5.3实际问题与一元一次方程 课件2024-2025学年人教版数学七年级上册

实际问题与一元一次方程 列方程解应用题，必须根据实际意义检验解的合理性。 知识点一：列一元一次方程解应用题的一般步骤： (1)审题，分析题目中已知什么，未知什么，寻找等量关系； (2)设未知数，一般是求什么设什么为未知数x，但有时也可以间接 设未知数； (3)列方程，借助等量关系，列出方程； (4)解方程； (5)检验，看方程的解是否符合题意； (6)答，写出结果。 知识点二：常见列一元一次方程解应用题的一些类型 1、日历问题 【知识点】 日历中每一竖列相邻两个数字之间相差 ； 日历中每一横行相邻两个数字之间相差 。 日历中，一般设中间数字为x，可得右图。 例1、某校老师十一假期外出考察4天，已知这四天的日期之和为42。则他们是几号出发的？ 7 1 例2、将连续的奇数1、3、5、7、9……，排成如下的数表： (1)十字框中的五个数的平均数与15有什么关系? (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能 等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由。 2、数字问题 【知识点】 (1)如果个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c。 (2)一般情况下， 则：两位数表示为10b+a；三位数表示为100c+10b+a. 三个连续的自然数表示为：n-1， n， n+1； 三个连续的偶数表示为：2n-2，2n，2n+2； 三个连续的奇数表示为：2n-1，2n+1，2n+3。 例3、一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是13，如果原来的数 加上27等于十位上的数字与个位上的数字对调后的两位数。求原来的 两位数。 3、和、差、倍、分问题 【知识点】 增长量 = 原有量 × 增长率 例4、某公司今年员工人均收入比去年提高20%，且今年人均收入比去年的1.5倍 少了1200元，求去年的人均收入。 现有量 = 原有量 + 增长量 若甲乙的比为2∶3，一般设甲为2x，乙为3x。 例5、一个足球由黑白两种皮子缝制而成共32块，已知黑白皮子数的比为3:5；求 黑白两种皮子各多少块？ 4、等积变形问题 【知识点】 “等积变形”即形状发生改变而体积不变。 常用的等量关系是： 常见体积公式： (2) 原料体积 = 成品体积。 (1) 形状变了，周长没变； (2)长方体体积V = 长 × 宽 × 高 = abc。 (1)圆柱体体积V = 底面积 × 高 = s·h = πr2·h 例6、要锻造一个直径为8cm，高为4cm的圆柱形毛坯，应截取直径为4cm的圆钢 多长？ 5、利润率问题 进价：购进商品时的价格，也称成本价 售价：在销售商品时的售出价 标价：在销售商品时标出的价格，也称原价 利润：在销售商品过程中的纯收入 利润率：利润占成本的百分比. 利润 = 售价 - 成本 销售总额 = 售价 × 销量 售价 = 原价 × 折扣率 售价 = (1 + 利润率) × 成本 (折扣率：商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打八折出售，即按原价的80%出售) 练习： (1)一件衣服的进价为x元，售价为60元，利润是 元 利润率是 ； 变式：一件衣服的进价为x元，若要利润率是20%，应把售价定为 。 (2)一件衣服的进价为x元，售价为80元，若按原价的8折出售，利润是元，利润 率是 ； 变式1：一件衣服的进价为60元，若按原价的8折出售获利20元，则原价是 元，利润率是 。 变式2：一台电视售价为1100元，利润率为10%。则这台电视的进价为 元。 例7、商店对某种商品进行调价，按标价的8折出售，此时商品的利润 率是10%，此商品进价是1600元。求商品的标价是多少元？ 6、银行储蓄问题 【知识点】 利息 = 本金 × 利率 × 期数 本息和 = 本金 + 利息 例8、某企业申请了甲、乙两种不同用途的货款20万元,甲种存款的年利率为5.5%，乙种存款的年利率为4.5%，该企业一年可获得利息9500元，求甲、乙 两种货款的钱数？ 例9、爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄(3年期的年利率为2.7%)，3年后 能取5405元，那么刚开始他存入了多少元? 7、行程问题 【知识点】 路程 = 速度 × 时间， (1)相遇问题(相向而行)： (2)追及问题(同向而行)： (3)环形跑道的相遇和追及问题： ① 同地反向而行： ② 同地同向而行： (4)航行问题： ① 顺水速度 = 船在静水中的速度 + 水流的速度； ② 逆水速度 = 船在静水中的速度 - 水流的速度。 (5)飞行问题： ① 顺风速度 = 无风速度 + 风速； ② 逆风速度 = 无风速度 - 风速。 两人的路程之和等于总路程； 两人的路程差等于追及的路程； 两人的路程之和等于一圈的路程； 两人所走的路程之差等于一圈的路程。 时间 = 路程 ÷ 速度， 速度 = 路程 ÷ 时间 例10、从甲地到乙地，公共汽车原需行驶7个小时，开通高速公路后，车速 平均每小时增加了20千米，只需5个小时即可到达，求甲、乙两地的路程？ 例11、一轮船往返A、B两港之间，逆水航行需3时，顺水航行需2时，水流 速度是3千米/时，则轮船在静水中的速度是多少? 解：设甲乙两地的路程为x千米，由题意得： 解方程，得： x=350 答：甲乙两地的路程为350千米。 例12、一队学生去学校外进行军事训练，他们以每小时5千米的速度行进走了18分钟，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以 每小时14千米的速度按原路追上去，通讯员需要多少时间可以追上学生队伍？ 例13、甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B地到A地，两人均匀速前进。 已知两人上午8时间时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时， 两人又相距36千米，求A、B两地之间的距离。 8、工程问题 【知识点】 工作总量 = 工作时间 × 工作效率 合作的效率 = 各单独做的效率之和 当题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。 练习： (1)甲每天生产某种零件80个，3天能生产 个零件； (2)甲每天生产某种零件80个，乙每天生产某种零件x个，他们5天一共生产 个零件； (3)甲每天生产某种零件80个，乙每天生产这种零件x个，甲生产3天后，乙 也加入生产同一种零件，再经过5天，两人共生产 ； (4)一项工程甲独做需6天完成，甲独做一天可完成这项工程 ；若乙独做 比甲快2天完成，则乙独做一天可完成这项工程的 。 240 5(80+x) (640+5x) 4 1 6 1 例14、一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙 合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成。问乙还要几天才能 完成全部工程？ 解：设乙还要x天才能完成全部工程，由题意得： 解方程，得： 答：乙还要 天才能完成这项工程。 例15、一项工程，甲单独完成需要9天，乙单独完成需12天，丙单独完成要 15天，若甲、丙先做3天后，甲因故离开，由乙接替甲的工作，问还需多少 天能完成这项工程的？ 解：设还需要x天才能完成这项工程，由题意得： 解方程，得： 答：还需要 天能完成这项工程。 9、劳动调配问题 【常见类型】 (1)既有调入又有调出； (2)只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； (3)只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。 例16、学校组织植树活动,已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人， 现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍多3人，应调往甲、乙两处各多少人？ 解：设调往甲处x人，则调往乙处(20-x)人，由题意得： 解方程，得： 答：应调往甲处18人，调往乙处2人。 x=18 23+x=2(17+20-x)+3 20-x=2 因此 例17、甲队人数是乙队人数的2倍，从甲队调12入到乙队，这时甲队人数比 乙队人数的一半多3人，求甲队原来的人数。 解：设甲队原来的人数为x人，由题意得： 解方程，得： 答：还需要28天能完成这项工程。 x=28 10、鸡兔同笼类问题 鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一，出自《孙子算经》。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这 四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从 下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？ 解：设笼中有鸡x只，则有兔(35-x)只，由题意得： 解方程，得： 答：笼中有鸡23只，有兔12只。 x=23 2x+4(35-x)=94 35-x=12 因此 例18、机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮 10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工 大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 例19、某中学组织同学们春游,如果每辆车座45人,有15人没座位,如果每辆 车坐60人,那么空出一辆车,其余车刚好座满,问有几辆车,有多少同学？ 11、年龄问题 【问题关键】：两人年龄差始终不变。 例20、现在儿子的年龄是8岁，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，多少年后父亲 的年龄是儿子年龄的3倍？ 12、分段收费问题 【问题关键】：确定被求解的量，处于哪一个范围内。 例21、某航空公司规定： 一名乘客最多可免费携带20kg的行李，超过部分 每千克按飞机票价的1.5%购买行李票，一名乘客带了35kg的行李乘机，机 票连同行李票共计1323元，求这名乘客的机票价格。 例22、为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司对每户月用水量进行计费，每户每月用水量在规定吨数以下的收费标准相同；规定吨数以上的超过部分收费标准相同，以下是小明家1～4月份用水量和交费情况： 根据表格中提供的信息，回答以下问题： (1)求出规定吨数和两种收费标准； 根据表格中提供的信息，回答以下问题： (2)若小明家5月份用水20吨，则应缴多少元？ 例22、为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司对每户月用水量进行计费，每户每月用水量在规定吨数以下的收费标准相同；规定吨数以上的超过部分收费标准相同，以下是小明家1～4月份用水量和交费情况： 根据表格中提供的信息，回答以下问题： (3)若小明家6月份缴水费29元，则6月份用水赛少吨？ 例22、为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司对每户月用水量进行计费，每户每月用水量在规定吨数以下的收费标准相同；规定吨数以上的超过部分收费标准相同，以下是小明家1～4月份用水量和交费情况： $$