河南省新乡市河南师范大学附属中学，新乡市第十中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024―2025 学年第一学期九年级期末考试 《 数学 》试卷参考答案 一、选择题.（每题 3分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B C B B D C B 二、填空题.（每题 3分，共 15 分） 11. 例：-1 12. 23( 1) 4y x   13. 0.8 14. 13 13 16 8   15. 2 3+2 三、解答题（共 75 分） 16. （每题 4分，共 8分） （1）解：原式 23 2 1= + 3 2 2 2  （ ） 1= 2 …………………………………………………4分 （2）解：2�2 + 7� − 4 = 0 （2x-1）（x+4）=0 2x-1=0或 x+4=0 解得： 1 2 1 , 4 2 x x   …………………………………………………8分 17. 解： ……………………………………………4分 ……………………………………………8分 18. 解： （1）    2Δ 2 4 1 1m m         2 4 4 4 4m m m     2m ≥0 故不论m取任何实数，该方程总有两个实数根；……………………………4分 （2）解方程  2 2 1 0x m x m     ， 得 1 21, 1x m x   |m+1-1|=2 2m  或 2m   ， 故m的值为 2或-2． ……………………………………………8分 19.解：（1） (1, 4)A ， 1 4k  ． 反比例函数表达式为 4y x  ． ……………………………………………2分 把 ( , 1)B m  代入反比例函数，得 4m   ． 把 (1, 4)A ， ( 4, 1)B   代入 2y k x b  ， 得 2 2 4 4 1 k b k b       ， 2 1 3 k b    ． 一次函数表达式为 3y x  ． ……………………………………………5分 （2）如图 1，由（1）得 (0,3)C ，又 (1, 4)A ， ( 4, 1)B   ， 3 1 3 4 15 2 2AOB AOC BOC S S S           ． ……………………………………8分 （3）由图象可得： 不等式 12 kk x b x   的解集为 4 0x   或 1x  ． ……………………………10分 20. 解：（1）证明：连接 OA， ⸪ BE是 O 的直径， 90BAE  ， 90BAO OAE   ， OA OB ， ABC BAO  ， EAC ABC  ， CAE BAO   ， 90CAE OAE   ， 90OAC  ， ⸪ OA是 O 的半径， CA 是 O 的切线； ……………………………………………5分 （2）解： EAC ABC  ， C C   ， ABC EAC△ ∽△ ， AC CE BC AC   ， 4 2 4BC   ， 8BC  ，     6BE BC CE ， ……………………………………………7分 连接BD， AD 平分 BAE ， BAD EAD\ Ð = Ð ，  BD DE ， BD DE  ， BE 是 O 的直径， 90BDE  ， 45DBE DEB    ， 2 3 2. 2 DE BD BE    ……………………………………………10分 21. 解： （1）设购买文学类图书 m本， 由题意得： 5040 25 2 m   ≤ ， 解得： 80m≥ ， 即至少购买文学类图书 80本， 故答案为：80； ……………………………………………2分 （2）设购进文学类图书 x本，则科普类图书 (100 )x 本，分情况讨论： ①当0 50x  时， 40 30(100 ) 3300x x   ， 解得： 30x  ； ……………………………………………4分 ②当50 80x  时， 50(40 ) 30(100 ) 3300 2 x x x    ， 整理得： 2 70 600 0x x   ， 解得： 1 10x  （不符合题意，舍去）， 2 60x  ； ………………………7分 ③当80 100x  时， 25 30(100 ) 3300x x   ， 解得： 60x   （不符合题意，舍去）； ……………………………………9分 答：购进文学类图书 30本或 60本. ……………………………………………10分 22. 解： （1）∵点 A(3,0)在抛物线 2 3y ax abx  上 ∴9 +3 3 0a b a  ，解得 2b a  ∴ 2 22 3 ( 1) 4y ax ax a a x a      ∴抛物线的顶点坐标为 (1, 4 )a ； ……………………………………………3分 （2）∵ 2 23 ( 3) ( 1)( 32 )2y ax x a a x x xa a x        ∴抛物线与 x轴的另一个交点坐标为点 (3,0)，与 y轴交于点 (0, 3 )a ∵将点 B(3，2)向左平移 3个单位长度 ∴点 C的坐标为 C(0，2) ……………………………………………4分 由题意，分以下两种情况： ①当 a>0时 由抛物线与 x、y轴的交点可知，抛物线与线段 BC无公共点 ②当 a<0时 若抛物线的顶点在线段 BC上，则顶点坐标为(1,2) ∴ 4 2a  解得 1 2 a   若抛物线的顶点不在线段 BC上，要使抛物线与线段 BC恰有一个公共点，则抛 物线与 y轴的交点位于点 C的上方 ∴-3a>2 解得 2 3 a   综上所述，a的取值范围是 2 3 a   或 1 2 a   ． ………………………………10分 23．解： （1） 2 2 ……………………………………………2分 （2）①存在，△ABD，△ACD，△CDE都是比例三角形.…………………5分 例：△ADC是比例三角形. 证明：∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD 又∵∠ABD=∠ADC ∴△ABD∽△ADC ∴ AB AD AD AC  ∴ 2AD AB AC  ∵AB=CD ∴ 2AD CD AC  ∴△ADC是比例三角形. ……………………………………………7分 ②证明： ∵∠ADE=∠B+∠BAD 即∠ADC+∠CDE=∠ABD+∠BAD ∵∠ABD=∠ADC ∴∠CDE=∠BAD 又∵∠B=∠E ∴△ABD∽△DEC ∴ AB AD DE DC  由①知，△ABD∽△ADC ∴ AB BD AD DC  ∴ AB AD BD DC  ∴ AB AB DE BD  ∴BD=DE ……………………………………………9分 (3) 5 1 2  ……………………………………………11分 2024一2025学年第一学期九年级期末考试 《数学》试卷 分数 一、选择题.（每题3分，共30分） 1,下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是() A B. C. D 2.如图，AB是⊙0的直径，点D,E在o0上，且∠E-35°，则∠B0D=() A.100 B.105 C.110 D.120 3.在Kt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,则sinB的值是() A 3-4 B. 3-5 C. 4-5 D. 4 4.如图，ABI/CD//EF,AF与BE相交于点G,若AG=1.GD=2,DF=3,则下 列结论中错误的是( BG I BC 1 A. B. BG 1 D. AB=1 GC 2 BE 5 EF 5 茶编 第2题图 第4题图 第5题图 本试卷共8页第1页 5.如图，在⊙0中，弦AB的长为2√3，点C在⊙0上，OC⊥AB,且∠1BC=30°. ⊙O所在的平面内有一点P,若OP-3,则点P与⊙0的位置关系是()】 A.点P在⊙O上 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙0外 D,无法确定 6.某市2022年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水背山就是金山银山"的发 展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到69%.如果 这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,则符合题意得方程是( A.0.640+x=0.69 B.0.64(1+x)2=0.69 C.0.64(1+2x=0.69 D.0.64(1+2x)2=0.69 7.数学选修课开展“讲数学家故事”的活动，下面是印有四位中国数学家图案的 卡片，除图秦外其他均相同.将四张卡片背面朝上，洗匀后放狂桌面上，同学们 可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事.小刚随机抽取了两张卡片， 则小刚抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为( 之 容执 呱满 A吉 c D 8.如图，点P在边AC上，要判断△ABP△ACB,添加一个条件，不正确的 是() A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C.AP4B D. APAC AB AC BP CB 木试卷共8页第2页 9.如图，在Rt△MBC中，∠BAC=60°，点A的坐标为(-2,0)，点B的坐标 为(1,4)，将△4BC绕点A逆时针旋转90°<a<I80),得到△ABC.若AC⊥x 轴，则点B的坐标为() -2 B.( 55-2,55 12 2 c.-4 D.55-45 22 第9题图 第10题图 10.如图，己知抛物浅y=ar24b,r+c(a、b、c为常数，且a≠0)的对称轴为直 线=小.且该抛物线与x轴交于点41,0)，与y轴的交点B在(0，一2)， (0.一3)之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个( 2 ①ahc>0:②9a-3bc≥0：③3u<l ④若方程ar+br+c=r+1两根为m,n(m<m),则-3<m<1<. A.I B.2 C.3 D.4 二、填空题.（每题3分，共15分） 1,某反比例函数y=冬具有下列性质：当0时，y随x的增大而增大，写出一 个满足条件的k的值是 12.将抛物线y=3x2-2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平 移后的抛物线的解析式为 木试作共8页菊3页 13.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该油菜发芽的概率为 (箱确到0.1) 14.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C,E均在小正 方形的顶点上，AE交AB于点H,则阴影部分的面积为 第14题图 第15题图 15.如图，已知直线y=子x+2与坐标轴交于4，B两点，以1B为边作菱形ABCD, AC与BD交于点M.若双曲线y=x>0)恰好经过C,M两点，则k的值 为 三、解答题.（共75分） 16.(每题4分，共8分)： (1)计算：sin60°+os245°-sin30°tan60°： (2)解方程：2x2+7x-4=0 本试倦共8页第4页 17.(8分)如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形 的顶点称为格点，A、B、C均在格点上。只用无刻度的直尺，在给定的网格中 作图（保留作图痕迹）· (1)将AC绕着点C顺时针旋转90°，在图①中作出旋转后的对应线段CD 2 (2)在图②中作线段AE,使点E在边BC上，且SMADE=SaBc· 5 B 图① 图② 18.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m+1=0. (1)求证：该方程总有两个实数根： 2)若该方程两个实数根的差为2，求m的值， 本试卷共8页第5页 19.(10分)如图，反比例函数y=上（化≠0）的图象与一次函数y=kx+b(飞≠0)的 图象相交于点A(1,4)与点B(m,-1),连结AO,BO. (1)求一次函数与反比例函数的表达式， (2)求△AOB的面积. (3)利用图象，直接写出关于x的不等式kx+b>上的解集」 4(1,40 m. 20.(10分)如图，BE是⊙0的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上， ∠EAC=∠ABC,AD平分∠BAE交⊙O于点D,连结DE. (1)求证：CA是⊙0的切线： (2)当AC=4,CE=2时，求DE的长. 0 本试卷共8页第6页 21.(10分)2024年4月23日是第二十九个世界读书日，第三届全民阅读大会 在昆明如期举行，共建书香社会，共享现代文明。学校积极响应“最是书香能致 远”，计划购买文学和科普两类图书.已知文学类图书每本40元，科普类图书 每本30元.为弘扬中国传统文化，商家决定对文学类图书推出销售优惠活动： 若不超过50本，按每本40元价格销售：若超过50本，每增加2本，单价降低 1元，但单价不得低于25元（即超过一定的购买数量后，单价保持25元不变）， (1)如果每本文学类图书的单价是25元，则至少购买文学类图书本： (2)如果学校购进两类图书共100本，用去购书款3300元，求购进文学类图书 多少本？ 22.(10分)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx-3a经过点A(3,0) (1)求该抛物线的的顶点坐标（用含a的式子表示）： (2)已知点B(3,2),将点B向左平移3个单位长度，得到点C.若抛物线与线 段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围. 本试卷共8页第7页 23.(11分)小明和小颖两位同学在一起做练习时发现一个有趣的问题：有的三 角形一条边的平方等于另两条边的乘积.因此他们假设：若一个三角形一条边的 平方等于另两条边的乘积，则这个三角形叫做比例三角形.例如：已知△ABC的 三边长分别为AB=1,BC=2,AC=√2，因为满足AC?=ABBC,所以△ABC是比 例三角形 【问题提出】 (1)已知△4ABC是比例三角形，AB=2,BC=4,则AC的长为 【问题探究】 (2)如图1，点B,D,E在同一直线上，∠ABD=∠ADC=∠DEC,AD平分∠BAC, AB-CD. ①请回答：图1中是否存在比例三角形.如果存在，请写出所有的比例三角形， 并选择其中一个比例三角形进行证明； ②求证：BD=DE. D 图1 图2 【拓展应用】 (3)如图2，AB⊥BD,AD⊥DC,AD平分∠BAC,AB=CD. 若BD=1,AB=a,则a2的值为 本试卷共8页第8页