四川省自贡市沿滩区自贡职业技术学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题

自贡职业技术学校22级本科班期中考试试卷 2023至2024学年第二学期学科数学 本试卷共三个大题，26个小题，满分150分，答题时间120分钟. 一、选择题（共15小题，每小题4分，共60分.请把答案写到后面表格中） 1. 某校食堂餐后有三种水果可供学生挑选，每名学生只能挑选其中一种，甲、乙、丙三人每人任意挑选一种水果，则不同的选择有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 27种 2. 将5名司机、5名售票员分配到5辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则所有分配方案的种数为（ ）. A. B. C. D. 3. 已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（ ） A. 第7项 B. 第3和第4项 C. 第4项 D. 第3项 5. 已知球的体积为，则该球的直径是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 6. 空间中垂直于同一条直线的两条直线（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行、相交、异面都有可能 7. 下列命题是假命题的是（ ） A. 棱柱的所有侧面都是平行四边形 B. 将矩形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆柱； C. 正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心； D. 将直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆锥. 8. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 若直线a垂直于平面α，则a垂直于α内任何一条直线 C. 若平面α内有三个点到平面β的距离相等，则α∥β D. 若两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线 9. 已知是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 为调查新冠疫苗接种情况，需从名志愿者中选取人到个社区进行走访调查，每个社区人，若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 11. 用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为1，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 12. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 60 13. 已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍，则这个球的半径是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 14. 在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在直三棱柱中，底面三角形是等边三角形，且，，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 16. 5位同学排成一排照相，若甲与乙相邻，则不同的排法有_____种. 17. 从位男同学，位女同学这位同学中选出人参加学校一项活动，求至少有位女同学的选法种数为_____. 18. 的二项展开式中的常数项为_____. 19. 已知圆锥的底面半径为1，高为，求圆锥的表面积_____ 20. 已知正三棱柱，底面正三角形的边长为，侧棱的长为，则点到平面的距离为_____. 三、解答题（共6个小题，有5个小题，共70分） 21. 回答下列问题： （1）计算； （2）求二项式的展开式中含有的项，并指出该项的二项式系数和系数. 22. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是，的中点，求证： （1）平面； （2）平面 23. 已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为，求它的表面积和体积. 24. 在四棱锥中，已知底面ABCD是正方形，平面，，如图所示． （1）求证：； （2）若E、F分别是AB，SC是中点，求直线EF与AD所成角的大小． 25. 在三棱锥中，如图，，，，. （1）证明：； （2）求侧面与底面所成的二面角大小； 26. 如图，平面外一点，平面，，，，，，. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值. 自贡职业技术学校22级本科班期中考试试卷 2023至2024学年第二学期学科数学 本试卷共三个大题，26个小题，满分150分，答题时间120分钟. 一、选择题（共15小题，每小题4分，共60分.请把答案写到后面表格中） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】D 【11题答案】 【答案】B 【12题答案】 【答案】C 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】B 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】1 【19题答案】 【答案】 【20题答案】 【答案】 ## 三、解答题（共6个小题，有5个小题，共70分） 【21题答案】 【答案】（1）4 （2）二项式系数为7，该项的系数为14 【22题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【23题答案】 【答案】表面积为48，体积为 【24题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2） 【25题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【26题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $自贡职业技术学校高二本科班期中考试数学试卷2024上答案 一、选择题 1-5:DCDCC 6-10:DDBCD 11-15:BCDBB 二、填空题 2V21 16、48;17、40; 18、1；19、3元； 20、 7 三、解答题 21、【解】(1) (Cg+Cg)÷A6=(36+84)÷30=4 .4分 =2*Cx7-x=2C,x7-2k (2) .6分 令7-2k=5,则k=1. 7分 含有x的项为第2项，T,=2Cx=14x 8分 该项的二项式系数为C)-7,该项的系数为14 10分 22、【解】(1)因为M,N分别是PA,PB的中点， 所以MNAB.…2分 又因为MN平面ABCD, ABC平面ABCD, 所以MNI∥平面ABCD 5分 (2)因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD,7分 因为四边形ABCD是矩形， 所以CD⊥AD 9分 又ADOPA=-A,AD,PAC平面PAD, 所以CD⊥平面PAD. 12分 D 23、【解】如图所示，设正四棱锥的高为P0,斜高为PE,底面边心A一 距为 OE,它们组成一个直角三角形POE: 0E-2,∠0PE=30 1 .PE= 0E_2=4 sin30°1 2 ，.2分 P0=2W5 4分 =1 BCx PE×4=32 所以正四棱锥的侧面积 22 底面正方形面积为42=16， 则正四棱锥的表面积为S=32+16=48 8分 x16x2V5_325 V= 该正四棱锥的体积为”3 3 12分 24、【解】证明1)因为AB⊥AD, 1分 SA⊥平面ABCD ABC平面ABCD,故AB⊥SA 3分 又因为ADOSA=A,所以AB⊥平面SAD SDC平面SAD,因此AB⊥SD 5分 (2)取SD中点K,连接AK,FK 因为K,F分别是SD,SC中点，所以KF∥CD∥AB 又E是AB的中点，故KF∥AE,且KF=AE 因此四边形AEFK是平行四边形，所以EF∥AK 则直线EF与AD所成角的大小即是∠DAK,8分 在直角三角形SAD中，∠SDA=60°，K是斜边SD中点， 故三角形ADK是等边三角形，因此∠DAK=60° 12分 25、【解】(1)SA1AB,SA1AC,AB∩AC=A,故SA1平面ABC,1分 BCC平面ABC,故SA1BC,2分 又AC⊥BC, 3分 SA∩AC=A,故BC⊥平面SAC, 4分 SCC平面SAC,故SC⊥BC 5分 2 (2)SC⊥BC,AC1BC,故∠ACS即为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.8分 在直角△SBC中，SC=VSB2-BC=V29-13=4, cos∠4CS=4C=1∠ACS∈0 在直角△SAC中， ∠ACS= ”2),故 3 即侧面SBC与底面ABC所成的二面角大小为3 12分 26、【解】(1)由题意得，在四棱锥P-ABCD中， PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,.AP⊥CD 1分 PA=AD=4,AB=3,BC=1,CD=23 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AC=VAB2+BC2 =VW5+1=2 在△ACD中，由勾股定理得，AC2+CD2=AD2,所以AC⊥CD 3分 :AC∩AP=A,AC,APc平面PAC, ∴.DC⊥平面PAC 5分 (2)作AH1PC,垂足为H,连接DH,.6分 因为DC⊥平面PAC,AHc平面PAC,.AH⊥CD, CD∩PC=C且CD,PCC平面PAC,AH⊥平面PCD,8分 .LADH为AD与平面PCD所成的角，9分 AH=PA:AC-4×24 在△PAC中， PC=255 …10分 AH 415 sin∠ADH= DA54 5 ∴直线AD与平面PCD所成角的余弦值为： Vi-sin ZADH=25 5.12分 3