精品解析：江苏省南京市职业学校综合高中2024-2025学年高二上学期期末统考数学试题

南京市职业学校2024～2025学年度第一学期期末统考试卷 2023级综合高中《数学》试卷 2025．01 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷包含选择题（第1题～第10题，共10题）、非选择题（第11第̃23题，共13题）两部分．本试卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再涂选其他答案．作答非选择题，必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 4．如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 第Ⅰ卷（共40分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请将答题卡上对应项的方框涂满、涂黑） 1. 已知集合，集合，若，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 4. 若抛物线（）过点，则点到该抛物线的焦点的距离为是（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 5. 某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名队员参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知正方体的体积为64，为的中点，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 目前甲型流感肆虐我市，市某医院发热门诊有五项不同的工作需要医生参加，甲、乙两名医生都从这五项工作中任选了两项工作，其中恰有一项工作相同的参与方式有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 60种 D. 72种 8. 已知直线l过抛物线的焦点，且与双曲线的一条渐近线（倾斜角为锐角）平行，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若将函数，（）的图象向左平移个单位长度，平移后的图像关于原点呈中心对称，则（ ） A. 0 B. C. D. 10. 已知函数在上存在最小值，则字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共20分） 11. 函数的定义域为______． 12. 首项为负数的等比数列，若，是二次方程的两个根，则______ 13. 若底面半径为，高为的圆锥的体积与一个球的体积相等，则该球的表面积为______． 14. 已知，则______． 15. 设，为椭圆上的两个焦点，点为椭圆上一点，已知，，是一个直角三角形的三个顶点，且，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明及证明过程） 16. 已知，，，求： （1）与的值； （2）的值． 17. 已知是一次函数，且满足. （1）求函数的解析式； （2）求时，函数的值域. 18. 2024年12月某中专校组织开展红色教育主题班会活动，23级机电班共准备了7个节目，其中包括2个唱歌节目，3个舞蹈节目，2个诗歌朗诵节目，考虑到演出效果，需要编排出一个节目演出单，求满足下列条件的节目演出单的方法种数. （1）1个唱歌节目开场，另1个歌唱节目压轴； （2）2个诗歌朗诵节目不相邻； （3）2个歌唱节目相邻且3个舞蹈节目互不相邻. 19. 已知函数． （1）求函数的周期及单调增区间； （2）求当时，函数的最大值及对应的值． 20. 如图所示，三棱柱的两个底面三角形是全等的等边三角形，且边长为，侧棱与底面垂直，与底面所成角为，D是的中点． （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积． 21. 已知数列是等差数列，其前项和为，满足，，数列的前项和满足． （1）求使得数列的前项和的最大正整数的值； （2）证明：数列为等比数列； （3）已知三点，，，（），满足点是线段的中点，求数列的前项和． 22. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足， （1）求的面积； （2）若，求的值. 23. 已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为，且离心率为，直线交椭圆于A，B两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点平分线段，求直线l的方程； （3）若直线l的斜率，且A，B两点满足，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市职业学校2024～2025学年度第一学期期末统考试卷 2023级综合高中《数学》试卷 2025．01 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷包含选择题（第1题～第10题，共10题）、非选择题（第11第̃23题，共13题）两部分．本试卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再涂选其他答案．作答非选择题，必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 4．如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 第Ⅰ卷（共40分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请将答题卡上对应项的方框涂满、涂黑） 1. 已知集合，集合，若，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的运算性质进行求解即可. 【详解】， ,即， 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据推出关系易得答案. 【详解】因为, 所以;不能推出, 所以是的充分不必要条件. 故选:A. 3. 已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先用等差数列的通项公式表示出，，再由等比中项的概念列方程求解即可. 【详解】已知等差数列的公差为2， 则，， 又，，成等比数列， 所以，即， 整理得，解得， 所以， 故选：B. 4. 若抛物线（）过点，则点到该抛物线的焦点的距离为是（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线（）过点即可求其标准方程，再根据题意即可求解. 【详解】因为抛物线（）过点，即，解得. 此时抛物线的准线为，点到该抛物线的焦点的距离等于点到该抛物线的准线的距离，即. 故选：B. 5. 某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名队员参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】运用组合数计算从剩下的名选手中选个的选法的种数即可. 【详解】已知乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手， 则有名不是种子选手， 现在挑选5名队员参加比赛，种子选手都必须在内， 则需从剩下的名选手中选名选手共有种选法， 故选：C. 6. 已知正方体的体积为64，为的中点，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据题意可知面，从而得知即为与平面所成角即可求解. 【详解】连接AE，如图： 因为正方体体积为64， 所以正方体边长为. 因为在正方体中，平面， 所以即为与平面所成角. 因为，为的中点， 所以， 所以. 因为平面， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 7. 目前甲型流感肆虐我市，市某医院发热门诊有五项不同的工作需要医生参加，甲、乙两名医生都从这五项工作中任选了两项工作，其中恰有一项工作相同的参与方式有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 60种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，先选择两人相同的工作，再分别选择两人不同的工作计算即可求解. 【详解】根据分步乘法计数原理， 第一步，选择一项相同的工作，有5种选法； 第二步，甲医生选择剩下的一项工作，有4种选法； 第三步，乙医生选择除甲医生选择过的工作之外的一项工作，有3种选法， 所以恰有一项工作相同的参与方式有种. 故选：C. 8. 已知直线l过抛物线的焦点，且与双曲线的一条渐近线（倾斜角为锐角）平行，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，根据直线l过抛物线的焦点，且与双曲线的一条渐近线（倾斜角为锐角）平行可知直线l过点且斜率为，即可写出直线l的点斜式方程. 【详解】因为直线l过抛物线的焦点，即抛物线为， 所以直线l过点. 因为双曲线，即， 所以双曲线的， 所以双曲线的渐近线为， 因为直线l与双曲线的一条渐近线（倾斜角为锐角）平行， 所以直线l与平行， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即. 故选：D. 9. 若将函数，（）的图象向左平移个单位长度，平移后的图像关于原点呈中心对称，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象和性质分析求解即可. 【详解】将函数图象向左平移个单位长度后， 其解析式为， 又因为平移后的图像关于原点呈中心对称， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 因此， 故选：B. 10. 已知函数在上存在最小值，则字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数分类讨论，结合二次函数的单调性和指数函数的单调性，可得的范围，由题意即可得到所求的范围. 【详解】当时，， 即当时，取得最小值； 当时，递增， 可得， 由题意可得，解得， 即字母的取值范围是. 故选：A. 二、填空题（本大题共5小题，共20分） 11. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据0和负数无对数列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则必须有，即， 解得或， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 12. 首项为负数的等比数列，若，是二次方程的两个根，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理和等比数列的性质即可求解. 【详解】因为，是二次方程的两个根， 所以根据韦达定理可得： ， 因为是等比数列，， 因为数列首项为负数，所以由等比数列的性质，可知， 所以. 故答案为：. 13. 若底面半径为，高为的圆锥的体积与一个球的体积相等，则该球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题给信息可以求出圆锥的体积，从而求出球的半径，最终求出球的表面积. 【详解】因为圆锥的底面半径为，高为， 所以圆锥的体积为， 因为圆锥的体积与一个球的体积相等， 所以该球的半径为， 所以该球的表面积为. 故答案为：. 14. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据和、差角的正切公式将化简得到，再利用同角三角函数间的基本关系将转化为，并将原式分子分母除以，化简后把的值代入计算即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得，显然， 所以. 故答案为：. 15. 设，为椭圆上的两个焦点，点为椭圆上一点，已知，，是一个直角三角形的三个顶点，且，则的值为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据椭圆的方程确定的值，由题意可知轴，或，由此进行分类讨论，得出的值即可. 【详解】由椭圆可得，， 即， ∵，为椭圆上的两个焦点， 则，， 已知，，是一个直角三角形的三个顶点，且， 则当轴时，点横坐标为，代入椭圆方程中得， 解得，所以， 所以； 当时，设， 则有，即， 整理得，解得或， 因为，即， 所以，即， 所以， 故答案为：2或. 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明及证明过程） 16. 已知，，，求： （1）与的值； （2）的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式即可求出. （2）利用两角差的余弦公式即可求出. 【小问1详解】 解：由题意可知：，，， ． 【小问2详解】 由题意可知：，， ，， ，解得： ． 17. 已知是一次函数，且满足. （1）求函数的解析式； （2）求时，函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设一次函数，将代入求解即可. （2）首先得出，再根据二次函数的单调性确定最值即可. 【小问1详解】 设一次函数， ，， ，即，解得， . 【小问2详解】 已知， 则， 对称轴为，且，图象开口向上， 当时，在为减函数，在时为增函数， 所以当时，函数取得最小值，， 且， 所以当时，函数取得最大值， 函数的值域为. 18. 2024年12月某中专校组织开展红色教育主题班会活动，23级机电班共准备了7个节目，其中包括2个唱歌节目，3个舞蹈节目，2个诗歌朗诵节目，考虑到演出效果，需要编排出一个节目演出单，求满足下列条件的节目演出单的方法种数. （1）1个唱歌节目开场，另1个歌唱节目压轴； （2）2个诗歌朗诵节目不相邻； （3）2个歌唱节目相邻且3个舞蹈节目互不相邻. 【答案】（1）240. （2）3600. （3）288. 【解析】 【分析】（1）根据题意先排列唱歌节目有种，之后其他位置无要求，就为5个节目全排列即可得解. （2）2个唱歌节目不相邻，对其他的节目位置没有要求，用插空法,计算即可. （3）根据题意运用捆绑法与插空法即可得解. 【小问1详解】 先排唱歌节目，有种排法，再排其他节目，有种排法，所以共有种排法. 【小问2详解】 因为2个诗歌朗诵节目不相邻， 先排3个舞蹈节目和2个诗歌朗诵节目，有种排法， 再从其中6个空档中选2个排唱歌节目，有种插入方法， 所以共有种排法. 【小问3详解】 因为2个歌唱节目相邻， 所以采用捆绑法，把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，这2个唱歌节目有种排列方法， 相邻的2个歌唱节目与2个诗歌朗诵节目排列，共有种排法， 因为已排好的节目有4个空挡，再从其中4个空档（包括两端）中把3个舞蹈节目插入，共有种插入法， 由分步乘法计数原理，符合要求的排法共有种. 19. 已知函数． （1）求函数的周期及单调增区间； （2）求当时，函数的最大值及对应的值． 【答案】（1），， （2）最大值为，此时 【解析】 【分析】(1)利用二倍角公式、降幂公式以及辅助角公式化简函数，然后利用三角函数求周期以及单调区间的方法即可求解. (2)采用换元法和正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ， 故函数的周期为， 当时，函数单调递增， 解得 所以单调增区间为， 【小问2详解】 令，，则，， 由正弦函数性质可知，当时时，取得最大值， 故， 此时，解得. 20. 如图所示，三棱柱的两个底面三角形是全等的等边三角形，且边长为，侧棱与底面垂直，与底面所成角为，D是的中点． （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）利用线面平行性质定理即可得证. （2）先证出平面，可得为所求四棱锥的高，再根据棱锥体积公式即可求解. 【小问1详解】 连接，设，连接， 因为三棱柱中是平行四边形，所以是中点， 又为中点，所以为的中位线，即. 因为平面，平面， 所以平面， 【小问2详解】 连接，由题知为边长为2的等边三角形， 所以，， 因为为中点，所以，，， 因为三棱柱的侧棱与底面垂直， 所以平面，平面，故， 因为，平面，平面， 所以平面，即为四棱锥的高. 又与底面所成角为，平面，得到. 故， 所以， 所以. 21. 已知数列是等差数列，其前项和为，满足，，数列的前项和满足． （1）求使得数列的前项和的最大正整数的值； （2）证明：数列为等比数列； （3）已知三点，，，（），满足点是线段的中点，求数列的前项和． 【答案】（1）9 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)由等差数列的前n项和公式即可求解. (2)由等比数列的定义即可证明. (3)先求出数列的通项公式，再用分组求和即可求解. 【小问1详解】 由题意知：数列是等差数列， ，，公差， ， 由解得：， 又因为，. 【小问2详解】 当时，，即， 当，时， ， 即：， 又因为，所以数列的各项均不为0， ，（，）， 数列是首项为，公比为的等比数列. 【小问3详解】 由题意知：点是线段的中点， ，即：， ． 22. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足， （1）求的面积； （2）若，求的值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的内积运算，三角函数中的倍角公式、同角三角函数的基本关系式和三角形的面积公式求解； （2）根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，角A为向量和向量的夹角， 为，为，所以，即， 因为，所以，所以， 所以的面积. 【小问2详解】 因为，，所以， 即，因为， 所以，即，因为，所以. 23. 已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为，且离心率为，直线交椭圆于A，B两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点平分线段，求直线l的方程； （3）若直线l的斜率，且A，B两点满足，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义及题意列出方程组并求解即可求出椭圆的标准方程. （2）设，，并将其带入到椭圆方程中并做差，再根据为中点，得到，，将所得式子代入上述式子中，即可得到直线l的斜率，再将M点代入即可求解. （3）联立直线l的方程与椭圆方程，根据韦达定理得到，，再根据得到，又因为，可得，最后根据点到直线的距离公式求出的高，从而求出的面积. 【小问1详解】 由椭圆的定义及题意可知，， 解得， 所以椭圆标准方程为 【小问2详解】 因为直线交椭圆于A，B两点， 由题可知，点是线段的中点， 设，， 所以，①. 因为A，B为椭圆上的点， 所以将，代入得， 两式做差得：， 将①带入上式得：，即. 又因为点在直线l上， 所以， 解得， 所以直线l方程为：，即. 【小问3详解】 因为直线交椭圆于A，B两点， 设，， 联立方程， 整理得. 因为直线与椭圆有两个交点， 所以 所以，是上述方程的两个根， 由韦达定理，则，， 所以， 因为， 所以. 因为A，B为椭圆上的点， 所以将，代入得， 所以，， 所以， 所以， 所以， 整理得，， 又因为， 所以，即， 因为原点O到直线的距离为， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $