精品解析：江苏省苏州市职业学校2024-2025学年高三上学期单招期末调研测试数学试题

2024-2025学年苏州市职业学校三年级单招期末调研测试卷 数学试卷 2025．1 试卷共4页；满分150分．考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的运算性质进行求解即可. 【详解】, ， . 故选：C. 2. 命题，命题，则命题是命题的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式，可将用集合表示，由绝对值的几何意义，可将用集合表示，再根据充要条件的概念可得结果. 【详解】由可得，解得或，即可表示为或， 由可得，即可表示为， 所以，但，所以命题是命题的必要不充分条件. 故选：A. 3. 已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数式形式的乘除运算化简已知等式，代入复数模的计算公式即可得解. 【详解】因为复数满足，则， 所以，， 故选：. 4. 已知非零向量，若，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量垂直将已知等式进行还见，代入平面向量内积公式求出夹角余弦值即可. 【详解】因为，则， 由得：， 设与的夹角为，则， 所以. 故选：C. 5. 已知圆锥的一条母线的中点与圆锥底面圆的圆心间的距离为2，母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆锥体的几何特征及圆锥的体积公式即可求解. 【详解】因为圆锥的一条母线的中点与圆锥底面圆的圆心间的距离为2，可知母线长的一半是2，即母线长为4， 因为母线与底面所成的角为，所以母线长为底面圆的半径的两倍，圆锥的高为底面圆的半径的倍； 所以底面圆的半径为2，则高为. 圆锥的体积为. 故选：A. 6. 某高中安排4名同学（不同姓）到甲、乙、丙3个小区参加垃圾分类宣传活动，若每名同学只去一个小区，每个小区至少安排1名同学，其中张同学不去乙小区，则不同的分配方案种数为（ ） A. 36 B. 24 C. 48 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由排列组合数公式，对于张同学单独研究，分类讨论即可. 【详解】4名同学到3个小区，每个小区至少安排1名同学，应分为2，1，1三组， 其中张同学需要单独研究. 第一种情况，由于张同学不去乙小区，因此张同学自己去一个小区的情况有种. 其余三人分为两组，分别有1人和2人，有种情况. 此时，有种分配方案. 第二种情况，张同学与另一位同学到同一个小区，有种情况. 其余两位同学分为两组，每组一人，有种. 此时，共有种分配方案. 因此一共有种分配方案. 故选：B. 7. 已知直线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线平行，若过抛物线的焦点，则的值为（ ） A. 12 B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出左焦点和渐近线，再根据左焦点和渐近线的斜率易得直线方程，由过抛物线的焦点易得答案. 【详解】因为双曲线， 所以， 所以， 所以左焦点为，渐近线方程为， 所以过左焦点且与双曲线的一条渐近线平行且过抛物线的焦点的直线的斜率， 所以直线的方程为， 抛物线的焦点为， 因为直线过， 所以. 故选：D. 8. 函数的图像与轴正半轴两交点之间的最小距离为，若要将函数的图像向左平移个单位得到的图像，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，易得函数的最小正周期，继而求得，得到函数的解析式，根据正弦型函数图像的变换规律，即可得到函数的解析式，结合正弦函数的单调增区间，即可求解． 【详解】因为函数的图像与轴正半轴两交点之间的最小距离为， 所以函数的最小正周期为， 所以，即， 所以， 将函数的图像向左平移个单位得， 令， 解得， 即的单调递增区间为. 故选：C. 9. 定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由奇函数定义和得到函数的单调性，进而分类讨论和，求解不等式. 【详解】不妨设，可得， 已知，则， 由此可得，函数在上单调递增， 函数是定义在上的奇函数，在上单调递增， 则在上单调递增，，. 对于不等式， 当时，已知在上单调递增，， 即求不等式，解得， 当时，已知在上单调递增，， 即求不等式，解得， 综上所述，不等式的解集为， 故选：D. 10. 对于函数，若，满足，则称，为函数的一对“类指数”．若正实数与为函数的一对“类指数”，的最小值为18，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由“类指数”的定义可得，变形可得，结合基本不等式的性质求出的最小值，可得关于k的方程，计算可得答案. 【详解】根据题意，正实数与为函数的一对“类指数”， 则，变形可得， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 因为的最小值为18， 所以，解得. 故选：A. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填写在题中横线上） 11. 已知的展开式的所有项系数之和为，则展开式中含的项的系数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】代入，求出的展开式的所有项系数之和，解得的值.再由二项式定理，解出含的项的系数. 【详解】令，可得到的展开式的所有项系数之和为. 由，可解得.从而原式应为. 因此含的项的系数为. 故答案为：. 12. 已知等比数列的前项和为，若，，则_____． 【答案】448 【解析】 【分析】根据等比数列片段和的性质，结合题意，代入即可求解． 【详解】因为等比数列中，，， 即, 又构成等比数列，公比为, 所以, 即． 故答案为：448． 13. 直线截圆的弦为，当取最小值时的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据圆的性质和弦长公式即可得解. 【详解】因为直线恒过点， 且由圆可得， 将点代入得， 所以点在圆内，若圆心为， 则当时，圆心到直线的距离最大，弦长最小， 此时，则， 即，解得， 故答案为：1. 14. 已知为第二象限角，且满足，则___ 【答案】## 【解析】 【分析】根据为第二象限角得到，利用同角三角函数关系式化简得到 的值，两边平方得到，再由诱导公式化简可得答案. 【详解】因为为第二象限角，所以， ， 所以，两边平方可得， 则. 故答案为：. 15. 设函数，即表示函数，中的较大者．已知函数，若的值域为，则_____． 【答案】3或 【解析】 【分析】根据新定义和新函数的值域，确定二次函数的取值，待定系数法即可求出. 【详解】函数的值域为，且为偶函数，图象为V字形， 而的值域为，结合二次函数图象特点和定义知， 当两图象相交时取图象在上方的部分为新函数的图象， 所以图象交点处取到函数最小值. 当时，解得或. 代入有：或， 解得或. 所以答案为：3或. 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知函数的定义域为． （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的真数大于零，偶次根式的被开方数为非负数，列不等式组可求解. （2）利用指数函数的单调性，解不等式可得集合B，再根据交集的概念及运算可求解. 【小问1详解】 要使函数有意义，则满足 ，解得， 所以函数的定义域为，即． 【小问2详解】 根据指数函数的单调性， 集合 又因为，， 所以，即， 故实数的取值范围． 17. 已知二次函数的最大值为，且． （1）求的解析式； （2）若在区间上的最大值为，求实数的值． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）由已知先确定二次函数图象的对称轴，结合最值先设出函数解析式，代入点的坐标可求； （2）结合二次函数对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论可求. 【小问1详解】 由，可知函数的对称轴为， 又函数的最大值为， 设，， 因为，所以，， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，函数图像开口向下，对称轴， 当，即时，函数在区间上单调递增， 所以时，函数取得最大值， 解得或（舍）； 当时，函数在区间上单调递减， 所以时，函数取得最大值， 解得或（舍）； 当，即时，时， 函数取得最大值（不符合题意）， 综上或． 18. 如图，四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧棱长相等均为4，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行. （2）先找到异面直线的角，根据棱锥的结构和余弦定理求得各边，再根据余弦定理求解. 【小问1详解】 连接交点，连接， 底面是边长为2的正方形，即是的中点，又为棱的中点， 在中，， 因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由（1）可知异面直线与所成角为， 因为底面是边长为2的正方形，侧棱长相等均为4， 所以，， 取的中点，连接，， 在中，， 在中，． 所以异面直线与所成角的余弦值为． 19. 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校3000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“及格”、“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示． 等级 不及格 及格 良好 优秀 得分 频数 6 24 （1）求，，的值； （2）试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数； （3）已知采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训；现再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中有1人为“优秀”的概率． 【答案】（1），， （2）600 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率的计算方法，计算出的频率，再依据频数与频率、样本容量的关系和频率与组距的计算方法即可求解. （2）根据概率的计算公式即可求解. （3）根据分层抽样的原理和概率的定义即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，得分在的频率为， 再由内的频数6，可知抽取的学生答卷数为60人， 则，得； 又由频率分布直方图可知，得分在的频率为0.2，即， 解得，． 进而求得． （2）由频率分布直方图可知，得分在的频率为0.2， 由频率估计概率，可估计从全校答卷中任取一份，抽到“优秀”的概率为0.2， 设该校测试评定为“优秀”的学生人数为，则，解得， 所以该校测试评定为“优秀”的学生人数约为600． （3）“良好”与“优秀”的人数比例为， 故选取的6人中“良好”有4人，“优秀”有2人， “良好”抽取4人，记为，，，，“优秀”抽取2人，记为，， 则从这6人中任取2人，所有基本事件如下： ，，，，，，，，，，，，，，共15个， 事件A：“所抽取的2人中有1人为‘优秀’”含有8个基本事件， 所以所求概率． 20. 某机床厂2024年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用．计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元；该机床使用后，每年的总收入为50万元．设使用年后数控机床的盈利额为万元． （1）写出与之间的函数关系式； （2）使用若干年后，对机床的处理方案有两种： 方案一：当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床； 方案二：当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床； 请你研究一下哪种方案处理较为合理?并说明理由． 【答案】（1） （2）方案一较为合理，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先根据每年的维修费用为等差数列，根据等差数列的求和公式得到总成本，建立函数关系式. （2）按照各方案建立函数，计算各方案的最大值，比较即可求解. 【小问1详解】 由题意可知：每年所需的保养维修费用成等差数列，首项为12，公差为4，故使用年后总的维修费为， 得到盈利额为. 【小问2详解】 方案一：， ，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故到2031年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利（万元）. 方案二：， 当时，有最大值102， 故到2034年，盈利额达到最大值，工厂共获利（万元）， 两种盈利额达到的最大值相同，而方案一所用的时间较短，故方案一较为合理． 21. 已知，，且. （1）将表示成的函数，并求的最小正周期； （2）记的最大值为，、、分别为的三个内角、、对应的边长，若，且，求的最大值. 【答案】（1），最小正周期为. （2）4. 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合二倍角公式及两角和差的正弦公式进行化简得到，再代入最小正周期公式即可得解； （2）由（1）求出值，根据题意求出的值，利用余弦定理及基本不等式即可得解. 【小问1详解】 因为，， 由得， 即， 所以， 又， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 由（1）可知，所以的最大值为，即， 于是由，即， 因为为三角形的内角，故，解得， 由余弦定理，得， 则，当且仅当时取等号，的最大值为4. 22. 已知数列和，其中的前项和为，且，． （1）分别求出数列和的通项公式； （2）记，求证：． 【答案】（1）， ； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据，求得的通项公式，从而得解； （2）根据题意利用错位相减法求即可得证. 【小问1详解】 当时，，所以， 时，①，②， ①-②得， 即， 所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 则③，④， ④-③，得 ， 因为，，所以． 23. 已知椭圆和直线，椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）已知定点，若直线与椭圆相交于，两点，试判断是否存在实数，使以为直径的圆过定点?若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式结合点到直线的距离公式列方程求解即可. （2）假设存在实数，使以为直径的圆过定点，联立椭圆与直线的方程组，设，根据韦达定理得出，再由向量内积的坐标表示代入计算即可. 【小问1详解】 已知直线，得直线方程为， 又由离心率，坐标原点到直线的距离为， 可得，，即，又， 得，且， 解得，， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 假设存在实数，使以为直径的圆过定点， 联立，得， ，或①， 设，则②， 而， 要使以为直径的圆过点，当且仅当，故， 则， ③， 将②代入③得， 即， 解得，经验证使得①成立， 综上可知，存在使得以为直径的圆过点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年苏州市职业学校三年级单招期末调研测试卷 数学试卷 2025．1 试卷共4页；满分150分．考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，命题，则命题是命题的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知非零向量，若，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的一条母线的中点与圆锥底面圆的圆心间的距离为2，母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 某高中安排4名同学（不同姓）到甲、乙、丙3个小区参加垃圾分类宣传活动，若每名同学只去一个小区，每个小区至少安排1名同学，其中张同学不去乙小区，则不同的分配方案种数为（ ） A. 36 B. 24 C. 48 D. 12 7. 已知直线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线平行，若过抛物线的焦点，则的值为（ ） A. 12 B. C. 2 D. 4 8. 函数的图像与轴正半轴两交点之间的最小距离为，若要将函数的图像向左平移个单位得到的图像，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 9. 定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，若，满足，则称，为函数的一对“类指数”．若正实数与为函数的一对“类指数”，的最小值为18，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填写在题中横线上） 11. 已知的展开式的所有项系数之和为，则展开式中含的项的系数是_____． 12. 已知等比数列的前项和为，若，，则_____． 13. 直线截圆的弦为，当取最小值时的值为_____． 14. 已知为第二象限角，且满足，则___ 15. 设函数，即表示函数，中的较大者．已知函数，若的值域为，则_____． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知函数的定义域为． （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 17. 已知二次函数的最大值为，且． （1）求的解析式； （2）若在区间上的最大值为，求实数的值． 18. 如图，四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧棱长相等均为4，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 19. 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校3000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“及格”、“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示． 等级 不及格 及格 良好 优秀 得分 频数 6 24 （1）求，，的值； （2）试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数； （3）已知采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训；现再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中有1人为“优秀”的概率． 20. 某机床厂2024年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用．计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元；该机床使用后，每年的总收入为50万元．设使用年后数控机床的盈利额为万元． （1）写出与之间的函数关系式； （2）使用若干年后，对机床的处理方案有两种： 方案一：当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床； 方案二：当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床； 请你研究一下哪种方案处理较为合理?并说明理由． 21. 已知，，且. （1）将表示成的函数，并求的最小正周期； （2）记的最大值为，、、分别为的三个内角、、对应的边长，若，且，求的最大值. 22. 已知数列和，其中的前项和为，且，． （1）分别求出数列和的通项公式； （2）记，求证：． 23. 已知椭圆和直线，椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）已知定点，若直线与椭圆相交于，两点，试判断是否存在实数，使以为直径的圆过定点?若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $