9.3平行四边形寒假预习讲义-2024-2025学年苏科版数学八年级下册

终日不倦者，其唯学焉！ 【寒假加油站】中心对称图形 9.3平行四边形 【苏科版】 ( 知识梳理 ) 知识点1：平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 细节剖析 平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 知识点2：平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 细节剖析 （1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 知识点3：平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 细节剖析 （1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 知识点4：平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积： 平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等. ( 学以致用 ) 【题型一：平行四边形的性质】 【例题1】已知▱ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　） A．50° B．65° C．115° D．130° 【变式1-1】如图，在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（　　） A．12 B．16 C．24 D．36 【变式1-2】如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝5cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【变式1-3】如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则△OCD的周长为（　　） A．13 B．14 C．18 D．23 【题型二：平行四边形的判定】 【例题2】如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　） A．∠1＝∠2 B．AD＝BC C．OA＝OC D．AD＝AB 【变式2-1】下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，CB＝CD C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC 【变式2-2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，能判断四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AD＝BC B．AB＝CD C．AB＝AD D．∠ABD＝∠BDC 【变式2-3】如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【题型三：平行四边形的判定与性质】 【例题3】小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是（　　） A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【变式3-1】如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）如果DE＝3，EF＝4，DF＝5，求EB、DF两平行线之间的距离． 【变式3-2】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若△ABE的面积等于4，求△CFO的面积． 【变式3-3】如图，在▱BFDE中，A、C分别在DE、BF的延长线上，且AE＝CF． 求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形ABCD是平行四边形． ( 课后巩固 ) 一．选择题（共4小题） 1．如图，在▱ABCD中，AC＝4，BD＝6．则BC边的长可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，能判断四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AD＝BC B．AB＝CD C．AB＝AD D．∠ABD＝∠BDC 3．如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 4．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①∠DCF∠BCD；②EF＝CF；③∠DFE＝3∠AEF中一定成立的是（　　） A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③都成立 二．填空题（共3小题） 5．如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，若AB＝6，则OE＝　 　． 6．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G，AD＝6，EF＝3．则AF＝　 　． 7．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　 　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 三．解答题（共3小题） 8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE＝DF． 9．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF． 求证：四边形EGFH是平行四边形． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A，C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3）．将平行四边形OABC先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形NPQM． （1）请你直接写出点N，M的坐标； （2）平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的形状是 　 　，重叠部分的面积是 　 　； （3）点E是x轴上一动点，在直线OB上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$终日不倦者，其唯学焉！ 【寒假加油站】中心对称图形 9.3平行四边形 【苏科版】 ( 知识梳理 ) 知识点1：平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 细节剖析 平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 知识点2：平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 细节剖析 （1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 知识点3：平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 细节剖析 （1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 知识点4：平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积： 平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等. ( 学以致用 ) 【题型一：平行四边形的性质】 【例题1】已知▱ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　） A．50° B．65° C．115° D．130° 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质平行四即可求出∠A，进而可求出∠D． 【解答】解：在▱ABCD中，∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°， ∵∠A+∠C＝130°， ∴∠A＝∠C＝65°， ∴∠D＝180°﹣∠A＝115°， 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质平行四即可求出∠A，进而可求出∠D． 【变式1-1】如图，在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（　　） A．12 B．16 C．24 D．36 【分析】由AD∥BC，AB∥CD，得∠AEB＝∠CBE，∠DEC＝∠DCE，∠ABC+∠DCB＝180°，而∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠DCE＝∠BCE∠DCB，所以∠AEB＝∠ABE，∠DEC＝∠DCE，∠CBE+∠BCE＝90°，则∠BEC＝90°，BC＝AD＝6，所以CE2+BE2＝BC2＝36，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3， ∴DC＝AB＝3，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AEB＝∠CBE，∠DEC＝∠DCE，∠ABC+∠DCB＝180°， ∵∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，点E恰好在AD边上， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠DCE＝∠BCE∠DCB， ∴∠AEB＝∠ABE，∠DEC＝∠DCE，∠CBE+∠BCE（∠ABC+∠DCB）＝90°， ∴AE＝AB＝3，DE＝DC＝3，∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝90°， ∴BC＝AD＝AE+DE＝3+3＝6， ∴CE2+BE2＝BC2＝62＝36， 故选：D． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定、三角形内角和定理、勾股定理等知识，证明AE＝DE＝3及∠BEC＝90°是解题的关键． 【变式1-2】如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝5cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【分析】根据平行四边形性质得出AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝5cm，AD∥BC，求出∠EDC＝∠DEC，推出CE＝DC＝5cm，代入BE＝BC﹣CE求出即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8cm，AB＝5cm， ∴AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝5cm，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC， ∵E平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠EDC， ∴∠EDC＝∠DEC， ∴CE＝DC＝5cm， ∴BE＝BC﹣CE＝3cm， 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形性质，角平分线定义，平行线的性质等知识点的应用，关键是求出CE和BC的长． 【变式1-3】如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则△OCD的周长为（　　） A．13 B．14 C．18 D．23 【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝5，OA＝OCAC8＝4，OB＝ODBD10＝5， ∴△OCD的周长＝CD+OC+OD＝5+4+5＝14， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 【题型二：平行四边形的判定】 【例题2】如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　） A．∠1＝∠2 B．AD＝BC C．OA＝OC D．AD＝AB 【分析】由平行线的性质得∠1＝∠2，再证明△AOB≌△COD（ASA），得AB＝CD，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】解：可以使四边形ABCD成为平行四边形的是OA＝OC，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故选：C． 【点评】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 【变式2-1】下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，CB＝CD C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB＝AD，CB＝CD，不能四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意； D、由AB∥CD，AD＝BC，不能四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 【变式2-2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，能判断四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AD＝BC B．AB＝CD C．AB＝AD D．∠ABD＝∠BDC 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【解答】解：A．根据AB∥CD，AD＝BC，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； B．由AB∥CD，AB＝CD，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，故该选项正确，符合题意； C．根据AB∥CD，AB＝AD，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； D．根据AB∥CD，∠ABD＝∠BDC，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，关键是平行四边形判定定理的应用． 【变式2-3】如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：由作图知，BC＝AD，CD＝AB， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故判定四边形ABCD为平行四边形的条件是两组对边分别相等， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【题型三：平行四边形的判定与性质】 【例题3】小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是（　　） A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】直接利用平移的性质结合平行四边形的判定定方法得出答案． 【解答】解：根据平移的性质，得到AB∥B1A1，AB＝B1A1， 故选：C． 【点评】本题考查了平移，平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 【变式3-1】如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）如果DE＝3，EF＝4，DF＝5，求EB、DF两平行线之间的距离． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，继而可得∠DAE＝∠BCF，然后即可利用SAS证明△ADF≌△CBE，进一步即可证明DF＝EB，DF∥EB，即可证得结论； （2）先根据勾股定理的逆定理得出DE⊥EF，然后根据三角形的面积即可求出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵AE＝CF， ∴AF＝CE， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴DF＝EB，∠DFA＝∠BEC， ∴DF∥EB， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）解：∵DE2+EF2＝32+42＝25，DF2＝52＝25， ∴DE2+EF2＝DF2， ∴DE⊥EF． 过点E作EG⊥DF于G，如图， 则，即3×1＝EG×5， ∴EG＝2.1． ∴EB、DF两平行线之间的距离为2.1． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、两平行线之间的距离的定义、勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识，属于常见题型，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【变式3-2】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若△ABE的面积等于4，求△CFO的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AO＝CO，BO＝DO，再证OE＝OF，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：∵BE＝EF， ∴S△ABE＝S△AEF＝4， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴S△AEF＝S△CEF＝4， ∵EO＝FO ∴S△CFO2． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【变式3-3】如图，在▱BFDE中，A、C分别在DE、BF的延长线上，且AE＝CF． 求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形ABCD是平行四边形． 【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△CDF即可； （2）由平行四边形的性质得DE∥BF，DE＝BF，再证AD＝BC，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵四边形BFDE是平行四边形， ∴∠BED＝∠DFB，BE＝DF， ∴∠AEB＝∠CFD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）∵四边形BFDE是平行四边形， ∴DE∥BF，DE＝BF， ∵AE＝CF， ∴AE+DE＝CF+BF， 即AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． ( 课后巩固 ) 一．选择题（共4小题） 1．如图，在▱ABCD中，AC＝4，BD＝6．则BC边的长可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】由平行四边形的性质得OC＝2，OB＝3，由OB﹣OC＜CB＜OB+OC，得1＜CB＜5，而1＜4＜5，可知A符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6， ∴OA＝OCAC4＝2，OB＝ODBD6＝3， ∴OB﹣OC＝3﹣2＝1，OB+OC＝3+2＝5， ∵OB﹣OC＜CB＜OB+OC， ∴1＜CB＜5， ∵在4，5，6，7四个数中，1＜4＜5， ∴A符合题意， 故选：A． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的三边关系等知识，求得OC＝2，OB＝3，并且列出不等式1＜CB＜5是解题的关键． 2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，能判断四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AD＝BC B．AB＝CD C．AB＝AD D．∠ABD＝∠BDC 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【解答】解：A．根据AB∥CD，AD＝BC，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； B．由AB∥CD，AB＝CD，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，故该选项正确，符合题意； C．根据AB∥CD，AB＝AD，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； D．根据AB∥CD，∠ABD＝∠BDC，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，关键是平行四边形判定定理的应用． 3．如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：由作图知，BC＝AD，CD＝AB， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故判定四边形ABCD为平行四边形的条件是两组对边分别相等， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 4．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①∠DCF∠BCD；②EF＝CF；③∠DFE＝3∠AEF中一定成立的是（　　） A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③都成立 【分析】由在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，易得AF＝FD＝CD，继而证得①∠DCF∠BCD；然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案． 【解答】解：①∵F是AD的中点， ∴AF＝FD， ∵在▱ABCD中，AD＝2AB， ∴AF＝FD＝CD， ∴∠DFC＝∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠DFC＝∠FCB， ∴∠DCF＝∠BCF， ∴∠DCF∠BCD， 故①正确，符合题意； ②延长EF，交CD延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠MDF， ∵F为AD中点， ∴AF＝FD， 在△AEF和△DFM中， ， ∴△AEF≌△DMF（ASA）， ∴FE＝MF，∠AEF＝∠M， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴∠AEC＝∠ECD＝90°， ∵FM＝EF， ∴FC＝FM， 故②正确，符合题意； ③设∠FEC＝x，则∠FCE＝x， ∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x， ∴∠EFC＝180°﹣2x， ∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x， ∵∠AEF＝90°﹣x， ∴∠DFE＝3∠AEF， 故③正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键． 二．填空题（共3小题） 5．如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，若AB＝6，则OE＝　3　． 【分析】由平行四边形的性质可得出OB＝OD，再根据三角形的中位线的定理即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD＝6， ∵E，O是AD，AC的中点， ∴， ∴OE＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的中位线的定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G，AD＝6，EF＝3．则AF＝　　． 【分析】根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE＝∠CBE，推出AB＝AE，同理求出DF＝CD，即可证明AE＝DF，再根据线段的和差求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， 同理可得：DF＝CD， AE＝DF， 即AF+EF＝DE+EF， ∴AF＝DE， ∵AD＝6，EF＝3， ∴AF+DE＝AD﹣EF＝3， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线性质，等腰三角形的判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 7．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　2或6　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣6， 解得：t＝6； 综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故答案为：2或6． 【点评】此题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用． 三．解答题（共3小题） 8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE＝DF． 【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF． 【解答】证明：连接BF、DE，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA＝OC，OB＝OD ∵E、F分别是OA、OC的中点 ∴OEOA，OFOC ∴OE＝OF ∴四边形BFDE是平行四边形 ∴BE＝DF． 【点评】本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 9．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF． 求证：四边形EGFH是平行四边形． 【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，根据平行线的性质得到∠GAE＝∠HCF，根据全等三角形的性质得到GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠GAE＝∠HCF， ∵点G，H分别是AB，CD的中点， ∴AG＝CH， 在△AGE和△CHF中， ， ∴△AGE≌△CHF（SAS）， ∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH， ∴∠GEF＝∠HFE， ∴GE∥HF， 又∵GE＝HF， ∴四边形EGFH是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形判定与的性质是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A，C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3）．将平行四边形OABC先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形NPQM． （1）请你直接写出点N，M的坐标； （2）平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的形状是 　平行四边形　，重叠部分的面积是 　　； （3）点E是x轴上一动点，在直线OB上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由平移的性质进行求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明MF∥AE，ME∥AF，由此即可证明四边形MEAF是平行四边形，即平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线MN的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的面积为； （3）分OE为边和OE为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【解答】解：（1）∵将平行四边形OABC先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形NPQM， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵O（0，0），C（﹣2，3）， ∴M（2，2），N（4，﹣1）； （2）如图所示，设MN与x轴交于E，MD与AB交于F，过点M作MG⊥x轴于G， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，OC∥AB， 由平移的性质可得MN∥OC，MD∥BC， ∴MN∥AB，MD∥OA，即ME∥AF，MF∥AE， ∴四边形MEAF是平行四边形， ∴平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的形状是平行四边形； 设直线MN的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线MN的解析式为， 在中，当y＝0，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的面积为， 故答案为：平行四边形，； （3）∵A（4，0）， ∴OA＝4， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC＝OA＝4，BC∥OA， ∵C（﹣2，3）， ∴B（2，3）， 同理可得直线OB的解析式为， 设， 当OE为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当OE为边时，则OE＝DN，OE∥DN， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平移的性质，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合等等，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$