上海市南汇中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

南汇中学2024学年第一学期高三年级数学月考 2024.12 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1．已知集合，，则________. 2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于第________象限 3．已知，则________. 4．在等比数列中，，，则的前5项和为________. 5．在中，角、、的对边分别为、、，若、、，则________. 6．已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则图中所代表的数值是________. 7．（为正整数）的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常数项为________． 8．已知圆与圆外切，则的最大值 为________. 9．已知函数，，若方程有两个不等实根，则实数的取值范围为________． 10．已知函数，若实数、满足，且，则________． 11．平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为________. 12．对于二元函数，表示先关于求最大值，再关于求最小值．已知平面内非零向量，，，满足：，，记，则________. 二、选择题（共有4题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第15、16题每题五分） 13．一组数据按从到大的顺序排列为2、4、、13．16．17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的40百分位数是（ ） A．4 B．4.5 C．9 D．5 14．设，则方程的解集为（） A． B． C． D． 15．设函数，其中是一个正整数，若对任意实数，均有 ，，则的最小值为（） A．6 B．7 C．8 D．9 16．焦点为的抛物线与圆交于、两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是圆与轴的交点，是坐标原点．有下面的四个命题，请选出所有正确的命题：________． ①对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；②对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；③对于任意，该曲线有且仅有一个内接正；④当时，存在面积大于2024的内接正． A．①②③ B．①②③④ C．①② D．②③④ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分． 小明从家到学校的上学的路上要经过3个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯的概率都是． （1）求小明在上学路上第一个路口未遇到红灯，而在第二个路口遇到红灯的概率； （2）求小明在上学路上至少遇到一次红灯的概率． 18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，已知圆锥底面圆的半径，直径与直径垂直，母线与底面所成的角为． （1）求圆锥的侧面积； （2）若为母线的中点，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）． 19．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数，，函数的图像关于轴对称． （1）求的值，并求函数的单调减区间； （2）当若存在，使等式成立，求实数的取值范围． 20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知椭圆过点，且的左焦点为，直线与交于、两点． （1）求椭圆的方程； （2）若，且点的坐标为，求直线的斜率； （3）若，其中为坐标原点，求面积的最大值． 21（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知函数，函数的导函数，且，其中为自然函数的函数． （1）求的极值； （2）若存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围； （3）当时，对于任意，求证： 参考答案 一、填空题 1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.； 11.平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为________. 【答案】 【解析】平行四边形中, 沿折成直二面角,将四边形折起成直二面角, 平面平面,三棱锥的外接球的直径为, 外接球的半径为1,故表面积是. 12.对于二元函数，表示先关于求最大值，再关于求最小值．已知平面内非零向量，，，满足：，，记，则________ 【答案】2 【解析】记,则表示在上的投影恰为在上的投影的两倍，即射线的斜率为.设. 记,则, 所以. 先让不变,变化,即点固定,点变化,那么, 其中,接着再让变化,即点变化,求的最小值. 因为,当且仅当时取得等号, 综上. 二、选择题 13.D； 14.D； 15.B； 16.A 15.设函数，其中是一个正整数，若对任意实数，均有 ，，则的最小值为（） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】函数 若对任意实数,均有 则函数的最小正周期，即，而，于是，即， 所以的最小值为7.故选B. 16.焦点为的抛物线与圆交于、两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是圆与轴的交点，是坐标原点．有下面的四个命题，请选出所有正确的命题：________． ①对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；②对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；③对于任意，该曲线有且仅有一个内接正；④当时，存在面积大于2024的内接正． A．①②③ B．①②③④ C．①② D．②③④ 【答案】A 【解析】抛物线与圆有两个公共点，需， 当变化时弧所对圆心角可以取到内的所有值， 存在,使得圆弧所对的圆心角, 也存在使得圆弧所对的圆心角,故①②正确; 对于③,为正三角形，则有,设， 若都在抛物线上时,有,所以有,,, 所以点两点关于经轴对称,同理可证,,两点在圆上时， 也可证明点两点关于经轴对称.由抛物线与圆的关于轴对称，不为圆的圆心， 所以不在一个点在抛物线上，一个在圆上的情况，于是轴,所以直线, 直线,与抛物线的交点为,当圆过该点时可得, 所以随着从1(取不到1)开始逐渐变到13时,在圆上,面积堕着的增大， 三角形的面积从(取不到)逐渐增大，增大到,当圆的半径大于13时, 均在抛物线上,正不再随着的变化而变化.所以面积不变.所以③正确，④不正确。故选A. 三、解答题 17.（1） （2） 18.（1） （2） 19.（1） （2） （3） 20.（1） （2） （3） 21.已知函数，函数的导函数，且，其中为自然函数的函数． （1）求的极值； （2）若存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围； （3）当时，对于任意，求证： 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】(1)函数的定义域为, 当时，,在上为增函数,没有极值; 当时,,若时,;若 存在极大值,且当时, 综上可知：当时，没有极值；当时，存在极大值, 且当时, (2)函数的导函数,又, ,使得不等式成立，，使得成立，令, 则问题可转化为:对于, 由于,当时, ,从而在上为减函数, (3)当时,,令 则,,且在上为增函数， 设的根为,则,即, 当时,在上为减函数; 当时,在上为增函数, 由于在上为增函数, 学科网（北京）股份有限公司 $$