(a≠1)时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是（ ）。 例1-3（2022·河南南阳高二阶段练习）用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（ ）。 A.2 B.3 C.4 D.5 例1-4（2022·华东师大一附中高二期末）用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)⋅⋅，从k 到k+1左端需要增乘的代数式为（ ）。 A.2k+1 B.2(2k+1) C D. 知识点2 数学归纳法的基本思想 ① 基本思想 先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当 ）时，命题成立（这时命题是否成立不是确定的）。根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，命题都成立。 ② 注意三个要点 用数学归纳法证明关键在于“两个步骤要做到，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。因此必须注意以下三点： （1）验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数，这个就是我们要证明的命题对象的最小正整数，这个正整数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题。 （2）递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程，必须把归纳假设“”作为条件来导出“n=k+1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次。 （3）正确寻求递推关系 我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的，如何寻求递推关系呢？ ①在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的。 ②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置。 ③在书写f(k+1)时，一定要把包含f（k）的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项。除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚。 例2（2022·山西师大附中高二月考）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k+1成立时，总有f(k+1)≥k+2成立。则下列命题总成立的是（ ）。 A.若f(1)<2成立，则f(10)<11成立 B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k+1成立 C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k+1成立 知识点3 归纳、猜想与证明 ① 归纳法的分类 归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法，其特征是“特殊→一般”。 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法。 （1）不完全归纳法：考查某类对象中的一部分，由这一部分具有或不具有某种特征而得出该类对象中的全体具有或不具有这种特征的结论的方法为不完全归纳法。由不完全归纳法得出的结论不一定都是正确的，其正确性还需进一步证明。 （2）完全归纳法：考查某一类对象中的所有对象而得出了该类对象全体具有或不具有某种特征的结论的方法为完全归纳法。由完全归纳法得到的结论一定是正确的。数学归纳法是一种完全归纳法。 ②归纳、猜想与证明 从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法做出一般命题的猜想，然后从理论上证明（或否定）这种猜想，这个过程就是“归纳-猜想-证明”。 这类问题涉及的知识面很广，可以涵盖代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等，解题一般分三步进行：①验证p(1),p(2),p（3），p（4），···；②提出猜想；③用数学归纳法证明。 例3（2022·河南南阳高二期末）设正项数列的首项为4，满足。 （1）求，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想。 分层练习 基础达标 1．（知识点1）用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值应取（ ）。 A.2 B.3 C.5 D.6 2．（2022·陕西西安高二期末·知识点1）用数学归纳法证明等式1 ，要验证当n=1时等式成立， 其左边的式子应为（ ）。 A.-1 B.-1+3 C.-1+3-5 D.-1+3-5+7 3．（2022·安徽合肥八中检测·知识点2）一个关于自然数n的命题，如果证得当n=1时命题成立，并在假设当n=k(k≥1且时命题成立的基础上，证明了当n=k+2时命题成立，那么综合上述，对于（ ）。 A.一切正整数命题成立 B.一切正奇数命题成立 C.一切正偶数命题成立 D.以上都不对 4．（2022·上海七宝中学高二期中·知识点2）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n=1时，，不等式成立。（2）假设当n=k 时，不等式成立，即，则当n=k+1时，，所以n=k+1时，不等式成立。则上述证法（ ）。 A.过程全部正确 B.n=1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 5．（2022·广西河池高二阶段练习）用数学归纳法证明：为正整数）。 高考提升 6．（2022·甘肃庆阳高二期末·知识点1）用数学归纳法证明不等式的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边增加了（ ）。 A C. D. 7．（2022·江苏高二课时练习·知识点3）图4-4-2①是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图4-4-2②），其中，它可以形成近似的等角螺线。记的长度所组成的数列为。则数列的通项公式为 。 8．（2022·浙江绍兴期末·知识点1,2·能力点1）用数学归纳法证明“”，第一步应验证的等式是 ，从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的代数式是 。 9．已知n为正偶数，用数学归纳法证明“”时，第一步的验证为 ；若已假设n=k(k≥2且k为偶数）时等式成立， 则还需要用归纳假设证n= 时等式成立。 10．（2022·安徽亳州质检）用数学归纳法证明： 11．（2022·四川乐山教育科学研究所三模）从①② ③中任选一个填入下面的横线上（只填序号），并完成该题。 已知是数列的前n项和， 。 （1）求的通项公式； （2）证明：对一切能被3整除。 学科网（北京）股份有限公司 $$